Добавил:

Vik962 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

прочее / практикум ТОЭ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2019

Размер:

3.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Трехфазные цепи – это частный случай многофазных систем переменного тока. Многофазной системой называют совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, отличающиеся одна от другой по фазе и индуктированные в одном источнике энергии.

Обычно наведенные в катушках трехфазного генератора ЭДС имеют одинаковые амплитуды и сдвинуты по фазе относительно друг друга на один

итот же угол 120° 2π . Такую систему ЭДС называют симметричной.

Векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС показана на рис. 3.1.

При изображении векторной диаграммы на комплексной плоскости (рис. 3.2) каждому вектору можно сопоставить комплексное число. При расчете трехфазных цепей комплексную плоскость обычно поворачивают на

угол π против часовой стрелки.

				+1
	EA			E A
				E A
	2π	ω	+j
	3		+j
	3
	2π			E	B
EC	2π	E B	EC		B
	3
	Рис. 3.1			Рис. 3.2

Комплексы действующих значений ЭДС фаз в показательной форме могут быть записаны уравнениями:

ЕА = Е; ЕВ = Ее− j				2π	= E e− j120° = а2Е;
ЕА = Е; ЕВ = Ее− j				3	= E e− j120° = а2Е;
		2π				4π
E	= E e j		= E e j120° = E e− j				= аЕ,
E	= E e j	3	= E e j120° = E e− j			3	= аЕ,
C

 Теоретические основы электротехники. Практикум								-114-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

где a = e j120°, a2 = e j 240° = e− j120°.

Значение 1+ a + a2 =1− 12 + j 23 − 12 − j 23 = 0.

Сумма комплексных значений ЭДС трех фаз равна нулю:

EA + EB + EC = E + E e− j120° + E e j120° = E − E2 − j 23 Е − E2 + j 23 E = 0.

Обычно обмотки фаз генератора соединяют звездой. При этом концы фаз объединяют в нейтральную точку N (рис. 3.3). Начала фаз генератора обозначают буквами А, В и С.

Напряжения между началом и концом фазы (см. рис. 3.3) называют фазными (uA, uB , uC ), а напряжения между началами фаз генератора –

линейными (uAB ,uBC ,uCA ).

Внутренним сопротивлением фаз генератора можно пренебречь. В этом случае фазные напряжения U A,UB и UC считают численно равными ЭДС

фаз.

eA uA

uC	N	uAB
uC		uСA
		eB

C B

eС uB

uBC

Рис. 3.3

Стрелка источника показывает направление повышения потенциала. Поэтому за условные положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз обмоток, а линейных напряжений – к началу фазы, являющейся вторым индексом в обозначении напряжения.

Можно определить любое линейное напряжение, рассчитав изменение потенциалов между соответствующими началами фаз генератора:

uAB = uA −uB ; uBC = uB −uC ; uCA = uC −uA.

Для комплексных значений эти уравнения имеют вид:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-115-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

U AB =U A −U B ;

U BC =U B −UC ;

UCA =UC −U A ,

а также дают возможность построить топографическую диаграмму фазных и линейных напряжений (рис. 3.4).

	U A
U СA		U AB
120°	N 120°
		U B
U С	120°
	120°
C	U BС	B
	U BС

Рис. 3.4

Следует обратить внимание на противоположное направление стрелок на схеме, указывающих условное положительное направление напряжений и соответствующих им векторов на топографической диаграмме.

Из диаграммы видно, что векторы линейных напряжений U AB , U BС , UСА опережают по фазе соответственно векторы фазных напряжений U A ,

U B и UС на угол 30°.

Линейное напряжение по величине больше фазного в 3 раз, т. е. Uл = 3Uф или Uф = U3л .

При соединении фаз обмоток генератора треугольником конец одной фазы соединяют с началом другой (рис. 3.5). В этом случае линейные напряжения равны фазным: Uл =Uф .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-116-

с,z.

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A(Z)

e		eA
C			uAB
	eB		uAB
С(Y)	eB	B(X)	uСA
		B(X)	uСA

			uBC

Рис. 3.5

Топографическую диаграмму напряжений в зависимости от способа соединения фаз приемников строят, как представлено на рис. 3.6, а и б.

Приемники, включаемые в трехфазную цепь, могут быть однофазными и трехфазными. Начала и концы фаз трехфазных приемников обозначают соответственно буквами a, x; b, y;

Трехфазные приемники могут быть несимметричными. У симметричных приемников комплексные сопротивления фаз: Z a = Z b = Z c .

A		+1
		U СA
	U AB	C
U СA		C
		U BС

симметричными и равны между собой

A +1

U AB

C	U BС	B	B
	U BС		B
	a		б
			Рис. 3.6

У несимметричного приемника нагрузка может быть равномерной, если сопротивления фаз равны между собой по величине (по модулю), или однородной, если ϕа = ϕb = ϕc .

Способ соединения фаз приемника не зависит от способа соединения фаз обмоток генератора.

В трехфазных цепях различают те же мощности, что и в однофазных: мгновенную р, активную Р, реактивную Q и полную S .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-117-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Мощности р, Р и Q находят как суммы мощностей трех фаз: р = ∑ рф ;

Р = ∑Рф ; Q = ∑Qф .

Мощности каждой фазы вычисляют по известным формулам. Потребляемой является активная мощность. Активную мощность фазы

проще всего определить по формуле Рф = Uф Iф cosϕф или Рф = Rф Iф2 . Реактивную мощность фазы ищут следующим образом:

Qф =Uф Iф sinϕф или Qф = Хф Iф2 .

Полную мощность трехфазной цепи вычисляют как гипотенузу суммарного треугольника мощностей:

S = P2 +Q2 = (∑Pф )2 + (∑Qф )2 .

При симметричной нагрузке мощности фаз одинаковы, поэтому

P = 3Pф = 3Uф Iф cosϕф ; Q = 3Qф = 3Uф Iф sinϕф .
При соединении звездой Uф =				U	л	и Iф = Iл , а при	соединении

	3
треугольником Uф =Uл	и Iф =	Iл	. Поэтому независимо				от схемы

	3

соединения фаз приемника можно получить одинаковые формулы мощностей, вычисленных через линейные напряжения и токи:

Р = 3Uл Iл cosϕф ; Q = 3Uл Iл sinϕф; S = P2 + Q2 = 3Uл Iл .

Для измерения активной мощности используют ваттметры. Число ваттметров и способ их включения зависят от способа соединения фаз приемника и от их параметров.

Ваттметр показывает активную мощность, которую вычисляют по формуле

PW =UW IW cos UW ^ IW или PW = Re(SW )= Re UW I*W ,

где UW и IW – действующие значения напряжения на ваттметре и тока

в нем.

