Билет 23.

Минимизация ФАЛ, цель и критерии минимизации, общие подходы.

Задача минимизации ФАЛ в представлении ФАЛ в наиболее компактной форме для дальшейшей рациональной её технической реализации. Этапы минимизации ФАЛ:

1) на основании ТИ найти Т1. составить СДНФ

2) используя поглощения и склеивания найти все простые импликанты.

3) получить сокращенную ДНФ.

4) из сокращенной ДНФ найти все тупиковые.

5) из тупиковых выбрать минимальные.

Минтерм, обеспечивающий покрытие из T1 и не покрывающий Т0 называется импликантой. Импликантой, из которой нельзя исключить ни одной переменной без потери его свойства быть импликантой функции называют простой.

ДНФ состоящая из простых импликант, обеспечивающих покрытие всех T1, так что из неё нельзя исключить ни одной без потери этого свойства называется тупиковой.

Подходы: Метод Карт Вейча, метод неопределенных коэффициентов, метод Квайна Мак Класски.

Билет 24.

Интерпретация задачи минимизации в классе ДНФ (покрытие, импликанты, СкДНФ).

Куб, где каждое ребро это импликанта.(?)

Минтерм, обеспечивающий покрытие из T1 и не покрывающий Т0 называется импликантой. Импликантой, из которой нельзя исключить ни одной переменной без потери его свойства быть импликантой функции называют простой.

ДНФ состоящая из простых импликант, обеспечивающих покрытие всех T1, так что из неё нельзя исключить ни одной без потери этого свойства называется тупиковой.

Билет 25.

Этапы минимизации в классе ДНФ и их обоснование.

Этапы минимизации ФАЛ:

1) на основании ТИ найти Т1. составить СДНФ

2) используя поглощения и склеивания найти все простые импликанты.

3) получить сокращенную ДНФ.

4) из сокращенной ДНФ найти все тупиковые.

5) из тупиковых выбрать минимальные.

Билет 26.

Методы нахождения СкДНФ.

Метод неопределенных коэффициентов. Суть: любую ФАЛ можно представить в виде дизъюнкции всех минтермов ранга от 1 до N, входящих в эту систему с булевскими коэффициентами (=1, если соответствуют нашей функции, 0 – если нет). Для определения этих коэффициентов строится система уравнений в которой каждому варианту вход. наборов ставится в соответствие совокупность соответствующих минтермов. Значению уравнения присваивается значение ф-ии на данном наборе. Вычеркиваются все коэффициенты где значение функции =0(т.к. дизъюнкция равна нулю только если все =0).

метод квайна мак класски. Суть: на основании ТИ записывается СДНФ. производятся все возможные склейки со всеми последующими сначала ранга N, потом n-1 и т.д. из всех получившихся удаляют те, что участвовали в склейке. Оставшиеся простые импликанты – СкДнф. К.М.К. предложил чтобы не искать все склейки разбивать на группы по числу единиц и клеить только соседние. и так далее.

Билет 27.

Методы определения множества ТупДНФ на основе СкДНФ.

метод подбора.

Метод ЛФП.

Составляем таблицу, где по вертикали простые импликанты(i), по горизонтали наборы из Т1(j). Если i импликанта может покрыть j столбец, то ставим *. Используем ЛФП:

Раскроем все скобки получим все тупиковые ДНФ.

Билет 28.

Минимизация ФАЛ в классе КНФ.

1) на основании ТИ записать СКНФ

2) склейки поглощения

3) выбираются минимальные КНФ (так же как и в ДНФ. с помощью ЛФП)

Или

1) переходим от исходной ф-ии к противоположной f(x..) (x..)

2) находим минимальную ДНФ

3) находим отрицание полученной функции. переходим к ФАЛ в МКНФ

Билет 29.

Неполностью определенные ФАЛ, возникновение, доопределение, минимизация.

Неполностью определенные: есть наборы Т1, Т0, Т*(любое значение).

Минимизация сводится к такой МДНФ(МКНФ) которая обеспечивает покрытие в обязательном порядке наборов из Т1 и не покрывает элементов множества Т0, а значения Т* функции такие, что значение ФАЛ минимально. (с помощью карт Вейча)

Билет 30.

Графы. Основные понятия. Аналитические способы задания графов.

