2. Методика решения системы нормальных уравнений.

Решение системы нормальных уравнений производится методом Гаусса (прямым методом).

Прямые, или конечные, методы позволяют найти решение системы уравнений за конечное число шагов. Это решение будет точным, если все промежуточные вычисления выполняются точно, и приближенным, если вычисления проводятся с ограниченной точ­ностью, как на современных ЭВМ.

Система нормальных уравнений имеет вид:

(3.2.1)

Одним из наиболее широко используемых прямых методов является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса. Согласно этому методу, исходная система линейных уравнений преобразуется путем последовательного исключения неизвестных в эквивалентную систему уравнений, имеющую так называемый «треугольный» вид. Последнее уравнение «тре­угольной» системы содержит лишь одно неизвестное (x_n), предпоследнее – два (x_n, x_n-1) и т.д. Решение полученной системы уравне­ний осуществляется последовательным определением x_n из последнего уравнения «треугольной» системы, x_n-1 из предпоследнего и т.д.

На первом шаге выделяется первое уравнение системы (3.2.1). Это уравнение не преобразуется, и оно объявляется ведущим уравнением. Затем исключается неизвестное x₁ из всех уравнений, кроме веду­щего. Для этого последовательно из каждого уравнения вычитается ведущее уравнение, умноженное на некоторый специально подобранный множитель, позволяющий сделать результирующий коэффициент при x₁ равным нулю. Так, например, для исключения x₁ из второго уравнения

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …+ a_{2 n} x_n = b₂

необходимо из него вычесть ведущее уравнение, умноженное на коэффициент q₂₁ = a₂₁ / a₁₁. Результат вычитания имеет вид

(a₂₁ – q₂₁ a­₁₁) x₁ + (a₂₂ – q₂₁ a­₁₂) x₂ + …+ (a_2n – q₂₁ a­_1n) x_n = = b₂ – q₂₁b₁ . (3.2.2)

Вводя новые обозначения для коэффициентов

k=(2, …, n) ,

и свободного члена

можно переписать уравнение (3.2.2) в виде

Аналогичную процедуру можно проделать с третьим уравнением системы (3.2.1). Умножая ведущее уравнение на q₃₁=a₃₁ /a₁₁ и вы­читая результат умножения из третьего уравнения, получим эквива­лентное уравнение

и т.д.

В результате рассмотренного первого шага исходная система уравнений (3.2.1) превратится в эквивалентную систему уравнений, причем неизвестное x₁ входит только в первое уравнение:

(3.2.3)

На втором шаге ведущим объявляется второе уравнение системы (3.2.3) и исключается неизвестное x₂ из уравнений с номерами от третьего до последнего. Исключение неизвестного проводится по схеме, описанной в первом шаге. Для исключения x₂ из третьего уравнения системы (3.2.3) ведущее уравнение умножается на

и результат умножения вычитается из третьего уравнения, результирующий коэффициент при x₂ будет равен нулю. Для исключения x₂ из четвертого равнения ведущее уравнение умножается на

и т.д. В результате второго шага будет получена система урав­нений, также эквивалентная исходной системе (3.2.1):

(3.2.4)

где введены новые обозначения для коэффициен­тов преобразуемых уравнений.

На (n1) шаге исключается неизвестное x_n-1 из последнего n-го уравнения, и в результате система уравнений принимает окончательный «треугольный» вид

(3.2.5)

Полученная система уравнений эквивалентна исходной системе уравнений (3.2.1). Описанный процесс последовательного исключения неизвестных носит название прямого хода метода Гаусса.

Определим обобщенные формулы для расчета коэффициентов системы в процессе прямого хода метода Гаусса. На i-м шаге неизвестное x_i исключается из всех уравнений с номерами k, где i+1  k  n, при этом ведущее уравнение (с номером i) умножается

,

и результат умножения вычитается из k-го уравнения. Новые значения коэффициентов (в уравнении с номером k) при неизвестных x_j, (i+1  j  n) равны

(3.2.6)

новое значение свободного члена

. (3.2.7)

Решение треугольной системы уравнений (3.2.5) носит название обратного хода метода Гаусса и заключается в последовательном определении всех неизвестных, начиная с последнего x_n. Из последнего уравнения системы (3.2.5) вытекает, что

Значение x_n-1 получается при решении предпоследнего уравнения

.

Так как x_n уже определено, то

Эта процедура применяется последовательно ко всем уравнениям, включая и первое, из которого определяется

Обобщенная формула вычисления x_i имеет вид

(3.2.8)

В процессе прямого хода метода Гаусса может оказаться, что коэффициент a_ij^(i-1) ведущего уравнения равен нулю. Тогда уравнения системы можно поменять местами и объявить ведущим то уравнение, у которого коэффициент при неизвестном x_i отличен от нуля. Для уменьшения погрешности вычислений в качестве ведущего обычно выбирается уравнение с максимальным по модулю коэффициентом при x_i.