1. Оглавление.

1. Оглавление_________________________________________________2

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ_________________________________________________3

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ__________________________________3

   1. Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов_____________________________________3

      1. Постановка задачи_______________________________________3

   2. Методика решения системы нормальных уравнений___________6

4. РУЧНОЙ СЧЕТ________________________________________________11

   1. Исходные данные_________________________________________11

   2. Критерий аппроксимации__________________________________11

   3. Система нормальных уравнений____________________________13

   4. Решение системы методом Гаусса___________________________13

   5. Результаты расчета_______________________________________13

   6. Аппроксимирующая функция______________________________13

   7. Оценка погрешности аппроксимации_______________________14

   8. График__________________________________________________14

5. СХЕМЫ АЛГОРИТМОВ_______________________________________15

   1. Схема алгоритма основного блока программы_______________15

   2. Схема алгоритма процедуры решения системы уравнений____17

6. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ_________________________________________18

7. РЕЗУЛЬТАТЫ КОНТРОЛЬНОГО РАСЧЕТА_____________________21

8. ВЫВОДЫ_____________________________________________________22

2. Цель работы.

Практическое освоение типовых вычислительных методов прикладной математики;

совершенствование навыков разработки алгоритмов и построения программ на языке программирования высокого уровня Си++;

освоение принципов модульного программирования;

приобретение основных навыков для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин при выполнении курсовых и дипломных проектов.

3. Методические указания.

   1. Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов.

      1. Постановка задачи.

При изучении зависимостей между величинами важной задачей является приближенное представление (аппроксимация) этих зависимостей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных надлежа­щим образом. Подход к такой задаче и конкретный метод ее решения определяются выбором используемого критерия качества приближения и формой представления исходных данных.

Пусть изучается связь между величинами x и y , из которых пер­вая рассматривается в качестве независимой переменной, а вторая - ее функции. Исходные данные представлены значениями y, заданны­ми на некотором множестве М значений х. Тогда ошибка приближения этой зависимости некоторой аппроксимирующей функцией у = φ(х) для каждого из значений x может быть оценена разностью

. (3.1.1.1)

Значения y = y_i заданы для конечного множества (n) значений x_i (i = 1..n). Тогда для каждого из этих значений определена и ошибка

. (3.1.1.2)

На основе изучения ошибок формируются различные критерии качества аппроксимации, служащие для определения наилучшей аппроксимирующей функции φ(х). Один из распространенных подходов опирается на использование метода наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым наилучшей считается такая аппроксимирующая функ­ция φ(х), для которой достигается наименьшее значение суммы квадра­тов ошибок δ во всех точках x, принимаемых во внимание:

В соответствии с требованием (3.1.1.3) наилучшая аппроксимирующая функция φ(х) должна быть определена из условия

Подобное задание исходных данных встречается в задачах техни­ческих измерений, когда для каждого из задаваемых значений x_i осуществляется измерение величины y_i (сопровождающееся возмож­ными ошибками). Аппроксимация позволяет представить изучаемую связь между x и у с помощью известных функций, что облегчает после­дующее использование данных, позволяет "сгладить" возможные ошиб­ки измерений, а также дает возможность оценивать значения переменной у = φ(х) в точках x интервала [x₁, x_n], не совпадающих с заданными (т.е. решать задачу интерполяции).

Аппроксимирующую функцию φ(х) выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции, но остаются неопределенны­ми (и подлежат определению) ее параметры С₁, С₂,…, С_m, т.е.

(3.1.1.5)

Определение аппроксимирующей функции φ разделяется на два основных этапа:

подбор подходящего вида функции φ(х);

нахождение ее параметров в соответствии с критерием МНК.

Подбор вида функции φ(х) представляет собой сложную задачу, решаемую методом проб и последовательных приближений. Исходные данные, представленные в графической форме (семейства точек или кривые), сопоставляются с семействами графиков ряда типовых функ­ций, используемых обычно для целей аппроксимации.

После того как выбран вид аппроксимирующей функции φ(х) (или эта функция задана) и, следовательно, определена функциональная зависимость (3.1.1.5), необходимо найти в соответствии с требованиями МНК значения параметров С₁, С₂,…, С_m.

Для решения задачи подставим выражение (3.1.1.5) в выражение (3.1.1.4) и проведем необходимые операции суммирования. В результате величина J, именуемая в дальнейшем критерием аппроксимации, представится функцией исходных параметров

(3.1.1.6)

Последующее сводится к отысканию минимума этой функции J переменных С_k; определение значений C_k, к = (1,..,m), соответствующих этому минимуму J, и является целью решаемой задачи.

Для решения задачи воспользуемся необходимым условием минимума функции (3.1.1.6) нескольких переменных, в соответствии с которым в точке минимума должны быть равны нулю частные производные этой функции по всем ее аргументам

(3.1.1.7)

Полученные m равенств следует рассматривать как систему уравнений относительно искомых значений С₁, С₂,…, С_m.

Используемые равенства (3.1.1.7) дают лишь необходимые, но не недостаточные условия минимума (3.1.1.6). Поэтому требуется уточнить, обеспечивают ли найденные значения C_k именно минимум функции J (C₁, C₂,.., C_m). В данной работе мы будем считать, что найденное решение системы отвечает именно минимуму J.

Уравнения (3.1.1.7), встречающиеся в МНК, называют нормальными.