Граф – совокупность множеств двух видов – множество вершин графа и множество ребёр, характеризующих связь между этими вершинами. Ориентированный граф – дуги имеют направление. Если вершина v я вляется концом или началом дуги x, то говорят что они инцидентны. Степень вершины – число ребер инцидентных ей. Вершина имеющая степень 0 – изолированная, 1 – висячая. Полустепень исхода вершины – число дуг орграфа исходящих из вершины (полустепень захода аналогично). контур – замкнутый путь. Транспонированный граф – получен из исходного путём изменения направления всех дуг на противоположное. Симметричный граф – для любых i,j для (xi,xj) существует xj,xi симметрично относительно диагонали. Путь – в ор. графе последовательность перемещения от вершины к вершине с учетом направления дуг.

Способы задания(анал.):

1) задать множество вершин и рёбер

2) ор. граф в виде G(X,F), где Х={x1,x2..xn}, F={Fx1,Fx2..Fxn}, где Fxi={xj}-множество вершин в которые ведут дуги исходящие из хi

оба этих способа можно использовать для задания неориент. графа. Для этого каждое звено заменяется на две дуги противоположных направлений.

3) матричный способ. матрица смежности строки и столбцы- вершины графа. элементы r_ij= для неориентированного графа матрица смежности симметрична относ. диагонали. Матрица инцидентности. а_ij=

Билет 31.

Матричные способы задания графов.

матричный способ. матрица смежности строки и столбцы- вершины графа. элементы r_ij= для неориентированного графа матрица смежности симметрична относ. диагонали. Матрица инцидентности. а_ij=

Билет 32.

Смежность, инцидентность, путь, цикл в графе. Взвешанные графы.

Если x={v,w}-ребро графа, то вершины v,w называются концами ребра х. Если x={v,w}-дуга орграфа, то вершина v называется началом, а w-концом. Если вершина v является началом или концом ребра или дуги, то говорят, что v и x инцидентны.

Вершины v,w называются смежными, если {v,w} Х. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину. Путь для ор.графа, маршрут для неор.графа. – последовательность перемещения от вершины к вершине с учётом их направления. Существуют начальные и конечные вершины. Если они совпадают, то путь – замкнутый. Путь в котором каждая дуга встречается ровно 1 раз называется простым, а в котором каждая вершина – элементарным. Замкнутый путь в ор.графе – контур. В некоторых случаях ребрам или вершинам графа присваивается вес. Тогда он называется графом со взвешенными рёбрами\\вершинами. Вес пути – сумма веса всех рёбер\\вершин, встречающихся на этом пути. Гамильтонов путь – через все вершины, причем каждая только 1 раз. Эйлеров – через все рёбра, причем каждое только 1 раз.

Билет 33.

Изоморфизм графов, подграфы, суграфы.

Граф G(X,F) и H(Y,P) называются изоморфными, если существует такое φ: XY, что для х Х и у Y связанных отношением φ φ(F_x)=P_y. (существует взаимно однозначное отображение, сохраняющее смежность). Изоморфные графы отличаются лишь обозначением вершин.

Граф G1(X₁,F₁) называется подграфом G(X,F), если X₁ Х и для X_i X₁, F_1xi F_xi, т.е. G1(X₁,F₁) может быть получен из G(X,F) путём удаления из него части вершин и (или) рёбер.

Граф G1 – суграф графа G если X₁=Х X_i X₁ , F_1xi F_xi, т.е. получается удалением части рёбер.

Билет 34.

Типы графов.

Транспонированный граф – получен из исходного путём изменения направления всех дуг на противоположное. Симметричный граф – для любых i,j для (xi,xj) существует xj,xi симметрично относительно диагонали. Если для x_i,x_j существует хотябы 1 путь\\маршрут их соединяющий, то граф – связный. Если существует путь из xi в xj и из

xj в xi, то граф – сильно связный. Граф называется слабо связанным, если для не для всех пар вершин существует путь их соединяющий. Односторонне связанный, если для x_i,x_j существует 1 путь или из xi в xj или из xj в xi. Несвязный граф м.б. единственным образом разбит на связанные компоненты, т.е. на группы взаимосвязанных вершин т.о., что между вершинами отд. группы отстутствует взаимосвязь. Неориент. граф называется деревом, если он связный и не содержит циклов. Ориент. граф называется продеревом или ориент. деревом, растущим из корня х1, если он является деревом, а единственный путь между х1 и любой др. вершиной есть путь с началом в х1. Граф, у которого множество вершин пустое – пустой граф. Граф для которого для i F_xi=Ø. Граф называется насцщенным, если для i F_xi=X

Билет 35.

Достижимость и контрдостижимость вершин в графе.

