Двухфазная фильтрация несмешивающихся жидкостей.

На вытеснении нефти водой или газом основана технология ее извлечения из недр при разработке месторождений.

Рассмотрим процесс вытеснения, происходящий в прямолинейном тонком горизонтальном образце (Рис. 18), представленной однородной и изотропной средой.

В рассматриваемый образец первоначально заполненный нефтью, через сечение x = 0 закачивается вода.

Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления. Рис. 18. Схема прямолинейно параллельного вытеснения нефти водой.

В этом случае закон фильтрации каждой фазы можно представить в виде обобщенного закона Дарси в дифференциальной форме:

(181)

(182)

Здесь Wв , Qв и Wн , Qн – скорости фильтрации и объемные расходы соответственно воды и нефти, в, н – коэффициенты динамической вязкости фаз, kв(S) и kн(S) – относительные фазовые проницаемости, S = Sв – водонасыщенность.

Sв + Sн = 1

Исключим градиент давления , поделив почленно одно на другое уравнения (181) на (182):

, (183)

где .

Применив к (183) правило производных пропорций и использовав соотношения Wв + Wн = W(t) или Qв + Qн = Q(t), (183) получим:

Обозначим

(184)

Из предыдущего равенства найдем:

и (185)

Функция насыщенности f(S), называется функцией распределения потоков фаз или функцией Бакли – Леверетта.

Из (175) следует, что f(S), представляющая отношение скорости фильтрации (или расхода) вытесняющей фазы (воды) и суммарной скорости W (или расхода Q), равна объемной доле воды в суммарном потоке двух фаз. Функция f(S) определяет полноту вытеснения и характер насыщенности по пласту. Задача повышения нефти – и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводится к применению таких воздействий на пласт, которые, в конечном счете изменяют вид f(S) в направлении увеличения полноты вытеснения.

Из (174) видно, что функция f(S) полностью определяется относительными фазовыми проницаемостями (Рис. 19).

С ростом водонасыщенности f(S) моно

тонно возрастает от 0 до 1. Характерная

особенность графика f(S) – наличие точки

перегиба П с насыщенностью Sп, участков

вогнутости и выпуклости, где вторая про –

изводная f(S) соответственно больше и

меньше нуля. Эта особенность в большей

степени определяет специфику фильтра –

ционных задач вытеснения в рамках

модели Бакли – Леверетта.

Рис. 19. Зависимость объемной доли вытесняющей фазы (воды) в потоке f(а) и ее производной (б) от насыщенности.

Уравнение

(186)

Является дифференциальным уравнением только относительно насыщенности. Изменение насыщенности во времени по пласту можно получить в результате решения уравнения (186) независимо от распределения давления р(x, t). Уравнение (186) является уравнением Бакли – Леверетта. Для нахождения распределения насыщенности к уравнению (186) нужно добавить начальное и граничное условия:

При t = 0

При x = 0 (187)

Первое из уравнений (187) означает, что в момент времени t = 0 (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенности S вытесняющей фазы, определяемое функцией (x). Согласно второму условию (187), при t > 0 в пласт через нагнетательную галерею, расположенную на “линии” x = 0, закачивается вытесняющая жидкость (вода), насыщенность которой при x = 0 меняется со временем по заданному закону (t). В некоторых случаях можно считать, что

(188)