Необходимое и достаточное условие вхождение конъюнкции в

Сопоставим д.н.ф. D и точке множество всех интервалов таких , что

1. 

2. , и назовем его пучком в D.

Пусть конъюнкция К входит в д.н.ф. D.

Точка называется регулярной относительно (К,D), если существует точка такая , что

1. 

2. 

Множество называется регулярным относительно (К,D) , если все его точки регулярны относительно (К,D).

Теорема. Конъюнкция К из д.н.ф. D не входит в д.н.ф. тогда и только тогда , когда интервал есть множество , регулярное относительно (К,D).

Замечание. Для всякого множества регулярного относительно (К,D), и для всякой тупиковой относительно D д.н.ф., , справедливо соотношение .

Пусть и .

Теорема. Точка является регулярной относительно (К,D) тогда и только тогда, когда существует точка такая, что

Замечание. Свойство конъюнкции входить или не входить в д.н.ф. однозначно определяется заданием пучка для всех точек из

Пусть конъюнкция К входит в д.н.ф. D.

Окрестность нулевого порядка конъюнкции К в д.н.ф. D состоит из одной конъюнкции К.

Пусть определена окрестность (k- 1) -го порядка конъюнкции К в д.н.ф. D. Окрестностью k –го порядка конъюнкции К в д.н.ф. D

называется совокупность всех таких конъюнкций из д.н.ф. D , для которых интервал имеет непустое пересечение с каким – либо интервалом, соответствующим конъюнкции из .

Замечание. .

Теоерема. Если , то К одновременно содержится или не содержится в д.н.ф. и .

Таким образом свойство конъюнкции К входить или не входить в д.н.ф. однозначно определяется окрестностью второго порядка . Следовательно, конъюнкции, не входящие в д.н.ф. могут быть удалены из сокращенной д.н.ф. алгоритмом , который на каждом шаге рассматривает только конъюнкции из .

А – алгоритм.

Пусть конъюнкция К ранга входит в д.н.ф. D .

Множество называется множеством первого типа относительно (К,D), если в д.н.ф. D существуют конъюнкции рангов такие, что , .

Рассмотрим два свойства элементарных конъюнкций в д.н.ф. :

- K входит во все д.н.ф., минимальные относительно D ;

- K не входит ни в одну д.н.ф., минимальную относительно D.

, если свойство имеет место и равно в противном случае.

Наряду с конъюнкцией К будем рассматривать конъюнкцию с информационными отметками , где , будет означать, что свойство не вычислено.

Описание А- алгоритма .

А-алгоритм будет вычислять свойства для конъюнкций из д.н.ф. D , используя для этого лишь конъюнкции из окрестности второго порядка и их информационные отметки.

До начала работы алгоритма все конъюнкции из д.н.ф. D получают информационную отметку .

Пусть уже выполнены шагов и отметку получили конъюнкции

, а отметку - конъюнкции . - й шаг. Упорядочиваем некоторым образом конъюнкции из д.н.ф. . Если эта д.н.ф пустая, то алгоритм заканчивает работу, если д.н.ф. непустая, то выделяем первую по порядку конъюнкцию К и ее окрестности первого и второго порядка в д.н.ф. . Проверяем соотношение . Если оно выполнено, то заменяем над К отметку ( на отметку , и на этом (i+1)-й шаг А – алгоритма заканчивается. Если оно не выполняется , то проверяем , можно ли представить в виде (*), где М – множество, регулярное относительно , а - множество первого типа относительно .

Если можно представить в таком виде, то заменяем над К отметку на отметку , и - шаг алгоритма заканчивается.

Если представление (*) невозможно, то берем вторую конъюнкцию и поступаем с ней также, как с первой, т.д. Если после просмотра всех конъюнкций ни у одной конъюнкций отметка не изменяется , то алгоритм заканчивает свою работу.

После окончания работы А- алгоритма конъюнкции , получившие отметку , удаляются из д.н.ф. . Корректность А- алгоритма подтверждается следующей теоремой.

Теорема. Каждая конъюнкция , получившая в процессе А- алгоритма отметку ,входит в д.н.ф. , а каждая конъюнкция , получившая в процессе А- алгоритма отметку , не входит в д.н.ф. .

