12. Может ли квадратное уравнение в области комплексных чисел: а) не иметь корней; б) иметь ровно один корень; в) иметь два корня; г) иметь более двух корней? Решите уравнение .

Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которых не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный (т. е. другими словами всегда имеет n корней).

Может иметь только 2 корня, так как остальные варианты противоречат основной теореме алгебры. (в)

13. Укажите, какие из равенств не выполняются для любых матриц , , (предполагается, что все произведения определены): а) ; б) ; в) ; г) . Приведите примеры, опровергающие неверные равенства.

Определение: Матрица – прямоугольная таблица чисел. Отдельные числа (или символы, их заменяющие) называют элементами матрицы.

a11 a12 …a1n

a21 a22 …a2n

…

an1 an2 …ann

mxn – порядок матрицы.

Свойства сложения.

1.Ассоциативность:А+(В+С)=(А+В)+С

2. Коммутативность: А+В=В+А.

3. А+0=А.

Разность матриц: А-В = А+(-1)В

Свойства умножения матриц:

Если матрицы А, В и С таковы, что их произведение возможно, то

1. (АВ)С = А(ВС)

2. А(В+С)=АВ+АС

3. (В+С)А=ВА+СА

4.

5. – умножение матриц не обладает свойством коммутативности.

Не выполняется АВ=ВА, пример: А – матрица порядка 2х2, В порядка 2х3, в этом случае АВ не равняется ВА, т.к. ВА не существует.

A = , B = ,

то AB = , а BA =

Не выполняется АВ^т = А^т *В^т, пример: А – матрица порядка 2х2, а В порядка 2х3, в этом случае АВ^т не равняется А^т*В^т, т.к. А^т*В^т не существует.

Остальные равенства выполняются для любых матриц АВС.

14. Найдите угол между плоскостями , . Найдите угол между прямой и плоскостью в ?

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между в екторами, получим

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

№8

z=-2x₁-3x₄ max

1 3 1 2 1

-4 -11 -2 3 -2

1 3 1 2 1

0 1 2 11 2

1 0 -5 -11 -5

0 1 2 11 2

Z=10-10X₃-62X₄-3X₄=10-10X₃-65X₄

В 07

1) Дaйте определение ортонормированной системы векторов. Приведите пример ортонормированной системы в . Докажите, что ортонормированная система в , состоящая из трех векторов, является базисом пространства .

Система векторов e₁, e₂, …, e_n евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Пример: a₁=(0,1), a₂=(1,0)

В ортонормиров. сист. векторы ортогональны по определению. Докажем, что они ЛНЗ. Предположим противное, тогда , где не все «лямбда» равны 0. Пусть Умножим рав-во по правилу скалярного произв-ия на а₁. Т.к. векторы взаимно ортогональны, т.е. (a_i,a_j)=0 и т.к. (0,а₁)=0, мы получим: , то (a₁,a₁)=0, и, следовательно, a₁=0, что противоречит условию (векторы ненулевые).

Итак, 3 вектора пространства ЛНЗ, следовательно, они являются базисом.