2. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.

Пусть дана система АХ = В n линейных уравнений с n неизвестными. Если Aне равно 0, то система имеет единственное решение:x₁=A₁/ A ; x₂=A₂/ A , где А_i, Определители получаются из определителя|А| заменой соответствующего столбца столбцом свобод членов.

Определители второго порядка (ОВП) имеют вид

=.|a b|

|c d|

Связь ОВП со СЛАУ размерностью 2*2: Представим себе СЛАУ размерностью 2*2 следующего вида

а11*х1+а12*х2=a10

а21*х1+а22*х2=a20

Домножим обе части первого уравнения на a₂₂, а обе части второго уравнения на -a₁₂

а11*а22*х1 + а12*а22*х2 = a10*а22

-а12*а12*х1 + -а12*а22*х2 = -a20*а12

Выражаем неизвестную переменную x₁ и получаем:

х1 =

В числителе и в знаменателе получившейся дроби мы видим вычисленные ОВП.

Проделаем аналогичную процедуру относительно x_2.

Значит, для нахождения решения СЛАУ размерностью 2*2 нужно лишь вычислить ОВП составленные из определенных комбинаций коэффициентов при неизвестных и свободных членов и поделить их друг на друга, таким образом, что в числителе дроби ОВП содержащий свободные члены, а в знаменателе соответственно не содержащий.

Пусть 0. Тогда СЛАУ имеет единственное решение.

Пусть =0, а 1=0 и 2=0. Тогда СЛАУ имеет бесчисленное множество решений.

Пусть =0, а хотя бы один из 1, 2 неравен 0, тогда СЛАУ не имеет решений.

15. Какие уравнения окружности, эллипса и гиперболы называется каноническими? Какая из линий второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.

Канонические уравнения:

• Окружность:

• Эллипс:

• Гипербола:

Асимптотами обладает эллипс.

Уравнение ее асимптоты:

16. Вычислить: , где , , .

17. Вычислить матрицу .

18. В пространстве столбцов действует линейное преобразование по правилу: . Написать матрицу этого линейного преобразования в каноническом базисе.

19. Найти общее уравнение плоскости, содержащей точку и параллельной плоскости .

20. Решить графическим способом следующую задачу линейного программирования:

(№5) A⁷=?

(№6)

Пусть F – матрица преобразования в каноническом базисе

(№7)

П-? А(5;2;-5)

П=(12;4;1) – вектор нормали для П₁.

=> их векторы нормали совпадают =>

Общ Ур-ние плоскости П:

15X+4Y+Z-78=0

(№8)

F

В 08

21. Сформулируйте основную теорему алгебры. Решите уравнение x³+64=0.

Основная теорема алгебры – теорема о комплексных числах. Комплексное число Z = a + ib, где a и b – действительные числа; слагаемые a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемый условием i² = -1, называется мнимой единицей. Комплексные числа вводятся в связи с необходимостью решать уравнения вида X² + 1 = 0.

Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которых не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный (т. е. другими словами всегда имеет n корней). У данного уравнения на множестве комплексных чисел сущ-ет 3 корня. Чтобы их найти, представлю 64 в тригонометрической форме:

64=64(cos0+isin0).

Тогда x_k=³√64(cos(0+2πk/3)+isin(0+2πk/3))=

=4(cos2πk/3+isin2πk/3); k=0,1,2. т. е.

x₀=4(cos0+isin0)=4

x₁=4(cos2π/3+isin2π/3)=-2+2i√3

x₂=4(cos4π/3+isin4π/3)=-2-2i√3