1. Основные понятия и законы фильтрации нефти и газа
Подземная гидромеханика – наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Она является областью гидромеханики, в которой рассматривается не движение жидкостей и газов вообще, а основной вид движения, который называется – фильтрация.
Горные породы, которые могут служить вместилищами нефти и газа и способные отдавать при разработке, называется породами коллекторами.
Фильтрацией называется движение жидкостей и газов и их смесей через твердые тела, содержащее связанные между собой поры или трещины.
Важнейшей из характеристик пористой среды является коэффициент пористости m, определенный для некоторого элемента пористой среды как отношение объема Vп, занятого порами в этом элементе, к общему объему V:
,
(1)
Наряду с пористостью m иногда вводится понятие “просветности” n, определяемой для каждого сечения, проходящего через данную точку, как отношение площади П активных пор в сечении ко всей площади сечения :
,
(2)
Первые теоретические исследования порового пространства проводили при помощи идеализированных моделей грунта, называемых идеальным или фиктивным грунтом.
Фиктивным грунтом называется модель пористой среды, состоящей из шариков одинакового диаметра. Под идеальным грунтом понимается модель пористой среды, поровые каналы которой представляют пучок тонких цилиндрических трубок (капилляров) с параллельными осями.
Параметр, характеризующий размер порового пространства – эффективный диаметр dэф, который определяется в результате механического анализа грунта. Эффективным диаметром частиц, слагающих реальную пористую среду, называется такой диаметр шаров, образующих фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково.
Основным законом фильтрации является закон Дарси, в дифференциальной форме он имеет вид:
,
(3)
где
- градиент давления (сил трения), V
– скорость фильтрации,
- коэффициент динамической вязкости, k
– коэффициент проницаемости.
Знак (-) в левой части формулы (3) означает, что течение газа происходит в направлении, противоположном росту давления.
Фундаментальный закон фильтрации (3) устанавливает связь между скоростью фильтрации и градиентом давления.
В теории фильтрации движение жидкости или газа через пористую среду рассматривается не с точки зрения движения потоков по отдельным извилистым микроскопическим каналам, а распространяют расход жидкости или газа на всю поперечную площадь пористой среды. Эта фиктивная скорость называется скоростью фильтрации. Истинные скорости движения в отдельных каналах могут значительно превышать скорость фильтрации. В связи с этим все законы фильтрации, устанавливающие связь между скоростью фильтрации, градиентом давления и параметрами пористой среды и жидкости, носят статический характер.
Проведенные в дальнейшем эксперименты показали, что закон Дарси не является универсальным и нарушаются области малых и больших скоростей. Нарушение в области малых скоростей связано с молекулярным эффектом. Причины, вызывающие отклонение от закона Дарси при больших скоростях, являются до настоящего времени предметом дискуссии среди исследователей.
В 1901 году Форхгейме, ссылаясь на исследования Мазони, рекомендовал выражать зависимость градиента давления от скорости двучленным законом фильтрации:
,
(4)
Двучленный закон фильтрации в дифференциальной форме при прямолинейной фильтрации газа в принятых сейчас обозначениях, без учета силы тяжести имеет два вида записи:
,
(5)
или
(6)
где - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально, l – коэффициент макрошероховатости, характеризующий структуру порового пространства, - плотность газа (жидкости).
Первое слагаемое в правой части уравнения (5) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе слагаемое – инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью и извилистостью поровых каналов.
При малых скоростях течения природа нелинейности закона фильтрации иная. Чем в области больших скоростей фильтрации (больших значений числа Рейнольдса). Она связана с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся флюидов, а также других Физико-химических эффектов. Поэтому для качественного изучения вопроса и количественной оценки этих эффектов необходимо отказаться от модели вязкой однородной жидкости и заменить ее какой-либо другой реологической моделью пластового флюида.
Ограничимся формулировкой наиболее простого нелинейного закона фильтрации неньтоновских жидкостей, в основе которого лежит модель фильтрации с предельным градиентом. Для случая одномерного линейного потока его можно представить в виде
,
(
),
,
,
где
- предельный (начальный) градиент
давления, по достижении которого
начинается движение жидкости: при
меньших значениях градиента движения
отсутствует, этот параметр измеряется
в лабораторных условиях.
Закон фильтрации записывают также в виде одночленной степенной формулы:
(7)
где С и n - постоянные, определяемые опытным путем, причем 1< n < 2.
При n = 1 из (7) получается закон Дарси, при n = 2 – квадратичный закон А.А. Краснопольского.
Таким образом, формула (5) имеет два параметра и k, которые подлежат дальнейшему изучению и установлению связи между ними.
Входящий в линейный закон фильтрации Дарси (3) коэффициент проницаемости определяется при исследовании кернов или на основе гидродинамических исследований.
Исследованиями показано, что для пористых сред коэффициент проницаемости зависти от размера зерен и их дисперсности, коэффициента пористости, формы зерен, степени их сцементированности и. т. д.
Л. С. Лейбензон предложил выразить коэффициент проницаемости в виде:
(8)
где d – линейный размер (диаметр) зерен пористой среды, Sl – безразмерный критерий (число Слихтера), зависящий от коэффициента пористости и структуры порового пространства, т. е.
(9)
где - некоторый параметр, характеризующий структуру порового пространства пласта, m – коэффициент пористости.
2. Границы применимости закона Дарси.
Верхняя граница определяется группой причин связанных с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением Re кр числа Рейнольдса:
,
,
где - d – линейный размер пористой среды, v - кинематический коэффициент вязкости флюида.