Угол сдвига фаз между ними соответствует одинаковым положительным направлениям UW и IW относительно зажимов, отмеченных звездочками.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-118-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Занятие1 Расчеттрехфазнойцепиприсоединениифазприемникатреугольником

Цели занятия:

1.Научиться рассчитывать трехфазные цепи при соединении фаз приемника треугольником (нагрузка несимметричная и симметричная).

2.Научиться строить векторно-топографические диаграммы.

3.Научиться вычислять потребляемую цепью мощность.

Рассмотрим две первые целевые задачи.

В схеме замещения электрической цепи, представленной на рис. 3.7, вычислить токи, если известны напряжения генератора и сопротивления фаз приемника.

	A		I A	a
				a
	E A		U ca		U ab
	E A		U ca	Z ca Z ab
			I ca	Z ca Z ab
EC		EB	c			I ab
EC	N	EB		Zbc	Ibc	b
	N				Ibc	b
C			B I B
C			B I B
				U bc

Рис. 3.7

В трехфазной цепи различают токи фазные (Iab , Ibc , Ica ) и линейные (I A, IB , IC ). Фазные токи вычисляют на основании закона Ома по формулам

		Uab	;		Ubc		Uca	,
	Iab =	Z ab	;	Ibc =	Z bc	; Ica =	Z ca	,
		Z ab			Z bc		Z ca
где Uab ,Ubc	и Uca – комплексы напряжений на фазах приемника, а Z ab,

Z bc , Z ca – комплексные сопротивления фаз.

При соединении фаз приемника треугольником напряжения на его фазах равны линейным напряжениям генератора (рис. 3.7), поэтому

	U AB	;		UBC	;		UCA	. Сопротивлением линейных проводов при

Iab =	Z ab		Ibc =	Z bc		Ica =	Z ca

этом пренебрегают.

Затем вычисляют линейные токи по уравнениям, составленным на основании первого закона Кирхгофа для узлов а, b и с:

I A = Iab − Iса; IB = Ibc − Iab ; IC = Ica − Ibc .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-119-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Из этих уравнений следует, что геометрическая сумма векторов линейных токов равна нулю: I A + IB + IC = 0 .

Топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов изображены на рис. 3.8. Вид векторной диаграммы токов зависит от характера нагрузки фаз приемника. Самой распространенной на практике является нагрузка активно-индуктивная. В этом случае вектор тока отстает от соответствующего вектора напряжения на угол ϕ, больший 0°, но меньший

90°.

Построение начинают с топографической диаграммы напряжений (см. рис. 3.6 а, б). Затем проводят векторы фазных токов под соответствующими углами к векторам фазных напряжений. Векторы линейных токов строят как геометрическую разность векторов токов тех двух фаз приемника, которые соединяют с данным линейным проводом. Удобнее вектор линейного тока получить как сумму вектора фазного тока, являющегося уменьшаемым, и вектора, противоположного вычитаемому фазному току (рис. 3.8).

IC
− Ibc	Aa
	Aa
	ϕca
I ca

	U CA	U AB	− I ca
			I ab
			ϕab	I A
				I A
Cc	U	BC
Cc	ϕbc		Bb
	ϕbc		Bb

Ibc

I B

− I ab

Рис. 3.8

Возможен другой способ построения векторной диаграммы токов, представленный на рис. 3.9.

У симметричного приемника комплексные сопротивления равны между собой: Z ab = Z bc = Z ca . Поэтому токи в фазах равны между собой по

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-120-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

величине и сдвинуты относительно				друг друга			по фазе на		2π
величине и сдвинуты относительно				друг друга			по фазе на	120°	3	.
Достаточно вычислить по закону Ома ток только одной фазы:									3
Достаточно вычислить по закону Ома ток только одной фазы:
Iab =		Uab	=		U AB	.
Iab =			=			.
		Z ab			Z ab
I ca				Aa
I ca	ϕ
		ca
U CA
	I A				U AB
		I ab			I B
	I ca						I ab
							ϕab
				Ibc
		IC
ϕbc	U BC						Bb
	Ibc

Рис. 3.9

Токи двух других фаз вычисляют, используя значение тока Iab :

Ibc = Iab e− j120°; Ica = Iab e j120° .

Комплексы линейных токов определяют как разности комплексов соответствующих фазных токов.

Векторно-топографическая диаграмма при симметричной нагрузке изображена на рис. 3.10.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-121-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	U CA		U AB
			U AB
	I A
	I ca	I ab	I B
			ϕab I ab
	IC	Ibc
	IC
Cc	U BC			Bb

Рис. 3.10

Из диаграммы видим, что линейные токи по величине равны между собой и сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол 120°. Линейный

ток по величине в 3 раз превышает фазный:

Iл = 3 Iф .

Векторы линейных токов I A, IB и IC отстают по фазе соответственно

от векторов фазных токов Iab , Ibc и Ica на угол 30°.

Вычислив фазный ток Iab , можно записать значения всех линейных токов следующим образом:

I A = 3 Iab e− j30°; IВ = I А e− j120°; IС = I А e j120° .

Если нужно вычислить только величины токов, расчет производят по формулам

	Uфп		U
Iф =		=		лг ;	Iл = 3 Iф .
	Zф
			Zф
		Задача1
Определить показания амперметров в схеме рис. 3.11, если линейное
напряжение Uл = 220 В; Z ab = Z bc =					Z ca = (10 + j10) Ом. Построить

векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-122-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

a A A

Z ab

Z ca

c b

Zbc

Рис. 3.11

Решение

Комплексные сопротивления фаз приемника одинаковы, нагрузка является активно-индуктивной. Приборы показывают действующие значения.

При симметричной нагрузке можно сделать расчет, не используя комплексные числа. Токи в фазах приемника одинаковы по величине. Их определяют по закону Ома:

Iф = Uфп .

Zф

Напряжение на фазе приемника равно линейному напряжению. Полное сопротивление фазы приемника

Zф = Rф2 + Хф2 = 102 +102 =14,1 Ом.

Тогда Iф = 14220,1 =15,6 А. Токи в линии Iл = 3 Iф ≈ 27 А.

Векторно-топографическая диаграмма имеет вид, представленный на рис. 3.12. При активно-индуктивной нагрузке векторы токов в фазах отстают

от соответствующих фазных напряжений на угол ϕ = arctg XR = arctg1010 = 45°.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-123-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	U CA
	I A	U AB
	I ab	U AB
	eA	I B
	Ibc	I B	45°	I ab
			45°	I ab

	IC
Cc	UBC		Bb
	Рис. 3.12

Векторы линейных токов получают, соединяя концы соответствующих векторов фазных токов.

