Сводный план ездок с грузом при перевозке песка, щебня, глины

Одним из математических методов определяется рациональный план движения автомобилей из пунктов выгрузки в пункты погрузки, т.е. план возврата порожних автомобилей.

Сначала необходимо построить опорный план возврата порожних автомобилей. Используем метод «двойного предпочтения», т.е. отмечаем галочками клетки с наименьшими расстояниями по каждой строке, а затем по каждому столбцу и начинаем загрузку с клеток, помеченных двумя галочками (таблица 4.6).

Клетка , вычеркиваем третью строку, т.е. необходимое число автомобилей за поставщиком закрепили. Клетка , вычеркиваем четвертую строку. Клеток с двумя галочками нет.

Выполняем загрузку клеток с одной галочкой. Клетка , вычеркиваем первый столбец, т.е. у потребителя В₁ автомобилей без груза (порожних) больше нет. Клетка , вычеркиваем первую строку. Клетка _, вычеркиваем второй столбец. Клетка , вычеркиваем четвертый столбец. Клетка , вычеркиваем третий столбец.

Клеток с одной галочкой нет. Остались четыре свободные клетки , , и . Заполняем по методу наименьшего (минимального) расстояния. Минимальное расстояние в клетке , вычеркиваем вторую строку. Клетка , вычеркиваем пятый столбец. Клетка , вычеркиваем шестой столбец. Первоначальный (опорный) план возврата порожних автомобилей составлен.

Таблица 4.6.

Первоначальный (опорный) план возврата порожних автомобилей (движения автомобилей из пунктов выгрузки грузов в пункты погрузки).

Грузо-образующие пункты	Грузопотребляющие пункты												Итого от постав-щиков, mi	Потен-циалы строк
	В1		В2		В3		В4		В5		В6
А1		12		14		16		7		8		12	20	U1=0
	13		4		10		7		0		3
А2		18		8		14		5		6		10	34	U2=-2
	8		24		10		6 -..		4	+	3
А3		16		10		12		3		4	V	5	27	U3=-4
	8		4		10		27		0		0
А4		18		12		14		5		2		6	54	U4=-6
	12		8		14		4		54		3
Окончание таблицы 4.6.
А5		21		15		7	V	4		9		10	67	U5=1
	8		4		44		-4+		3	-	20
Итого к потре-бителям, nj	13		24		44		40		61		20		202	х
Потенциалы столбцов	V1=12		V2=10		V3=6		V4=7		V5=8		V6=9		х	х

Необходимо проверить опорный план на оптимальность. Необходимые условия по загруженным клеткам выполняется, т.е. число загруженных клеток m+n-1,

где m – число строк в матрице (поставщиков), а n – число столбцов в матрице (потребителей). Для проверки оптимальности необходимо определить цифровые индексы (потенциалы) строк и столбцов, т.е. U и V. Определение выполняется при условии, что в загруженных клетках а_ij=U_i+V_j.

Примем потенциал U₁=0, тогда потенциал столбца V₁=12, потенциал столбца V₄=7 и тд.

Потенциалы не загруженных (свободных) клеток определяются по формуле:

Е_ij=a_ij-(U_i+V_j),

EA₁B₂=14-(10+0)=4,

EA₁B₃=16-(6+0)=10,

EA₁B₅=8-(8+0)=0,

EA₁B₆=12-(9+0)=3,

EA₂B₁=18-(12-2)=8,

EA₂B₃=14-(6-2)=10,

EA₂B₆=10-(9-2)=3,

EA₃B₁=16-(12-4)=8,

EA₃B₂=10-(10-4)=4,

EA₃B₃=12-(6-4)=10,

EA₃B₅=4-(8-4)=0,

EA₃B₆=5-(9-4)=0,

EA₄B₁=18-(12-6)=12,

EA₄B₂=12-(10-6) =8,

EA₄B₃=14-(6-6) =14,

EA₄B₄=5-(7-6) =4,

EA₄B₆=6-(9-6) =3,

EA₅B₁=21-(12+1) =8,

EA₅B₂=12-(10+1) =4,

EA₅B₄=4-(7+1) =-4.

В первоначальном (опорном) плане возврата порожних автомобилей одна свободная клетка А5В4 имеет отрицательное значение потенциала, т.е. EA₅B₄ = -4, значит план не оптимальный (таблица 4.6).

Необходимо перераспределить ездки в загруженных клетках и заполнить потенциальную клетку (клетку с отрицательным значением потенциала).

Для этого строится контур с вершинами А₅В₄; А₂В₄; А₂В₅; А₅В₅ (четырехугольный с прямыми углами).

Вершины контура обозначаются попеременно знаками «+» и «-», начиная с потенциальной клетки, которой присваивается знак «+». Затем из клеток, обозначенных знаком «-», выбирается наименьшая цифра загрузки (клетка А₅В₅). Это значение загрузки переносятся из клетки А₅В₅ в клетку А₅В₄ (потенциальную), а из клетки А₂В₄ это значение вычитается и переносится в клетку А₂В₅. Полученные цифры записываются в новую матрицу (таблица 4.7), куда без изменений переносят загрузки тех клеток, которые не являются вершинами контура.

Для проверки на оптимальность определяем новые цифровые индексы (потенциалы) строк и столбцов, т.е. U_i и V_j. Определение потенциалов выполняется при условии, что в загруженных клетках

a _ij=U_i+V_{j ,}

Причем потенциал U₁=0, тогда потенциал V₁=12, потенциал V₄=7, потенциал U₂=-2, потенциал V₂=10, потенциал U₃=-4, потенциал V₅=8, потенциал U₄=-6, потенциал U₅=-3, потенциал V₃=10, потенциал V₆=13.

Потенциалы не загруженных (свободных) клеток находятся по формуле:

Е_ij=a_ij-(U_i+V_j),

EA₁B₂=14-(10+0)=4,

EA₁B₃=16-(10+0)=6,

EA₁B₅=8-(8+0)=0,

EA₁B₆=12-(13+0)=-1,

EA₂B₁=18-(12-2)=8,

EA₂B₃=14-(10-2)=6,

EA₂B₆=10-(13-2)=-1,

EA₃B₁=16-(12-4)=8,

EA₃B₂=10-(10-4)=4,

EA₃B₃=12-(10-4)=6,

EA₃B₅=4-(8-4)=0,

EA₃B₆=5-(13-4)=-4,

EA₄B₁=18-(12-6)=12,

EA₄B₂=12-(10-6) =8,

EA₄B₃=14-(10-6) =10,

EA₄B₄=5-(7-6) =4,

EA₄B₆=6-(13-6) =-1,

EA₅B₁=21-(12-3) =12,

EA₅B₂=15-(10-3) =8,

EA₅B₅=9-(8-3) =4.

При проверке первоначального (опорного) плана движения автомобилей из пунктов выгрузки в пункты погрузки груза на оптимальность установлено, что новый план имеет четыре незагруженные (потенциальные) клетки (таблица 4.7), т.е. клетки с отрицательными потенциалами А₁В₆, А₂В₆, А₃В₆ и А₄В₆. Новый план не является оптимальным и по качеству уступает первоначальному (опорному) плану движения автомобилей из пунктов выгрузки в пункты погрузки груза (возврата порожних автомобилей). Для дальнейшего решения транспортной задачи принимаем первоначальный (опорный) план, движения автомобилей из пунктов выгрузки в пункты погрузки груза (таблица 4.6).

Таблица 4.7.