Экспериментальные исследования Льюиса, Фэнчера, Линквиста показали зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса.
Таблица 1.1
Определение верхней границы применимости закона Дарси по данным различных авторов
Автор |
|
Н. Н. Павловский |
7,5-9 |
Фенчер, Льюис, Бернс |
1-4 |
М. Д. Миллионщиков |
0,022-0,29 |
Ф. И. Котяхов (Г. Ф. Требин) |
0,3 |
В. Н. Щелкачев |
1-12 |
А. И. Абдулвагабов |
0,019-8,1 |
Интервалы критических значений Re для различных образцов пористых сред
Таблица 2
Образец пористой среды |
Диапазон критических значений |
Однородная дробь |
13-14 |
Однородный крупнозернистый песок |
3-10 |
Неоднородный мелкозернистый песок с преобладанием фракций диаметром менее 0,1 мм |
0,34-0,24 |
Сцементированный песчаник |
0,05-1,4 |
Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была выполнена Павловским, который, опираясь на результаты Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равный эффективному диаметру d эф вывел следующую формулу для числа Рейнольдса:
,
Использовав эту формулу и данные экспериментов, Н. Н. Павловский установи, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах
.
Достаточно узкий
диапазон изменения значений
объясняется тем,
что в опытах использовались не слишком
разнообразные образцы пористых сред.
Нижняя граница определяется проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости, ее взаимодействия с твердым скелетом пористой среды при достаточно малых скоростях фильтрации.
3. Дифференциальное уравнение движения
Выделим два сечения – первое на расстоянии S от начала отсчета вдоль линии тока, второе – на расстоянии S от первого (рис. 1).
Движение флюида
происходи в направлении возрастания
координаты S.
В сечении с координатой S
обозначим приведенное давление через
p*(S,
t),
в сечении координат S
+ S
– через p*(S
+ S
,t),
используя формулу
,
п
олучаем
,
Рис.
1. Трубка тока
перейдем к пределу
при
,
,
(*)
Знак (-) в
правой части означает, что приведенное
давление падает по движению жидкости,
т.е. градиент приведенного давления
отрицателен
.
Запишем уравнение
(*) в проекциях на оси координат x,
y,
z.
Если обозначить через
,
,
единичные векторы
вдоль осей координат, вектор скорости
фильтрации можно записать в виде
,
,
тогда
,
или в проекциях на оси координат
,
,
,
(«)
если ось z
направлена вверх
и дифференциальные уравнения движения
примут вид
,
,
,
в векторной форме
.
В дифференциальной
форме двучленный закон записывается в
виде
,
где S – координата, взятая вдоль линии тока по движению жидкости.
В векторной форме двучленный закон выведен из теории размерностей, в виде
В прекциях на оси координат имеем
,
,
.
При фильтрации
неньютоновских вязкопластичных
жидкостей, а также при фильтрации с
очень малыми скоростями имеет место
закон фильтрации (5), который отличается
от закона Дарси наличием предельного
градиента
,
по достижении которого начинается
движение. В векторной форме закон
фильтрации с предельным градиентом
выведен из теории размерностей и имеет
вид
.
;
в проекции на оси координат:
;
;
.
Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации однородного флюида по закону Дарси. Функция Л. С. Лейбензона.
Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации используем уравнение неразрывности
или
(10)
Сумма в скобках в
левой части уравнения (10) представляет
собой дивергенцию вектора скорости
фильтрации
и кратко записывается таким образом:
И уравнения движения
(11)
В уравнении (11) не будем учитывать силу тяжести.
Введем функцию
(функцию Лейбензона), тогда дифференциал
этой функции равен:
,
(12)
тогда
,
(13)
т. к. функция Лейбензона и давление зависит от координат x, y, z и t, то (12) можно записать в развернутом виде:
Сравнивая коэффициенты при x, y, z получаем:
,
,
,
(14)
Запишем выражение для составляющих массовой скорости фильтрации, умножив правую и левую части уравнения (11) на плотность и используя соотношения (14):
,
(15)
Подставим выражение (15) в (10), получим:
(16)
или
,
(17)
где
- оператор Лапласа от функции Лейбензона
(13).
Уравнение (16) справедливо для неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.
При установившейся
фильтрации
и будет удовлетворяться уравнение
Лапласа для функции Лейбензона:
(18)
При k = const, = const, и = (р), тогда функцию Лейбензона запишем в виде:
.
(19)
Тогда дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации примет вид:
(20)
Выразим функцию Лейбензона (19) через давление для различных флюидов – несжимаемой жидкости, упругой жидкости, совершенного газа и реального газа. Для этого в (19) подставим соответствующие выражения для плотности и проинтегрируем.
Для несжимаемой жидкости о = const, тогда
(21)
т. е. Функция Лейбензона пропорциональна давлению.
Для
упругой жидкости с уравнением состояния
.
(22)
.
(23)
При Ж(p-p0)1 , то
,
(24)
т. е. имеем тот же вид, что и для несжимаемой жидкости.
Для совершенного газа с уравнением состояния
,
(25)
получаем
,
(26)
т. е. функция Лейбензона пропорциональна квадрату давления.
Для реального газа с уравнением состояния
,
(27)
тогда
,
(28)
т. е. функция Лейбензона записывается в виде интеграла.
Т. к. реальные свойства газа проявляются при высоких пластовых давлениях, то в этом случае оказывается существенной зависимость вязкости от давления и нужно использовать функцию Лейбензона в виде (13).