Задача2

Вычислить мощность, потребляемую цепью, схема замещения которой

изображена на рис. 3.13, если Uл = 220 В,			Rab =10 Ом, Rca = X ab =15 Ом,
Xbc = X ca = 25 Ом.
A		a
A		Rca	I ab
		Rca	I ab	Rab
				Rab
		Xca			Xab
	I ca				Xab
	I ca	Xbc		Ibc
	с	Xbc
					b
					b
B
C
		Рис. 3.13
	Пояснение к решению

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-124-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задачу можно решить без применения комплексных чисел. Так как мощность потребляют только резистивные элементы, то удобно

воспользоваться формулой P = R I 2 .

Решение

1. Вычислим токи в резистивных элементах по закону Ома для действующих значений:

Iab =

Uab

U AB

220

=12

А;

Rab2 + X ab2

102 +152

Zab

Ica =

Uca

UCA

220

= 7,6

А.

Rca2 + X ca2

152 + 252

Zca

2. Определим потребляемую мощность:

P = Rab Iab2 + Rca Ica2 =

=10 122 +15 7,62 = 2306,4 Вт.

Задача3

Вычислить фазные и линейные токи в схеме на рис. 3.14, если

Z ab = Z bc = Z ca = (8 − j10,4) Ом, Uл = 220 В. Построить векторнотопографическую диаграмму.

A	I A				a
A			Rab
		Xab	Rab
		Xab		I ab	Rca
	I B	b			Rca
B	I B	b			I ca
		Rbc	Ibc		Xca
	IC	Rbc	Ibc
C	IC		Xbc		с
C					с

Рис. 3.14

Решение

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-125-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

1. Вычислим фазные токи по закону Ома. Приемник симметричный, поэтому токи равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на угол 120°:

Iab

Uab

U AB

Rab

Z ab

− j X ab

220

=16,9e j52° А;

8 − j10,4

13e− j52°

− j120°

=16,9e

− j 68°

А;

Ibc = Iab e

j120°

=16,9e

j172°

А.

Ica =

Iab e

2. Вычислим линейные токи. У симметричного приемника

I A = 3 Iab e− j30° =

= 3 16,9e j52° e− j30° = 29,7 e j 22°А;

− j120°

= 29,7 e

j 22°

− j120°

= 29,7 e

− j98°

А;

= I A e

j120°

= 29,7 e

j 22°

j120°

= 29,7 e

j142°

А.

= I A e

3. Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.15. Ее построение начинают с топографической диаграммы напряжений генератора. Топографическая диаграмма напряжений приемника совпадает с линейными напряжениями генератора.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-126-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

				Aa
	U CA
				U AB
Cc	I A	I ab		I B
Cc			Ibc
		I ca		120°
			IC	120°
	U BC		IC
			I ab 52°
		Рис. 3.15		Bb
		Рис. 3.15
Ток Iab опережает по фазе напряжение				Uab на угол ϕab = −52°.

Перенесем вектор тока Iab в центр топографической диаграммы. Построим векторы токов Ibc и Ica . Соединив концы векторов фазных токов и указав направление согласно уравнениям по второму закону Кирхгофа, получим векторы линейных токов I A , IB и IC .

Построенная диаграмма позволяет убедиться в правильности произведенных расчетов.

	Задача4
Вычислить показания	ваттметров в	схеме	на рис. 3.16,	если
Rab = 20 Ом, X ab = 25 Ом,	Rbc = 35 Ом,	Rca =16	Ом, X ca = 28	Ом,

Uл = 380 В. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-127-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	*	*
	*	W
		1

* W2

Rab

Xab

b I ab

Rca

Xca

Rbc

Ibс I ca

Рис. 3.16

Решение

1. Вычислим фазные токи по закону Ома:

Iab	=	Uab	=		U AB		=

		Z ab		Rab + j X ab
=	380			=	380	=
	20 + j 25				32e j 51°

=11,88e− j 51° А;

Ibc =	Ubc	=	Ubc	=	380e− j120°	=
	Zbc				35
			Rbc

=10,86e− j120° А;

Ica =	Uca	=	UCA	=	380e j120°	=	380e j120°	=11,88e j180° А.
	Z ca		Rca − j Xca		16 − j 28		32e− j60°

2. Вычислим линейные токи по первому закону Кирхгофа:

IA = Iab − Ica =11,88e− j 51° −11,88e j180° = 7,47 − j9,23 +11,88 =

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-128-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

=19,35 − j9,33 = 21,48e− j 25,7° А;

IB = Ibc − Iab =10,86e− j120° −11,88e− j 51° = −5,43 − j9,4 −7,48 + j9,23 = = −12,91− j 0,17 =12,91e− j179° А;

IC = Ica − Ibc = −11,88 +5,43 + j9,4 = −6,45 + j9,4 =11,4e j124,5° А.

3. Найдем показания ваттметров, используя формулу комплексной мощности:

PW1 = Re U AB I*A = Re(380 21,48e25,7°)= 7355 Вт;

P			*
P	= Re U	CB	I		= Re(380e j 60° 11,4e− j124,5° )=
W2		CB		C

= Re(4332e− j 64,5° )=1865 Вт.

Следует обратить внимание на то, что первым индексом у напряжения, измеряемого ваттметром, обозначают зажим, отмеченный звездочкой (UCB при вычислении PW2 ).

Правильность решения можно проверить следующим образом:

PW1 + PW2 = Rab Iab2 + Rbc Ibc2 + Rca Ica2 ;

7355 +1865 = 20 11,882 + 35 10,862 +16 11,882 ;

9220 Вт ≈9208 Вт.

Погрешность составляет 0,13 %.

4. Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.17.

Диаграмма позволяет проверить правильность вычисления линейных токов.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-129-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

				Aa
				U AB
	U CA			I ca
				I ab	I B
					I B
Cc				I A
Ibс
		I сa		Ibс
		I сa
						I ab
	U BC
				51°
			IС
				Bb
		Рис. 3.17
Задачи 5–7 решите самостоятельно.
		Задача5
Вычислить ток I A в схеме рис.				3.18, если	R = X L = XC = 220 Ом,
Uл = 220 В.
A		I A				a
A				R
				R
B				b		XС
B				X L
C

						с

Рис. 3.18

Ответ: I A =1,93 А.

Задача6

Определить показания ваттметров в схеме рис. 3.19, если Uф = 220 В

и Iф =10 А. Построить векторно-топографическую диаграмму.
Ответ: PW	=1100 Вт, PW =1100Вт.
1	2

 Теоретические основы электротехники. Практикум		-130-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	*	*		a
A	*	W1		a
				R	X L
			с	X L	b
			с		b
B
C	*	W2
	*	*
		*
				Рис. 3.19
				Задача7
Вычислить показания ваттметров в схеме рис.					3.20, если Uл = 220 В,
в каждую фазу включено по одной лампе с Рн = 50 Вт, Uн = 220 В.
			*	*	a
		A	*	W1	a
		B		b
		B
		C	*	W2	с
			*	*	с
				*
				Рис. 3.20

Ответ: PW1 = PW2 = 75 Вт.

