Билет 4.

Функции, их виды. Входные и выходные алфавиты. Задание функций.

Рассмотрим отображение множества Х на элементы мн-ва У.

Y=f(x)

x Х, у Y

F X*Y называется функцией, если для каждого эл-та x Х найдется не более 1 эл-та из области Y. Если для каждого х найдется ровно 1 эл-т из У такой что (х,у) F, то функция F называется полностью определенной. Если не для каждого х найдется эл-т из у, то функция не полностью определенная. Количетсво значений выходной переменной определяет значность ф-ии. Если обл. значений обл. опр-ия ф-ии совпадают, то они называются операциями, а соотв. между мн-вом ф-ий и мн-вом чисел называется функционалом. Перечень символов, отвечающих эл-там множества Х называется алфавитом. А сами эл-ты буквами. Кол-во букв – значность. Задать ф-ию можно с помощью таблицы соответствия, где кажому х ставится в соответствие y.

Можно задать как мат. модель.

В случае, когда входные и выходные алфавиты конечны устройство называется конечным автоматом без памяти.

Функции у которых входное множество состоит из эл-тов не связанных с числами, а выходные переменные принимают значения true/false называются логическими.

Если мн-во входных букв\\слов ограничено, то всегда можно путём двоичного кодирования к мн-ву входных переменных, заданных на мн-ве (0,1).

Билет 5.

Переключательные функции, их виды, способы задания.

ф-ия принимающая значения на мн-ве {0, 1, .. k-1} аргументы кот. принимают значения на этом же мн-ве называется переключательной. Переключательной функцией называется такая функция от нескольких аргументов, все аргументы которой являются высказываниями, и значение которой также является высказыванием.    (Иначе говоря, это логическая функция от логических аргументов). Переключательная функция однозначно задаётся своей таблицей истинности. Двухзначные переключательные ф-ии – ф-ии у которых вход. и выход. переменные заданны на мн-ве (0,1). - всего ф-ий для n переменных. Последовательность нулей и единиц задающих выход. ф-ию при записи их значений в порядке следования вход. наборов от 0 до 2^k-1 называется изображающим числом ф-ии. Обозначается решёткой.

Билет 6.

Функции алгебры логики, способы их задания. Фиктивные и существенные аргументы. Не полностью определенные функции.

Если не для каждого х найдется эл-т из у, то функция не полностью определенная.

Способы задания: табличный, по наборам T0\\T1. Множество наборов, на которых функция = 0 – Т0(номера наборов), аналогично Т1. Т0 Т1

Все аргументы могут быть разбиты на 2 части: существенные и фиктивные.

Существенные – такие переменные, изменения значения которых влияют на значение ф-ии. В противном случае аргумент – фиктивный. Для проверки на сущ-ть\\ф-ть. Разбивают на Т1 и Т0. Расписывают номера, входящие в этот набор в двоичный вид. Вычеркивают переменную, которую проверяют и ищут совпадающие наборы в Т0 и Т1. Если нашёлся – существенная. Фиктивные можно исключать.

Билет 7.

Элементарные двухместные ФАЛ f₀ – f₇, смысл и интерпретация.

x₁ 0 0 1 1

x₂ 0 1 0 1

y₀ 0 0 0 0 – константа 0. x₁,x₂- фиктивные.

у₁ 0 0 0 1 – конъюнкция х₁*х₂

у₂ 0 0 1 0 – функция запрета x₁x₂=

y₃ 0 0 1 1 – x₁. х₂ – фиктивный

у₄ 0 1 0 0 – x₂x₁ запрета

y₅ 0 1 0 1 – x₂. х₁ – фиктивная

y₆ 0 1 1 0 – сумма по модулю 2. х₁ x₂= (0 – если одинаковые знаки)

у₇ 0 1 1 1 – дизъюнкция x₁+x₂

Билет 8.

Элементарные двухместные ФАЛ f₈ – f₁₅, смысл и интерпретация.

у8 1 0 0 0 –ф-ия Бебба. (обр. диз-ии) x1↓x2= (через неё можно все остальные)

у9 1 0 0 1 – ф-ия э-ти x1~x2= (обратна к ) если одинаковые – 1.

у10 1 0 1 0 – . х1 - фиктивный

у11 1 0 1 1 – импликация. x1x2 следование. ложь только когда из 10.

y12 1 1 0 0 - . х2 – фиктивный

y13 1 1 0 1 – импликация . x2x1 следование. ложь только когда из 10

у14 1 1 1 0 – Шеффера x1/x2= (обр. коньюнкции)

y15 1 1 1 1 – константа 1. х1, х2- фикт.

Билет 9.

Коммутативность и ассоциативность ФАЛ.

f(x1,x2)=f(x2,x1). Работает +, *, , ~, /, ↓. не работает для следования и запрета.

f(x1,f(x2,x3))=f(f(x1,x2),x3). Работает для +, *,~,

Билет 10.

Дистрибутивность ФАЛ, операции склеивании и поглощения.

Дистрибутивность справедлива для дизъюнкции относительно конъюнкции и наоборот

х1*(х2+х3)=х1*х2+х1*х3

х1+(х2*х3)=(х1+х2)*(х1+х3)

Свойство поглощения

х1*(х1+х2)=х1

х1+(х1*х2)=х1

Свойство склеивания

х1*х2+х1* =х1

(х1+х2)*(х1+ )=х1

Билет 11.

