36. Анализ временных рядов при наличии периодических колебаний: аддитивная и мультипликативная модели.

Аддитивные модели представляют собой обобщение Множественной регрессии. В частности, в линейной регрессии линейная подгонка методом наименьших квадратов вычисляется для набора переменных Х, чтобы предсказать зависимость переменной У. Хорошо известное уравнение линейной регрессии с m переменными можно сформулировать, как:

Y = b0 + b1*X1 + .. bm*Xm

Где Y обозначает зависимую переменную (для предсказанных значений), X1 при помощи Xm представляет m значения для предсказанных переменных, а b0, и b1 при помощи bm коэффициенты регрессии, оцененные при помощи множественной регрессии. Обобщение множественной регрессионной модели сохраняет аддитивную природу модели, но перемещая простые члены линейного уравнения bi*Xi с fi(Xi), где fi непараметрическая функция Xi.   Другими словами, вместо отдельного коэффициента для каждой переменной (аддитивного элемента) в модели в аддитивных моделях не уточненная (непараметрическая) функция оценивается для каждого фактора, чтобы получить наилучшее предсказание значения зависимой переменной.

В классической мультипликативной модели временных рядов постулируется, что наблюдаемое значение отклика в любой точке временного ряда является произведением трех факторов — тренда, циклической и нерегулярной компоненты, и любое значение ряда может быть представлено в виде:

Yi = Ti × Ci × Si × Ii ,

где Yi — значение отклика, а Ti , Ci , Si , Ii — соответственно значения трендовой, циклической, сезонной и нерегулярной компонент в любой точке ряда.

Тренд не является единственной составляющей ряда, так как отчетливо можно выделить периоды ускоренного или замедленного роста или падения. Считается, что тренд осложнен существованием циклической (циклической составляющей) и нерегулярной компонент.

Циклическая компонента объясняет отклонения от тренда с периодичностью от 2 до 10 лет; обычно она может изменяться по длине периода и своей. Сезонная компонента определяет короткопериодические колебания, связанные именно с изменениями внутригодовой активности и повторяющиеся через более или менее фиксированные моменты времени; отслежены они могут быть при ежеквартальных, ежемесячных и более частых наблюдениях. Естественно связать сезонную компоненту с влиянием традиций (сезонные и рождественские распродажи), социальных привычек (высокая активность в курортном бизнесе в летнее время и существование «мертвых сезонов» в иные периоды), религиозных факторов (рождественские и пасхальные поездки к родственникам или друзьям в христианских странах, продажи пищевых продуктов и общественное питание во время праздников и др.).

При анализе данных методом временных рядов вначале обычно строят график зависимости отклика по времени для определения общей долговременной тенденции повышающего или понижающего тренда. Если данные сильно осциллируют и общий тренд не угадывается, может потребоваться сглаживание временного ряда, после выполнения которого тренд обычно выявляется. В дальнейшем для описания временного ряда используется один из методов регрессии данных ряда на временную ось и полученная регрессия используется в целях прогнозирования.