Следующие задачи решите для самоконтроля.

Задача8

Вычислить ток IС в схеме рис. 3.21, если Uл = 380 В, R = XС =190

Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-131-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A		a	A			a
A		XC	A		XC
		XC		V	XC
		b		V	b	X L
		b			b
B		R	B
		XC			R
C	IC		C	A
C		с	C	A		с
		с				с

Рис. 3.21

Рис. 3.22

Ответ: IС = 3,86 А.

Задача9

Вычислить

показания

вольтметра в

схеме

рис.

3.22,

если

R = X L = XC =100 Ом, амперметр показывает ток I A = 3,84 А.

Ответ: UV = 200 В.

Задача10

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.23,

если Rab = 22 Ом,

X ab =

28 Ом,

Rbc =14

Ом,

Xbc =16 Ом,

Rca = 8 Ом,

X ca =18

Ом,

Uл = 220 В.

Rca

Rab

Xab

Xca

Rbc

Xbc

Рис. 3.23

Ответ: PW

= −615 Вт, PW

= 3902 Вт.

Задача11

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.24, если Uл = 220 В,

Rab = 8

Ом,

X ab = 6

Ом,

Rbc = X ca =10

Ом. Построить векторно-

топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-132-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	A	*	*	a	Rab	Xab
	A	*	W1
	B		*	*	b	Rbc
	B		*	W2	b
	C				с	X ca
					с

				Рис. 3.24
Ответ: PW	= 8052 Вт, PW 2 = 4248 Вт.
1

Занятие2 Расчеттрехфазнойцепиприсоединениизвездойчетырехпроводной

снейтральнымпроводом

Цели занятия:

1.Научиться вычислять токи и напряжения в схеме с нейтральным проводом, обладающим сопротивлением, при несимметричном и симметричном приемниках.

2.Научиться вычислять токи и напряжения в случае, если сопротивлением нейтрального провода можно пренебречь, при несимметричном и симметричном приемниках.

3.Научиться строить векторно-топографические диаграммы.

4.Научиться определять показания ваттметров, вычислять потребляемую мощность.

Рассмотрим первую целевую задачу. Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 3.25.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-133-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I A

						Z a	U a
	E A	U A					U a
	E A	U A	I nN	Z nN		I a	n Ib
	N						n Ib
EC			EB		Z c	I с		Zb
			EB		Z c	I с		Zb

С	U		B		с	U с	U b

		С U B
			IC	I B			b

Рис. 3.25

По известным значениям напряжения генератора и сопротивлений фаз приемника нужно вычислить фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, соединяющем нейтральные точки генератора и приемника.

Из схемы видим, что при соединении фаз звездой фазные и линейные токи соответственно равны между собой, например I A = Ia .

Трёхфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому для их расчета пригодны все методы, применяемые в однофазных цепях. Анализируемую схему можно рассматривать как схему с двумя узлами (N и n) и рассчитать токи в ней методом напряжения между двумя узлами.

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника можно вычислить по формуле

UnN = Y aU A +Y bUB +Y cUC ,

Y a +Y b +Y c +Y nN

где Y a =	1	,	Y b =		1		,	Y c =	1	– комплексные проводимости фаз
									Z c
	Z а			1	Z b
приемника; Y nN			=			– комплексная проводимость нейтрального провода.
				Z nN

Линейные и равные им соответственно фазные токи можно определить по закону Ома для активной ветви:

I A = Ia = Y a(U A −UnN ) ; IB = Ib = Y b(U B −UnN ) ; IC = Ic = Y c(UC −UnN ) .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-134-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Выражения в скобках являются разностью потенциалов между началами (а, в, с) и концами ( n) фаз приемников, т. е. фазными

напряжениями приемника. Например, Ua = −UnN +U A. Поэтому уравнения можно переписать в виде

I A = Ia = Y a Ua ; IB = Ib = Y b Ub ; IC = Ic = Y c Uc .

Ток в нейтральном проводе можно вычислить по закону Ома для пассивной ветви или по первому закону Кирхгофа:

InN = Y nN UnN = Ia + Ib + Ic .

Топографическую диаграмму строят в два этапа:

1.Построение топографической диаграммы напряжений генератора (см. рис. 3.4).

2.Построение топографической диаграммы напряжений приемника. Напряжение – разность потенциалов между двумя точками. Если

известна картина распределения потенциалов различных точек схемы на комплексной плоскости, то, соединив две соответствующие точки, можно получить вектор нужного напряжения. Если сопротивлением линии пренебрегают, то на схеме замещения начала фаз генератора и приемника коротко соединены между собой. Тогда потенциалы их будут одинаковы, точки А и а, В и в, С и с на комплексной плоскости совпадают. Между нейтральными точками генератора N и приемника n возникает напряжение

UnN .

Точка n на комплексной плоскости смещена относительно точки N. Поэтому напряжение UnN называют напряжением смещения нейтрали.

Точку n получим, построив вектор UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получим векторы фазных напряжений приемника Ua , Ub и Uc . Система фазных напряжений приемника

несимметрична.

Векторная диаграмма токов зависит от нагрузки. Рассмотрим первую целевую задачу на конкретном примере.

Задача1

Вычислить токи в схеме рис. 3.26, если Uф =127 В, Ra =7 Ом, Rb =0,9

Ом, Rc = 10,3 Ом, X a = 11,9 Ом, Хb = 4,2 Ом, Xc =8,2 Ом, RnN = = 10 Ом.

Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-135-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

		A	a	Ra	Xa
A	I	A	a
A
	I B		b Rb		Xb
B	I B		b Rb		n
B					n
			с	Rc	Xс
C	IC		с
C
				RnN
N		I nN
N
				Рис. 3.26

Решение

1. Вычислим напряжение смещения нейтрали:

UnN =

Y a U A +Y b UB +Y c UC

Y a +Y b +Y c +Y nN

127

127e− j120° +

127e j120°

+ j11,9

0,9 − j4,2

10,3 − j8,2

+ 0,1

7 + j11,9

0,9 − j4,2

10,3 − j8,2

127

127e− j120°

127e j120°

13,8e j60°

4,3e− j78°

13,16e− j39°

+ 0,1

13,8e j60°

4,3e− j78°

13,16e− j39°

9,2e− j60°

+ 29,53e− j42° +9,65e j159°

0,07e− j60° + 0,23e j78° + 0,076e j39°

+ 0,1

4,6 − j7,97 + 21,95 − j19,76 −9,01+ j3,46

17,54 − j24,27

0,035 − j0,06 + 0,05 + j0,22 + 0,06 + j0,048 + 0,1

0,245 + j0,208

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-136-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

= 29,94e−j j 54° = 93,6e− j94°В. 0,32e 40°

2. Найдем токи в схеме по закону Ома:

IA =Y a (U A −UnN )= 0,07e− j60°(127 −93,6e− j94°)=

= 0,07e− j60°(127 + 6,5 + j93,17)= 0,07e− j60° 162,7e j35° =11,39e− j25° А.