Элементы теории кодирования

Теория кодирования представляет собой одно из основных направлений дискретного анализа . Предметом исследования этой теории являются отображения конечных или счетных множеств объектов произвольной природы в множества последовательностей из цифр 0,1,…,r-1,где r – некоторое положительное число . Такие отображения называют r- ичным кодированием .

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь двоичное кодирование .

Большинство задач теории кодирования укладываются в следующую схему.

Для заданного множества объектов рассматривается класс кодирований, обладающий определенными свойствами . Требуется построить кодирования из рассматриваемого класса , оптимальное в некотором заранее заданном смысле . Критерий оптимальности кодирования обычно связан с минимизацией длин образов объектов , свойства же кодирования достаточно разноообразны :

• cуществование однозначного обратного отображения ;

• возможность исправления ошибок при декодировании ;

• возможность простой реализации кодирования и декодирования и т.п.

Коды с исправлением ошибок

Рассмотрим множество слов длины в алфавите .

Каждое слово в алфавите отождествим с вектором . Введем операцию сложения по mod 2 и будем ее обозначать символом .

Суммой векторов и из назовем вектор .

Если еще ввести умножение произвольного вектора на число ,следующим образом : , то множество можно рассматривать как мерное векторное пространство .

В векторном пространстве определим расстояние Хемминга d (X ,Y) как число несовпадающих компонент векторов X и Y и норму вектора X как расстояние между Х и нулевым вектором .

Тогда X , а для любых Х и Y d (X , Y) X Y .

Множеству соответствует множество вершин мерного единичного куба, а расстояние между двумя элементами из равно минимальному числу ребер в цепи , соединяющей соответствующие вершины куба .

Число называется числовым значением слова Х = .

Пример. Пусть Х=0110011 и Y=0001101. Тогда .

Для произвольного кода положим , которое назовем кодовым расстоянием .

Рассмотрим некоторые преобразования двоичных слов , называемых ошибками .

Одиночной ошибкой вида , в слове Х называют преобразование слова Х, состоящее в замене одного из его символов 0 (соответственно 1) символом 1 (соответственно 0) . Одиночные ошибки такого вида называют также замещением символов или аддитивными ошибками .

Одиночной ошибкой вида в слове Х называют преобразование слова Х , состоящее во вставлении символа 0 (соответственно 1) перед некоторым символом или после последнего символа в слове Х , в результате чего длина слова увеличивается на единицу . Одиночные ошибки такого вида называют вставками символов .

Одиночной ошибкой вида в слове Х , где , называют преобразование слова Х в слово Y , числовое значение которого на больше (соответственно меньше) числового значения слова Х. Одиночные ошибки такого вида называют арифметическими ошибками .

Ошибкой типа будем называть произвольную последовательность одиночных ошибок , каждая из которых принадлежит одному из вышеперечисленных видов ; число одиночных ошибок в этой последовательности будем называть кратностью ошибки .

Ошибкой типа будем называть произвольную последовательность одиночных ошибок , каждая из которых принадлежит одному из выше перечисленных типов ; число одиночных ошибок в этой последовательности будем называть кратностью ошибки .

При постановке различных задач об исправлении ошибок заданного типа исходят из того или иного допущения о законе образования ошибок . Эти законы могут носить как вероятностный , так и комбинаторный характер. Говорят , что тот или иной закон образования ошибок задает канал передачи или хранения двоичных слов . Наиболее исследованы следующие два канала: а) канал , в котором любом символе с вероятностью происходит ошибка заданного типа , причем ошибки в различных символах статистически независимы ;

б) канал , в котором в каждом слове длины может произойти любая ошибка заданного типа кратности не более .

Определение . Пусть дан код . Обозначим З(Х) множество слов , которые можно получит из слова Х в результате ошибок , допустимых в рассматриваемом канале .

Произвольное однозначное отображение D множества на будем называть декодированием .

Задание декодирования D равносильно разбиению множества на непересекающиеся подмножества (окрестности) , где каждая окрестность состоит из прообразов слов при отображении D .

Естественно считать , что при декодировании D в произвольном слове исправляются только те ошибки , которые преобразуют в некоторое слово из .

В частности , для существования декодирования D , при котором исправляются все ошибки , допустимые в рассматриваемом канале , необходимо и достаточно , чтобы множества попарно не пересекались ; в последнем случае искомое декодирование D определяется соотношениями :

Рассмотрим теперь более подробно некоторые типы каналов.