15

Понятие о точечном источнике и стоке.

Метод суперпозиции.

Точечным стоком назовем точку на плоскости, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник – это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины).

Потенциал течения выразим как функцию, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т. е.

(140)

сравнив с законом Дарси видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой

. (141)

Потенциал для точечного стока на плоскости:

(142)

где С – постоянная интегрирования.

Потенциал в окрестности скважины – стока пропорционален логарифму расстояния r от стока (центра скважины). Функция обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.

Потенциал точечного стока в пространстве

(143)

Распределение давления и потенциал в установившихся потоках несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид

(144)

Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф₁(x,y), Ф₂(x,y),….., Ф_n(x,y), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа,

т. е.

, i=1,2,….,n, (145)

то и сумма (где С_i – произвольные постоянные)

также удовлетворяет уравнению Лапласа (144).

Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины, подчиняется так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин; затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются.

Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины по правилам сложения векторов.

Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания.

Дано: Горизонтальный пласт, толщиной h; А1, А2,…,Аn – группа скважин с радиусом rci, которые работают с различными забойными потенциалами Фci,

i = 1,2,…,n. Фк – потенциал на контуре питания.

Рис. 15.

Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания.

Определить: дебит каждой скважины и скорость фильтрации в любой точке пласта.

Решение: Потенциал в любой точке пласта М определим из выражения

(146)

где - дебит скважины – стока, приходящейся на единицу толщины пласта; r1,r2,…,r n – расстояние от первого, второго, n – го стоков до точки М; С1, С2,…,Сn - постоянные. С = С1 + С2 +Сn.

Точку М последовательно поместим на забой каждой скважины, получим выражения забойного потенциала на них в виде

(147)

Дополнительное уравнение получаем, поместим точку М на контур питания:

(148)

Вычитая почленно каждое из уравнений (147) из (148), исключив постоянную С получим систему из n уравнений, из которой можно определить дебиты скважин q1,q1,…,qn, если заданы забойные и контурные потенциалы Фс1, Фс2,…, Фcn, Фк. Таким образом, можно решить обратную задачу определения потенциалов по известным дебитам qi (i = 1,2,…,n).

Имеем:

(149)

Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания.

В полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания, на котором потенциал равен Фк, работает одна добывающая скважина А с забойным потенциалом Фс.

Определить: дебит скважины q, потенциал и скорость фильтрации в любой точке пласта.

Р ис. 16. Схема притока жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания.

Рассмотрим в бесконечном пласте совместную работу двух скважин: скважины стока А с дебитом q и скважины – источника А с дебитом q. Потенциал в любой точке М, находящейся на расстоянии r1, от скважины А и r2 от скважины А:

(150)

Потенциал на контуре питания

(151)

Из (150) с учетом (151) потенциал на забое скважины А

(152)

Из (152) выражение для дебита скважины А (для единицы толщины пласта)

(153)

Из (150) с учетом (151) определим потенциал в любой точке М:

(154)

Приток жидкости к несовершенным скважинам при выполнении закона Дарси.

Путем подбора интенсивности расходов q и используя метод суперпозиции действительных и отображенных стоков, М. Маскет получил формулу для дебита гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта скважины:

, (155)

где

функция имеет следующее аналитическое выражение:

, (156)

где - интеграл Эйлера второго рода, называется гамма – функцией, для которой имеются таблицы в математическом справочнике.

При  = 1, т.е. пласт вскрыт полностью, (155) переходит в формулу Дюпюи для плоскорадиального потока.

Кроме того, для расчета несовершенной по степени вскрытия пласта скважины используется более простая формула, чем (155) М. Маскета, предложенная И. Козени:

(157)

Гидродинамическое несовершенство скважины характеризуется коэффициентом совершенства скважины, , где Q – дебит несовершенной скважины, Qсов – дебит совершенной скважины.

Скважина называется гидродинамически совершенной, если она вскрывает продуктивный пласт на всю толщину и забой скважины открыт (т.е. вся вскрытая поверхность является фильтрующей).

При вскрытии пласта не на всю толщину скважиной с открытым забоем, а только на некоторую глубину b, то ее называют гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта, – степень вскрытия пласта.

Если скважина вскрывает пласт до подошвы, но сообщение с пластом происходит только через специальные отверстия в обсадной колонне и цементном камне или через специальные фильтры, то такую скважину называют гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия пласта.

Широкое распространение получил метод расчета дебитов несовершенных скважин, основанный на электрогидродинамической аналогии фильтрационных процессов.

Дебит гидродинамически несовершенной скважины подсчитывается по формуле

, (158)

где С = С1 + С2 – дополнительное фильтрационное сопротивление, вызванное несовершенством скважины по степени вскрытия пласта (С1) и характеру вскрытия (С2).