Напряжение на фазе приемника Uа =162,7e j35° В.

Ток IB =Y b (UB −UnN )= 0,23e j78°(127e− j120° + 6,5 + j93,17)=

= 0,23e j78°(−63,5 − j109,98 + 6,5 + j93,17)= 0,23e j78°(−57 − j16,81)= = 0,23e j78° 59,43e− j164° =13,67e− j86° А.

Напряжение на фазе приемника

Ub =59,43e− j164° В.

Ток IC =Y c (UC −UnN )= 0,076e j39°(−63,5 + j109,98 + 6,5 + j93,17)= = 0,076e j39°(−57 + j 203,15)= 0,076e j39° 211e j106° =16,04e j145° А.

Напряжение на фазе приемника

Uс = 211e j106° В.

Ток в нейтральном проводе

InN =Y nN UnN = 0,1 93,6e− j 94° = 9,36e− j94° А.

Можно сделать проверку по первому закону Кирхгофа:

InN = IA + IB + IC =11,39e− j25° +13,67e− j86° +16,04e j145° =

=10,32 − j 4,81+ 0,95 − j13,64 −13,14 + j9,2 = −1,86 − j9,25 = 9,43e− j 96° А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-137-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

3. Построение

топографической

диаграммы

(рис. 3.27) начнем

с векторов напряжений на фазах генератора.

U a

U A

I A

60°

− 94°

164°

I B

U nN 105

78°

I nN

U b

Рис. 3.27

Построив вектор напряжения UnN = 93,6e− j 94° В, получим

нейтральную точку приемника n . Сопротивлением линейных проводов пренебрегаем, поэтому точки А и а, В и b, С и с на комплексной плоскости совпадают.

Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемников, получим топографическую диаграмму напряжений приемника. Она

позволяет проверить правильность расчета напряжений Ua ,Ub и Uc .

Векторы фазных токов строим из точки n в зависимости от нагрузки в фазах. В фазе а нагрузка активно-индуктивная, поэтому ток I A отстает от

напряжения	Ua на угол ϕa = 60°. Напомним, что угол ϕф		является
аргументом комплексного сопротивления фазы.
Токи IB и IC опережают напряжения Ub и Uc соответственно на углы
ϕb = −78° и ϕc = −39°.
Ток InN	равен геометрической сумме токов I A, IB и IC .
Векторная диаграмма токов позволяет проверить правильность
произведенных расчетов.		Напомним, что углы ψu и ψi отсчитывают от
положительного направления действительной оси.
Если	приемник	симметричный ( Z a = Z b = Z c = Z) ,	формула
напряжения между двумя узлами может быть записана в виде

 Теоретические основы электротехники. Практикум			-138-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

UnN =	Y(U A +UB +UC )	=	Y(EA + EB + EC )	= 0.

	3Y +Y nN		3Y +Y nN

Напряжение между нейтральными точками генератора и приёмника не возникает.

Напряжения генератора и приёмника соответственно равны. Линейные и фазные токи равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 120°.

U A

− j120°

j120°

IA = Ia =

;IB

= IA е

= a

IA;IC

= IA e

= a IA .

Z a

Ток в нейтральном проводе

= I

+ I

= I

(

1+ a2

+ a) = 0 .

Топографические диаграммы генератора и приемника совпадают. Перейдём к рассмотрению второй целевой задачи занятия.

Схема замещения цепи при соединении звездой четырёхпроводной с нейтральным проводом без сопротивления приведена на рис. 3.28.

Из схемы видим, что при соединении фаз приемника звездой фазные и линейные токи соответственно равны между собой, например I A = Ia .

I A

I a

E A

U A

Z a

U a

I nN

I с

U b

U С

U с

U B

I B

Рис. 3.28

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-139-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Нейтральный провод с нулевым сопротивлением соединяет нейтральные точки генератора и приемника, следовательно, их потенциалы

равны между собой: VN =Vn . Если сопротивлением линии пренебрегают, то потенциалы начал фаз генератора и приёмника одинаковы: VA = Va;

VB = Vb;VC = Vc .

Поэтому фазные напряжения генератора и приёмника соответственно равны:

U А =Uа;U B =Ub;UC =Uc .

Линейные и фазные токи определяют по закону Ома:

U A

I A = Ia =

Z a

; IB

= Ib

Z b

; IC = Ic =

Z c

Ток в нейтральном проводе

InN

= Ia

+ Ib + Ic

зависит не только от

характера и величины сопротивлений фаз, но и от схемы их включения. При перемене местами нагрузок двух фаз ток нейтрального провода может измениться в несколько раз.

Топографические диаграммы напряжений генератора и приемника совпадают. Нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке.

Векторы фазных токов ориентируют относительно векторов соответствующих фазных напряжений приемника в зависимости от нагрузки фаз.

При наличии результатов расчёта токов соответствующие им векторы можно построить под углами ψi к положительному направлению

действительной оси. Углы ψi – аргументы комплексных значений токов. Вектор тока в нейтральном проводе InN получают как геометрическую

сумму векторов фазных токов.

Задача2

Несимметричный трехфазный приемник включен в четырехпроводную сеть с фазным напряжением генератора 100 В (рис. 3.29).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-140-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I A

I nN

I B

Рис. 3.29

Определить показания амперметров в линейных и нейтральном

проводах, если Ra = 6 Ом,

Ха = 8 Ом,

Хb = 20 Ом, Rc =10 Ом. Построить

векторно-топографическую диаграмму.

Фазные напряжения

генератора

и приемника

соответственно

одинаковы: Ua =U А =100

В;

Ub =UB =100e− j120° В;

Uc =UC = =

100e j120° В.

По закону Ома вычислим комплексные значения линейных токов:

IA =

U A

100

=10e− j 53° А;

6 + j8

10e j 53°

Z a

IB =

=100e− j120°

= 5e− j 30° А;

− j 20

20e− j 90°

IC =

UС

=100e j120° =10e j120° А.

Z c

Ток в нейтральном проводе InN = IA + IB + IC =10e− j 53° +

+5e− j 30° +10e+ j120° = 6 − j8 + 4,3 − j 2,5 −5 + j8,7 =5,3 − j1,8 = =5,65e− j18°45/ А.

Амперметры показывают действующие значения токов, т. е.

I A =10 А; IB = 5 А; IC =10 А; InN = 5,65 А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-141-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Топографические диаграммы генератора и приемника совпадают

(рис. 3.30).

U CA

U A

90°

U AB

U C

I C

U BC

U B

Рис. 3.30

Нагрузка фазы а имеет активно-индуктивный характер, поэтому вектор

тока I А

отстает от вектора напряжения U А

на угол ϕa = 53°, определяемый

соотношением сопротивлений фазы (ϕа

= arc tg

Ха

т.