Матрица достижимости за 1 шаг – матрица смежности с единицами на главной диагонали. Матрица достижимости: если j вершина достижима их i, то 1, 0 – если нет. Матрица достижимости может быть получена из матрицы достижимости за 1 шаг путём умножения её саму на себя (возведения в степень) до тех пор, пока она не станет равна самой себе в предыдущей степени или не станет единичной. Матрица контрдостижимости получается из матрицы достижимости транспонирования.

Билет 36.

Сильные компоненты, конденсация графа.

СК графа называется максимальной размерности подграф исходного графа, являющийся сильносвязным, не содерж. целиком в другом сильно св. графе исходного подграфа. СК в совокупности будут составлять исходный граф. Чтобы найти СК нужно составить матрицу смежности, получить матрицу достижимости за 1 шаг, получить матрицу достижимости(L), получить матрицу контрдостижимости(Q), получить пересечение L и Q, перегруппировать полученную матрицу к блочно-диагональному виду. блоки и будут СК. Граф, построенный на СК – конденсация исходного графа.

Билет 37

База графа, доминирующие множества в графе.

Базой графа G(X,F) называется такое множество вершин из которого достижима любая вершина, и является минимальным(нельзя искл. ни одной без потери свойства). Чтобы найти базовое множество составим табличку, где по вертикали располагаются вершины(i), а по горизонтали тоже(j). * будет означать, что j вершина достижима за любое количество шагов из i вершины.Составим ЛФП: . После раскрытия скобок получим базовое множество.

Доминирующее множество вершин графа – такое множество, что для любой вершины не принадлежащей этому множество существует дуга ведущая к вершине принадлежащей этому множеству. Находится аналогично базовому, только * ставятся в табличке если

j вершина достижима за 1 шаг из i вершины.

Билет 38

Операции над графами. Объединение, пересечение графов.

Объединением графов Q(A,S)= G(X,F) H(Y,P) называется такой граф, у которого

A=X Y; Sа= Fа Pа. если а Х, то Fа=Ø. если а Y, то Pа=Ø.

Пересечением графов Q(A,S)= G(X,F)∩H(Y,P) называется граф у которого A=X∩Y;

Sа= Fа ∩Pа.

Билет 39.

Операции над графами. Пересечение графов.

Пересечением графов Q(A,S)= G(X,F)∩H(Y,P) называется граф у которого A=X∩Y;

Sа= Fа ∩Pа.

Билет 40.

Операции над графами. Разность графов.

Разностью графов Q(A,S)= G(X,F)\H(Y,P) называется граф у которогоA=X;

Sа= Fа \Pа (т.е. рёбра G за вычетом рёбер графа H)

Билет 41.

Операции над графами. Дополнение графов по отображению.

Дополнением графа G(X,F) до графа H(Y,P) называется такой граф Q(A,S) у которого А=Y, Sa=Pa\Fa(т.е. рёбра H за вычетом рёбер графа G)

Дополнение до универсального аналогично. Просто учитываем, что в H(Y,P). Y=A. P=Z(всё множество рёбер).

Билет 42

Свойства операций над графами.

Т.к. граф – совокупность двух множеств (вершин и рёбер), то на операции распространяются те же свойства что и над множествами.

G G= G G Λ(пустой граф)=G

G = L G L=L

G∩G=G G∩ =G_Ø т.к. вершины сохраняются

G∩L=G G∩ Λ= Λ

1) G H=H G

2)

(G H) Q=G (H Q)

(G∩H) ∩Q=G∩ (H∩Q)

3) G∩(H Q)=G∩H G∩Q

G (H∩Q)=(G H) ∩ (G Q)

4)

5) для суграфов

6) принцип двойственности для графов Берша

Пусть G,H,Q. для графа К=φ( ,∩, G,H,Q). можно получить φ(∩, , ).

Билет 43.

Отношения между графами.

плохие. точка.

Билет 44.

Путь в графе.

Путь для ор.графа, маршрут для неор.графа. – последовательность перемещения от вершины к вершине с учётом их направления. Существуют начальные и конечные вершины. Если они совпадают, то путь – замкнутый. Путь в котором каждая дуга встречается ровно 1 раз называется простым, а в котором каждая вершина – элементарным. Замкнутый путь в ор.графе – контур. В некоторых случаях ребрам или вершинам графа присваивается вес. Тогда он называется графом со взвешенными рёбрами\\вершинами. Вес пути – сумма веса всех рёбер\\вершин, встречающихся на этом пути. Гамильтонов путь – через все вершины, причем каждая только 1 раз. Эйлеров – через все рёбра, причем каждое только 1 раз.