Многоместные ФАЛ. Операции над ФАЛ.

Операции:

1) подстановка (1 из аргументов Мб заменен на нек. фал.)

f(x₁,..x_i,..x_n)

x_i=φ(x₁,..x_n)

f(x₁,.. φ(x₁,..x_n),..x_n)=ψ(x₁..x_n)

2) замена аргументов

f(x₁,..x_i,..x_n)= ψ(x₁..z..x_n). x_i=z

Процесс образования новой ФАЛ мб путём неоднократного применения рассмотренных выше операций. Называется суперпозиция.

f(x₁,x₂,x₃)=f(φ₁(x₁,x₂), φ₂(x₁,x₃),x₄)= ψ(x₁,x₂,x₃,x₄)

Удобно реализуется в виде эл. мех. переключательной схемы.

x

x 1*x2

x 1+x2

Многоместные ФАЛ.

1) &: x1&x2&x3&..&xn=

2) V: x1Vx2V..xn=

3 ) /: x1/x2/../xn=

4 ) ↓: x1↓x2↓…↓xn=

5)

Билет 12.

Переключательные схемы, логические сети.

Логическая сеть – реализация ФАЛ с помощью конъюнкции, дизъюнкции, отрицания.

Требования:

1) на вход сигнал поступает или со входа схемы или с предыдущего эл-та

2) с выхода сигнад идёт или на выход сети или на вход последующего элемента

3) не допускается соединение 2х и более выходов с разных элементов в 1 точке.

4) не допускается образование обратных связей

5) запрещены тупиковые элементы

Сложность логической сети – число сост. её элементов.

x

x 1*x2

x 1+x2

Билет 13.

Двойственность ФАЛ, принцип двойственности.

Дполнение к объединению множеств равно пересечению их дополнений, а дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений.

Функция f*(x1..xn) называется двойственной по отношению к f(x1..xn), если она принимает противоположные значения на противоположных наборах

Отношение двойственности взаимно.

[f(x)]*=

двойственны:

*, +

/, ↓

, ~

,

например

Самодвойственные-

Если некоторая суперпозиция функций f(φ*₁, φ*₂, ..φ*_n) образуют функцию ψ(х), то такая же суперпозиция двойственных функций f*(φ*₁, φ*₂, ..φ*_n) образует функцию ψ*(х), двойственную ψ(х).

Билет 14

Формулы и теорема де-Моргана.

Вытекает из принципа двойственности.

Доказывать можно с помощью кружков. (ДОПИСАТЬ)

Билет 15.

Минтермы, макстермы и их свойства.

Минтермом ранга n с номером j - называется конъюнкция n логических переменных, каждая из которых входит ровно 1 раз в прямой или инверсной форме, причем j- номер минтерма, соотв. двоичному набору с номером j в котором каждая переменная, входящая в прямой форме соответствует единице, а в инверсной – 0.

Свойства:

1) любой минтерм n-ого ранга с номером j равен единице на одном единственном наборе, номер которого равен номеру минтерма.

пример

на любом другом наборе получится 0

2) Дизъюнкция всех минтермов n ранга равна 1.

Макстермом ранга n с номером j называется n местная ФАЛ в форме дизъюнкции n логических переменных, каждая из которых входит ровно 1 раз в прямой или инверсной форме, причем j= (противоположный набор), где j соответствует двоичному набору в котором каждая переменная, входящая в прямой форме соотв. единице, а в инверсной – 0.

Свойства:

1) любой макстерм n-ого ранга с номером j равен нулю на одном единственном наборе, номер которого противоположен номеру макстерма. получается j= Например для 5 макстерма нужен набор j= . Он же получается инверсией значений на пятом наборе.

2) Конъюнкция всех макстермов n-ого ранга равна нулю.

Билет 16.

Разложение ФАЛ.

Любую ФАЛ можно представить с помощью конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

1)Любая ФАЛ кроме константы 0 может быть представлена в форме дизъюнкции минтермов максимального ранга, соответствующих наборам на которых эта функция равна единице.

f(x1,x2,…,xn)= Это будет СДНФ. Если функция представлена в виде дизъюнкции минтермов не обязательно максимального ранга, то она просто дизъюктивная нормальная форма (ДНФ)

2) Любую ФАЛ, кроме константы единицы может быть представлена в форме конъюнкции макстермов максимального ранга равных нулю, на наборах противоположных наборам T0.

f(x1,x2,…,xn)= (можно брать наборы на которых функция равна нулю и инвертировать все значения переменной.) Если функция представлена в виде конъюнкции макстермов не обязательно максимального ранга, то она просто конъюктивная нормальная форма (КНФ). ДНФ из СДНФ получается склейками и поглощениями.

3) Полиномиальная форма

Используют запись в полиномиальной форме, вместо дизъюнкции используют .

При записи в форме СДНФ для каждого набора j из T1 равен 1 будет только 1 минтерм, вместо дизъюнкции можно , т.е.

f(x1,x2,…,xn)= = все инверсии можно заменить Это СПНФ.

Билет 17.

СДНФ, построение и свойства.

Любая ФАЛ кроме константы 0 может быть представлена в форме дизъюнкции минтермов максимального ранга, соответствующих наборам на которых эта функция равна единице.

f(x1,x2,…,xn)= Это будет СДНФ. Если функция представлена в виде дизъюнкции минтермов не обязательно максимального ранга, то она просто дизъюктивная нормальная форма (ДНФ)

Билет 18.