е.

являющийся

Z a .

IB опережает

аргументом комплексного сопротивления

Вектор

тока

вектор

напряжения U

на

угол ϕ = 90°

. Вектор тока

совпадает с

вектором UС по направлению. Вектор тока в нейтральном проводе можно

построить как геометрическую сумму линейных токов.

Векторы токов можно построить по-другому, откладывая их от положительного направления действительной оси под углами ψi (ψа = −53°;

ψb = −30°; ψс =120°; ψnN = −18°45/ ).

Если приемник симметричный, токи в фазах и линиях равны между собой по величине и сдвинуты относительно друг друга по фазе на 120°. Достаточно вычислить только один ток:

I A = Ia = U A .

Z a

Тогда IB = Ib = IА e− j120° = a2 IA ; IC = Ic = IA e j120° = a IA .

Ток в нейтральном проводе InN = Ia + Ib + Ic = 0.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-142-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача3

Определить мощность, потребляемую симметричным приемником,

схема замещения которого изображена на				рис. 3.31, если Uл = 380 В,
R = 59 Ом, Х =27 Ом.
Построить векторно-топографическую диаграмму.
	I A	*	R		X
A		* W

B	I B	R	X
B			n
С IC		R	X
С IC
N			I nN
N
		Рис. 3.31

Решение

В симметричном приемнике достаточно измерить или вычислить мощность одной фазы, а затем ее значение утроить.

Для определения показаний ваттметра (рис. 3.31) воспользуемся формулой комплексной мощности:

= Re U

Фазное

напряжение

U A

380

= 220

В. Будем

считать его

действительным числом.

Напряжение

UnN = 0 .

Напряжения

генератора и

приемника

соответственно совпадают.

Ток I A =

U А

220

= 3,38e− j 25°

А.

Z a

59 + j 27

Z a

65e j 25

Тогда P

= Re(220 3,38e j25°)= 674 Вт.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-143-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Мощность, потребляемая схемой,

P = 3PW = 3 674 = 2022 Вт.

Проверим правильность решения по формуле

P = 3R Iф2 = 3 59 3,382 = 2022 Вт.

Векторно-топографическая диаграмма представлена на рис. 3.32.

		U	A		U	AB
	U CA	U	A
	U CA			25°
					I A
	IC	N		n 120°
		N		n 120°		U B
		120°				U B
	U С			I B
				I B
		U BC
Cc							Bb
		Рис. 3.32

Задача4

Определить, при	каком сопротивлении резистора R (рис. 3.33) ток
в нейтральном проводе	будет равен нулю, если ХL = ХС = Х

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-144-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	I A	R
	I A

B	I B	X L	n
	I B		n
		XC
С IC		XC
С IC
N		I nN
N

Рис. 3.33

Решение

Благодаря наличию нейтрального провода сохраняется симметрия фазных напряжений приемника.

Токи IB и IC равны по модулю. Ток в нейтральном проводе

InN = I A + IB + IC .

Следовательно, I A = −(IB + IC ) .

Для решения задачи необходимо построить векторно-топографическую диаграмму (рис. 3.34).

U A

I A

	90° N n
U	30° I B IC	30°	U B
U	С		U B
Cc	I B + IС		Bb
	Рис. 3.34

Топографические диаграммы генератора и приёмника совпадают.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-145-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вектор тока I A совпадает с вектором напряжения U A , так как нагрузка в этой фазе чисто активная. Вектор тока IB отстаёт от напряжения U B на 90°, так как в этой фазе нагрузка чисто индуктивная. Вектор тока IC опережает напряжение UC на 90° из-за емкостного характера нагрузки в этой

фазе.

Как видно из диаграммы, треугольник nkp является равнобедренным. Он отдельно изображён на рис. 3.35.

I B

30°

I A

Рис. 3.35

Из решения треугольника nkp ток IA = 2 IB cos30° = 2 IB

IB .

Uф

Ток IB =

Uф

, тогда ток I A =

Отсюда Uф = X3 I A .

Напряжения на фазах приемника равны друг другу по модулю:

Uф = RI A = X3 I A .

Следовательно, ток в нейтральном проводе равен нулю при R = X3 .

Задача5

Найти показания вольтметра в схеме рис. 3.36, если Uф = 220 В,

R = X L = XC .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-146-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	I A	R		R
	I A
				X L
B	I B R		V	X L
	I B R			n
				n
С IC		R		XC
С IC
N			I nN
N
			Рис. 3.36

Решение

Напряжение на зажимах вольтметра

UV = − j X L IB + RI A.

Напряжения на фазах приёмника совпадают с напряжениями на фазах генератора, так как в схеме есть нейтральный провод без сопротивления.

Ток I A =

U A

220

= 110 А.

Z a

Ток IB =

220e− j120°

156 e− j165°А.

R 2 e j45°

R + jX L

Тогда UV = − j R

156 e− j165° + R110

= e− j 90° 156e− j165° +110 =

=156e j105° +110 = −40 + j150 +110 = 70 + j150 =166e j 65° В.

Вольтметр покажет напряжение UV =166 В.

Следующие задачи решите самостоятельно.

	Задача6
Вычислить	сопротивления и ток в нейтральном проводе в схеме
рис. 3.37, если	нагрузка равномерная, Uл = 380 В, Iф = 2 А. Построить

векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-147-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

X L

I nN

Рис. 3.37

Ответ: R = ХL = XC =110 Ом, InN = 5,46 А.

Задача7

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.38, если Uл = 380 В,

Ra = 0,8

Ом,

Rb =1,4 Ом,

Rc = 2,2

Ом, X a =1,8

Ом, Xb =1,6 Ом,

Xc = =2,8 Ом.

I A

* W

I a

I B

I с

I nN

Рис. 3.38

Ответ: PW 1 =10 кВт, PW2

=15 кВт, PW3 = 8 кВт.

Задачи 8 и 9 решите для самоконтроля.

Задача8

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-148-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Найти показания вольтметра в схеме рис. 3.39, если Uф = 220 В,

R = X L = XC .

X L

Рис. 3.39

Ответ: UV = 300 В.

Задача9

Вычислить входные токи и показания ваттметров в схеме рис. 3.40,

если Uл = 380

В, Ra = 0,605

Ом,

Rb = 2,065

Ом,

Rc =1,960 Ом,

R = 2,178

Ом, X a =1,047 Ом, Xb =1,548 Ом,

X c = 0,949 Ом,

X = 6,926 Ом.

I A

I a'

* W

I a

Ib'

I B

' R

I с

I a

I с

Рис. 3.40

Построить векторно-топографическую диаграмму.

