Дайте определение аргумента комплексного числа и укажите способ его нахождения. Найдите аргумент числа . Какой аргумент имеет число ?
Каждому комплексному числу может быть поставлен в соответствие вектор (x,y) из R2. Длина этого вектора, равная √a2 + b2 называется модулем комплексного числа z и обозначается через |z|. Угол φ между данным вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z.
Любое комплексное число z≠0 может быть представлено в виде z=|z|(cosφ +isinφ).
,
,
.
Образует ли линейное пространство множество квадратных матриц порядка , удовлетворяющих условию ? Ответ обосновать. Найдите размерность этого пространства.
Пусть
,
.
Если С
= А+В = СT
и
.
A+B =
очевидно
Из 1), 2) следует, что множество симметрических матриц 2 порядка образуют лин. пр-во.
Как определить расстояние от точки до плоскости? Найдите общее уравнение плоскости, отсекающей от координатных осей
,
,
в первом квадранте
равные отрезки длины
. Чему равно расстояние от начала
координат до этой плоскости?
Расстояние от т. до пл. – отрезок, соединяющий данную точку с ее проекцией на пло-ти. Расстояние от точки M0 (x0, y0, z0) до плоскости, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, вычисляется по формуле
.
Ур-е
пл-ти в этом случае в отрезках им вид:
,
тогда общее Ур-е: x+y+z-a=0.
Расстояние
от нач координат до этой плоскости:
.
№6
2. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Приведите пример применения правила Крамера для системы линейных уравнений от трех переменных.
Пусть дана система:
— n
линейных уравнений с n
неизвестными.
Если
,
то система имеет единственное решение:
;
,
где
.
Определители
получаются из определителя
заменой соответствующего столбца
столбцом свобод членов.
В виде матрицы эту систему можно записать таким образом :
,
где
ответы будут уравнений будут находится в последнем столбце.
Теперь мы введем понятие основного определителя; в данном случае он будет выглядеть таким образом :
Основным определителем является матрица, составленная из коэффициентов стоящих при переменных.
Они также идут в порядке столбцов, т.е. в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x, во втором столбце при y, и так далее.
Это очень важно, ибо в следующих действиях мы заменяем каждый столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений.
Затем
нужно найти определители
,
,
и применить правило Крамера. Оно выглядит
так :
,
,
,
Для
данного случая, а в общем виде оно
выглядит следующим образом :
.
№7
Билет 19
1) Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
Закон инерции квадратичных форм: Число положительных и число отрицательных квадратов в каноническом виде, к которому приводится квадратичная форма с помощью обратимого линейного преобразования переменных, не зависит от выбора этого преобразования.
Приводим к каноническому виду методом Лагранжа.
Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполняем сначала «предварительное» преобразование:
;
;
.
Получим:
.
2.
3.
По закону инерции квадратичных форм,
если бы было можно привести данную форму
к указанному виду, то должно было быть
два положительных и один отрицательный
квадрат. Мы, приведя ее к виду
,
получили один квадрат положительный,
другой – отрицательный. Следовательно,
нельзя.