28. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств .

Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Примеры линейных пространств:

1) пространство Rⁿ;

2) множество решений однородной системы линейных уравнений;

3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;

4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;

5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;

6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.

29. Как найти угол между прямой и плоскостью в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.

l: (x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r π: Ax+By+Cz+D=0 <(l,π)=?

Чтобы найти угол между l и π, нужно найти угол между их направляющими векторами, лежащими в одной плоскости λ.

l=(p,q,r) - направляющий вектор l.

a=(B,-A,O) и b=(O,C,-B) - направляющие векторы π.

№4

№5.

№7

A(3;-1;-1), B(0;2;-1), C(9;0;4), D(-3;0;0)

1)ADC: C(9;0;4)

CA=(-6;-1;-5), CD(-12;0;-4)

2)BCD: CD(-12;0;-4), CB(-9;2;-5)

Билет 11.

1. Как преобразуются модуль и аргумент комплексного числа при возведении в степень? Ответ обоснуйте. Изобразите на комплексной плоскости числа z₁=3+i, z₂=1+3i, z₁+z₂ и z₁z₂.

Т.к. z₁·z₂=|z₁||z₂|(cos(φ₁+ φ₂)+isin(φ₁+ φ₂))., то можно сделать вывод, что при возведении в степень аргумент умножается на эту степень, а модуль возводится в эту степень.

2.Дайте определение канонического и нормального вида квадратичной формы. Приведите форму к каноническому виду. Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к главным осям.

Кв форма имеет канонический вид, если кв форма k(x)=q₁₁x₁²+q₂₂x₂²+…+q_nnx_n² , т.е. не содержит произведений переменных. Если при этом qij=1; для j=1,2…n, то кв форма имеет норм вид. К канон виду приводится методом Лагранжа, путем выделения полных квадратов.

3.Сформулируйте определение линейной независимости 5 векторов из R⁵. Приведите пример пяти линейно независимых векторов из R⁵ и пример 5 линейно зависимых векторов из R⁵. Когда вектор из R⁵ образует базис пространства R⁵ . Ответ обоснуйте.

Сис-ма векторов наз-ся линейно зависимой, если её линейная комбинация может равняться 0 и при этом не все коэф в ней равны 0.

Сис-ма ненулевых элементов линейно зависима, тогда и только тогда, когда один из элементов можно выразить через остальные (т.е. представить в виде линейной комбинации остальных).

Система векторов образует базис, если они линейно независимы.

Билет 12.

1. Запишите формулу Муавра. Сколько значений принимает корень n-ой степени из комплексного числа? Как эти значения располагаются на комплексной плоскости? Проиллюстрируйте изложенное на примере корня третьей степени из -64.

zⁿ=|z|ⁿ(cosnφ+sinnφ); ⁿ√z=ⁿ√|z|(cos(φ+2πk/n)+isin(φ+2πk/n)) k=0,1,…,n-1.

Корень n-ой степени из комплексного числа принимает n значений.

Формула Муавра применяется для вычисления N-ой степени комплексного числа. Z ⁿ = |Z|ⁿ ( cos nα + i sin nα ). Корнем N-ой степени из комплексного числа Z называется такое число U, что Uⁿ = Z.

Где K = 0, 1, … , N – 1.

Корень N-ой степени из комплексного числа принимает N значений. Комплексные числа, являющиеся корнями степени N из комплексного числа Z , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного N-угольника, вписанного в окружность радиусом корень N-ой степени из модуля с центром в точке Z=0.

X³=-64. – у данного ур-ния равно 3 корня. -64=64(cos180+isin180), тогда x_k= (cos((180+2πk)/3)+isin((180+2πk)/3)), k=0,1,2.

2.Дайте определение собственного значения квадратной матрицы. Приведите пример. Может ли у матрицы порядка 3х3 быть а)2 различный собственных значения, б)4 различный собственных значения. Ответ обоснуйте.

Определение 1: Число  называется собственным значением квадратной матрицы А порядка nxn, если найдется ненулевой вектор , такой, что выполняется равенство . Может быть 2, но 4 быть не может, это следует из характерристич ур-ния: det(A-λE) =