Ответ:

I A =162,8

А,

IB = 80,41

А,

IC =123,7

А,

InN =197,2

А,

= 22 кВт,

PW =17 кВт, PW = 22 кВт.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-149-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Занятие3 Расчеттрехфазнойцепиприсоединениизвездойтрехпроводной

Цели занятия:

1.Научиться вычислять токи и напряжения.

2.Научиться строить векторно-топографические диаграммы.

3.Научиться определять показания ваттметров, вычислять потреляемую мощность.

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 3.41.

A	I A	a I a
		a I a

		E A					Z a
		E A							U a
			U A
				U nN			Z c		Zb
							Z c	n	Zb
	EC	N	EB			I с
		N	EB			I с
C		U С	U B	I B	c		U	с	U b	Ib
C		U С	U B	I B	c		U	с	U b	b
			IC B

Рис. 3.41

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому для их расчета пригодны все методы, применяемые в однофазных цепях. Анализируемую схему можно рассматривать как схему с двумя узлами (N и n) и р ассчитать токи в ней методом напряжения между двумя узлами.

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника можно вычислить по формуле

UnN = Y a U A +Y b UB +Y c UC ,

Y a +Y b +Y c

где Y a =	1	,Y b =	1	,Y c =	1	– комплексные проводимости фаз приемника.
	Z a		Z b		Z c

Линейные и равные им соответственно фазные токи можно определить по закону Ома для активной ветви:

I A = Ia =Y a (U A −UnN );

IB = Ib =Y b (U B −UnN );

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-150-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IC = Ic =Y c (UC −UnN ).

Выражения в скобках являются разностью потенциалов между началами (a,b,c) и концами (n) фаз приемников, т. е. фазными напряжениями

приемника. Например, Ua = −UnN +U A .

Поэтому уравнения можно переписать в следующем виде:

I A = Ia = Y a Ua ;

IB = Ib = Y b Ub ;

IC = Ic = Y c Uc .

На основании первого закона Кирхгофа геометрическая сумма токов Ia, Ib и Ic будет равна нулю.

Уравнение Ia + Ib + Ic = 0 дает возможность проверить правильность

решения.

Топографическую диаграмму строят в два этапа:

1.Построение топографической диаграммы напряжений генератора.

2.Построение топографической диаграммы напряжений приемника. Напряжение – разность потенциалов между двумя точками. Если известна картина распределения потенциалов различных точек схемы на комплексной плоскости, то, соединив две соответствующие точки, можно получить вектор нужного напряжения. Если сопротивлением линии пренебрегают, то на схеме замещения начала фаз генератора и приемника коротко соединяют между собой, тогда потенциалы их будут одинаковы. Точки А и a , B и b , C и c на комплексной плоскости совпадают. Между нейтральными точками

генератора N и приемника n возникает напряжение UnN . Точка n на комплексной плоскости смещена относительно точки N , поэтому напряжение UnN называют напряжением смещения нейтрали. Точку n получают, построив вектор UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получают векторы фазных напряжений приемника Ua ,Ub и Uc . Система фазных напряжений приемника несимметрична.

Векторная диаграмма токов зависит от нагрузки. Если приемник симметричный

(Z a = Z b = Z c = Z, Y a =Y b =Y c =Y ),

формула напряжения между двумя узлами может быть записана в виде

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-151-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

UnN = Y (EA + EB + EC )= 0 .

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника не возникает.

Напряжения генератора и приемника соответственно равны. Линейные и фазные токи равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 120°:

	U A			− j120°		j120°
I A = Ia =		;	IB = IA e		; IC = IA e		.
I A = Ia =	Z a	;	IB = IA e		; IC = IA e		.
	Z a

Векторно-топографическая диаграмма имеет вид, аналогичный диаграмме на рис. 3.32.

Итак, напряжение между нейтральными точками не возникает при симметричной нагрузке, а также при наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением.

Задача1

К трехпроводной линии с линейным напряжением Uл = 346 В

подключен симметричный трехфазный приемник, соединенный звездой. Вычислить показания амперметра в одном из линейных проводов, если Z a = Z b = Z c = (6 + j8) Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

Решение

При симметричном приемнике напряжения на фазах приемника и генератора одинаковы. Фазное напряжение вычислим по формуле

Uф = U3л = 3463 = 200 В.

Амперметр показывает действующее значение тока, которое можно найти по закону Ома:

Iл = Iф =

Uф

200

= 20

А.

Zф

Rф2 + Xф2

62 + 82

Векторно-топографическая диаграмма построена на рис. 3.42.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-152-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Векторы токов равны по величине и отстают от векторов соответствующих фазных напряжений на угол ϕ = arctg XR = arctg 86 =53°10′.

	U		A
			A	U a	U AB
U CA	IC			ϕ
	IC	N		ϕ
	ϕ	N		ϕn	I A
U С					U B
					U B
					U b
	U с
		I B
Cc		U BC			Bb
	Рис. 3.42

Задача2

Найти показания ваттметров в схеме рис. 3.43, если Uл = 220 В, а в номинальном режиме при напряжении Uн = 200 В лампочка потребляет

мощность Рлн = 50 Вт.
A	*	*
A	*	W
		1
B		n
С	*	W2
	*	*
		*
		Рис. 3.43

Решение

1. Вычислим сопротивление лампочки из номинального режима:

Рлн =Uн Iн =Uн Uн = Uн2 .

R R

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-153-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Отсюда

R = Uн2 = 2002 = 800 Ом.

Рлн 50

2. Вычислим напряжение на лампочке. Так как приемник симметричный, фазное напряжение

Uфп = U3л = 2203 =127 В.

3. Вычислим нужные для определения показаний ваттметров токи по закону Ома:

I А = URА = 127800 = 0,159 А;

IС = IA e j120° = 0,159 e j120° А.

4. Вычислим		показания				ваттметров. Если U A =127				В, то U AB =
= 220e j30° В, UCB = 220e j 90°В.
Тогда P	=U		I				^	I
Тогда P	=U	AB	I	A	cos U	AB		I	= 220 0,159 cos30° =30,25 Вт;
W1		AB		A		AB			A

PW2 =UBC IC cos UCB ^ IC = 220 0,159 cos30° =30,25 Вт.

Проверка: PW1 + PW2 = 3R I 2 ;

30,25 +30,25 = 3 800 0,1592 ;

60,5 Вт ≈ 60,67 Вт.

Задача3

Вычислить комплексные значения всех токов в схеме рис. 3.44, если

Uл =100 В, ХС =10 Ом, R =10 Ом, X L = 60 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-154-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

XC	R	I A	a
A

XC	R			X	L
	R		I ab		L		X
B		I B	b	X L			X	L
B								L
XC
XC	R			Ibc		I
			IC	Ibc			ca
С			IC			с	ca
С

Рис. 3.44

Решение

1. Заменим треугольник сопротивлений на эквивалентную звезду. Приемник симметричный, поэтому

X LY =	X L	=	60	= 20	Ом.
	3		3

Схема примет вид, представленный на рис. 3.45.