Измеряя разность потенциалов и силу тока, можно подсчитать сопротивление по закону Ома, сделать пересчет на фильтрационное сопротивление и определить дополнительное фильтрационное сопротивление.

В. И. Щуровым были проведены такие экспериментальные исследования, в ходе которых им были определены дополнительные фильтрационные сопротивления С1 и С2 для различных видов несовершенства скважин и построены соответствующие графики.

Выражение дополнительного фильтрационного сопротивления получено И. А. Чарным с использованием формулы Маскета (155) в виде

, (159)

где () определяется по формуле (156) или по графику.

А. М. Пирвердян получил для коэффициента С1 следующее выражение

(160)

Сравнив дебиты совершенной скважины (формула Дюпюи) и несовершенной скважины (158), получим выражения коэффициента совершенной скважины в следующем виде:

(161)

Приток газа к несовершенным скважинам при двучленном законе фильтрации.

Для рассчета дебитов газовых скважин несовершенных по степени и по характеру вскрытия при нарушении закона Дарси предлагается следующая схема.

Рис. 17. Схема притока газа к несовершенной по степени и характеру вскрытия скважине.

Круговой пласт, в центре которого находится скважина, делится на три области. Первая область имеет радиус R1 = (2  3)rc, здесь из – за больших скоростей вблизи перфорационных отверстий происходит нарушение закона Дарси, т. е. в основном проявляется несовершенство по характеру вскрытия. Вторая область представляет собой кольцевое пространство R1 < r < R2, R = h, здесь линии тока искривляются из – за несовершенства скважины по степени вскрытия пласта. В третьей области R2 < r < Rk, течение плоскорадиальное.

Для третьей области запишем:

(162)

Во второй области:

, (163)

где С1 и С2 – коэффициенты, характеризующие несовершенство скважины по степени вскрытия,

,

. (164)

Обе формулы являются приближенными, которые имеют место при b>> R1.

Для первой области

, где (165)

С2 – определяют по графикам В. И. Щурова, для С2 - по приближенной формуле

, (166)

где N – суммарное число перфорационных отверстий, l' – глубина проникновения перфорационной пули в пласт.

Складывая почтенно (162), (163), (165) и пренебрегая величиной, получим уравнение притока газа к несовершенной скважине в виде

(167)

Если записать (167) через коэффициенты фильтрационных сопротивлений А1 и В1 в виде (105), то для несовершенной скважины получим:

, (168)

где С1 и С1 определяются по (164), С2 - по (166), а С2 – по графикам В. И. Щурова.

Формулы (164) могут быть уточнены, для решения поставленной задачи рассмотрим схему (Рис. 17).

Выразим скорость фильтрации в виде

(169)

Уравнение (5) запишем в виде

, (170)

где m и n – параметры, зависящие от координат линий тока

, (171)

. (172)

Для уточнения формул (164) проинтегрируем уравнения (160)

, (173)

, (174) где , .

Решения уравнений (173) и (174) позволяют уточнить формулы (164):

,

. (175)

В настоящий момент основную информацию о работе скважины получают по результатам гидродинамических исследований при установившейся фильтрации.

При фильтрации газа стандартные индикаторные линии описываются уравнением притока:

. (176)

Размерность коэффициентов фильтрационного сопротивления

,

Теоретические коэффициенты А и В для случая плоскорадиальной фильтрации газа с учетом гидродинамического несовершенства скважины по степени и по характеру вскрытия пласта рассчитываются по формулам:

; (177)

, (178)

где  - коэффициент динамической вязкости газа, Па  с, ст – плотность газа при стандартных условиях, кг/куб. м, Z – коэффициент сверхсжимаемости газа, Тпл – средняя температура в пласте, К, Рст – стандартное давление, Рст = 0,1 Мпа, Тст – стандартная температура, Тст = 293 К, К – коэффициент проницаемости, кв.м, h – эффективная толщина пласта, м, Rk – радиус контура питания, м, rc – радиус скважины, м, С1 и С1 - коэффициенты гидродинамического несовершенства скважины по степени вскрытия пласта, С2 и С2 - коэффициенты гидродинамического несовершенства скважины по характеру вскрытия пласта,  - коэффициент вихревых сопротивлений.

Предельным случаем фильтрации к гидродинамически несовершенной скважине по степеням вскрытия пласта (полная кольматация фильтра, работает одно или несколько отверстий, промытых потоком газа) является радиально – сферическая фильтрация. При этом коэффициенты А и В равны:

, (179)

, (180)

где m1 – коэффициент, учитывающий положение единичного канала фильтрации, m1 = 1 – сферическая фильтрация, m1 = 2 – полусферическая фильтрация.