Решение уравнения Бакли – Леверетта.

В процессе нагнетания воды в пласт ее насыщенность будет меняться со временем вдоль направления движения x. Связь между S, x и t можно записать в функциональной форме S = S (x, t) или, что эквивалентно, в дифференциальной форме

(189)

Для любого заданного значения можно установить такую связь между x и t, что удовлетворяется уравнение S = S (x, t) = const или эквивалентное дифференциальное уравнение.

Решим совместно два уравнения:

(190)

Решение системы уравнений (190) дает соотношение между x и t в дифференциальной форме.

Из решения уравнений (190) находим:

(191)

Производная dx/dt вычисляется при постоянном значении S, т. е. dx/dt = x/t.

Найдем положение х (после интегрирования 191) заданного значения насыщенности как функцию времени:

, (192)

где хо – значения координат с начальной водонасыщенностью So при t = 0.

Таким образом, уравнения (191) и (192)

dx/dt = w/mf(s)

и

x(s) = w/mf(s)t + xo

можно использовать для расчета скорости и координаты данного значения насыщенности в области непрерывного профиля, и уравнения

(193)

индексом “с” обозначены величины, относящиеся к фронту (скачку) насыщенности, а , выражение (193) задает скорость Vc распространения фронта насыщенности и известно как условие на скачке.

Равенство (193) имеет простой геометрический смысл: скорость скачка Vc пропорциональная тангенсу угла наклона к оси S секущей, соединяющей точки кривой f(S), имеющие абсциссы с коэффициентом пропорциональности w/m.

Если насыщенности по обе стороны фронта постоянны, уравнение (193) можно проинтегрировать и найти положение фронта как функцию времени:

, (194)

где хco – положение скачка при t = 0 (хco = 0).

При помощи (193) и (194) можно найти скорость и положение скачка насыщенности.

Приведем простой способ графического построения профиля насыщенности, который состоит в следующем (Рис. 19):

1). В соответствии с данными о фазовых проницаемостях флюидов по формуле (173*) кривая Бакли – Леверетта f(S).

2). Из точки а на кривой f(S), соответствующей начальной водонасыщенности So в пласте, проводится касательная к f(S).

3). Насыщенность в точке касания Sс есть насыщенность, которая устанавливается в пласте непосредственно за фронтом

4). Отрезок на Рис. 19б представляет величину скачка насыщенности Sс – So, которая не меняется со временем (стационарный скачок).

5). Скорость перемещения постоянных насыщенностей, больших Sс, пропорциональна наклону касательной к f(S) в соответствующей точке.

Расчет определения насыщенности

1). Определим насыщенность Sс на скачке (фронтальную насыщенность) из уравнения

(195)

При численных расчетах Sс вместо решения уравнения (195) удобно использовать (эквивалентный) способ, не требующий дифференцирования экспериментальной функции f(S). За фронтальную насыщенность следует принять те значения S, которые обеспечивают максимум дроби:

(196)

Условие (196) означает, что на скачке реализуется то (условие) значение насыщенности, которое обеспечивает ей наибольшую скорость.

2). Зная Sс, из (194) определяют положение хс, скачка насыщенности.

3). По (192) рассчитывают непрерывную ветвь профиля насыщенности при Sс < S < S* и 0 < x < xc.

Практическое применение решения Бакли – Леверетта.

Расчет коэффициентов нефтеотдачи.

На первой стадии вытеснения коэффициент безводной нефтеотдачи Ен определяется как отношение вытесненного водой объема нефти от нагнетательной галереи до фронта к общему объему пор, занятых нефтью до начала вытеснения.

Предположим, что объем закачанной воды равен объему вытесненной нефти, тогда можно записать

(197)

откуда

(198)

Определим среднюю насыщенность

(199)

Равенство (199) имеет следующий геометрический смысл: средняя насыщенность есть абсцисса точки пересечения С1 касательной к кривой f(S), определяющей фронтальную насыщенность с прямой f = 1. Это дает способ графического определения S.

С учетом (199), (198) примет вид:

. (200)

С учетом равенства

,

(201)

(Эффективность вытеснения возрастает с ростом вязкости о вытесняющей жидкости и уменьшением вязкости о вытесняющей нефти. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость воды, нагнетаемой в нефтяной пласт, может значительно повысить полноту вытеснения и увеличит нефтеотдачу).

Выражение (198) примет вид:

, (202)

Из (202) следует, что коэффициент безводной нефтеотдачи увеличивается при увеличении вязкости вытесняющей фазы о или при уменьшении вязкости вытесняющей фазы н.

После прорыва воды через добывающую галерею вводят понятие коэффициента конечной нефтеотдачи Ен при заданной обводненности на выходе из пласта или после прокачки известного количеств поровых объемов воды.

Величина Ен находится из равенства:

,

где время окончания добычи

.

Откуда после вычисления получаем

, (203)

где Sl – насыщеннось на выходе из пласта;

Равенство (203) можно представить в виде аналогичном (200) в силу равенства

, (204)

где Sl определим из

,