	I A	XC	R	X LY
A

	I B	XC	R	X LY
B					n

С IC		XC	R	X	LY

Рис. 3.45

2. Напряжение смещения нейтрали не возникает, поэтому напряжения на фазах приемника равны напряжениям на фазах генератора:

Uф = U3л = 57,8 В.

3.Вычислим линейные токи по закону Ома:

IA =

U A

U А

57,8

= 4,1e− j 45° А;

R + j (X LY − XC )

10 + j10

14,14e j 45°

Zф

− j120°

= 4,1e

− j165°

А;

= IA e

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-155-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IC = IA e j120° = 4,1e j 75° А.

4.Вычислим токи Iab , Ibc и Ica . У симметричного приемника

Iab =	IA	e j 30° = 4,1		e− j 45° e j 30° = 2,37 e− j15° А;
	3
			3
			− j120°		= 2,37 e	− j135°		А;
	Ibс = Iab e
			e	j120°	= 2,37 e	j105°	А.
		Ica = Iab

Проверка решения:

IA = Iab − Ica = 2,29 − j 0,61+ 0,61− j 2,29 = 2,89 − j 2,89 = 4,1e− j 45° А.

		Задача4
Вычислить комплексные значения всех токов в схеме рис. 3.46, если
Uл =173 В, R1 = 3 Ом, R2 = 9 Ом, X L =10 Ом, X M = 2 Ом.
A	I A		X L		R		a
A	I A				1		a
		XM	X L		R	R2
B	I B	XM	X L		R	b	I ab
B	I B	XM			1	b	R2
						Ibc	R2
С	IC	XM	X	L	R	Ibc
С	IC			L	1	R2
							I ca
							с
			Рис. 3.46

Решение

1.Заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой и применив правило магнитной развязки для каждой пары индуктивно связанных элементов, получим схему, представленную на рис. 3.47.

2.Приемник симметричный, поэтому

Uфп = U3л = 1733 =100 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-156-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

			X L − XM	R	R2
			X L − XM	R	3
				1	3
A I		A
			X L − XM	R	R2
			X L − XM	R	3
B				1	3	n
B	I B					n
			X L − XM	R	R2
	IC		X L − XM	R	3
С	IC			1

Рис. 3.47

3. Вычислим линейные токи по закону Ома:

IA =

U A

100

=10e− j 53° А;

6 + j8

10e j 53°

Zф

+ j (X

− X

)

− j120°

=10e

− j173°

А;

= IA e

j120°

=10e

j 67°

А.

IC = IA e

4. Вычислим токи Iab , Ibc и Ica :

Iab = IA3 e j 30° = 5,78e− j 23° А;

Ibc = Iab e− j120° = 5,78e− j143°А;

Ica = Iab e j120° = 5,78e j 97° А.

Задача5

Вычислить все токи и показания ваттметров в схеме рис. 3.48, если

U л = 220 В, X a = Xb = X c = X a′b′ = 3 Ом, X M = 2 Ом, Xb′c′ = 5 Ом, Rc′a′ = 2 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-157-

	ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС
A		*		a			Xa		a'
A	I A	W	*	a			Xa'b'		a'
			1

						Xb	XM
B	I B		*		*	Xb	I a'b'		Rc'a'
B			W		*		b'	Xb'c'
			2		b		b'	Xb'c'
					XM	Xc			I c'a'
С	IC					Xc		Ib'c'	I c'a'
С	IC		с					Ib'c'	c'
			с						c'
					Рис. 3.48
						Решение

1. Сделаем магнитную развязку, воспользовавшись уравнениями на основании законов Кирхгофа. Напряжение

U AB = − j Xb IB − j X M IC + j X a′b′ Ia′b′ + j X M I A + j X a I A + j X M Ia′b′.

В этой схеме I A + IB + IC

= 0.

Отсюда IC = −I A − IB.

Тогда U

= − jX

+ jX

′ ′ I ′ ′ +

a b a b

+ jX

I ′ ′

= j

+ 2X

+ j(X

′ ′ + X

′ ′ −

a b

− j(Xb − X M )IB .

Аналогично получим выражения напряжений U BC и UCA :

= j

− X

− jX

′ ′ I

′

′ − j (X

− X

;

b c b c

= − j (X

+ 2X

)I + (R ′ ′

− j X

)I ′ ′ + j (X

− X

)I .

c a

Этим уравнениям соответствует эквивалентная схема без магнитных связей, представленная на рис. 3.49. Вершины треугольника имеют иные потенциалы, чем в исходной схеме, поэтому они обозначены буквами с двумя штрихами.

2. Преобразуем треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду. Схема, полученная после преобразования, представлена на рис. 3.50.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-158-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I A

Xa + 2XM

Xa'b' + XM

Rc'a'

− XM

I B

I a'b'

− XM

Xb'c'

− XM

I c'a'

Ib'c'

Рис. 3.49

I A

Xa + 2XM

Z a′′

I B b

Xb − XM

′′

IC с Xc − XM

Z c′′

Рис. 3.50

Вычислим сопротивления Z a′′ ,

Z b′′, Z c′′ по известным формулам:

Z a′′

Z a′′b′′ Z c′′a′′

Z a′′b′′ + Z b′′c′′ + Z c′′a′′

j (X

′ ′ + X

) (R ′ ′ −

j X

)

a b

c a

= j5Ом;

j (X

′ ′ +

)

− j X

′ ′ +(R ′ ′ − j X

)

a b

b c

c a

Z b′′

Z b′′c′′ Z a′′b′′

Z a′′b′′ + Z b′′c′′

+ Z c′′a′′

j (X

′ ′ + X

)

(− j X

′ ′ )

= (6,25 + j 6,25) Ом;

a b

b c

j (X

′ ′ + X

)− j X

′

′ +

′ ′ − j X

)

a b

b c

c a

Z с′′

Z с′′a′′ Z b′′c′′

Z a′′b′′ + Z b′′c′′

+ Z c′′a′′

′ ′ − j X

) (− j X

′ ′ )

c a

b c

= − j 5 Ом.

j (X

′ ′ + X

)− j X

′ ′

+ (R

′ ′ − j X

)

a b

b c

c a

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-159-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

3. Приемник несимметричный, поэтому возникает напряжение смещения нейтрали, которое вычислим по формуле

UnN =

Y aU A + Y b U B + Y c UC

Y a + Y b + Y c

где Y a =

= − j 0,0833 См,

Z a

j (X a + 2X M )+ Z a′′

Y b =

= (0,0682 − j 0,0792) См,

j (Xb − X M )+ Zb′′

Z b

Y c =

= j 0,25 См.

Z c

j (X c − X M )+ Z c′′

Будем считать напряжение U AB действительным числом. Тогда

U A =

U AB

e− j30° =127 e− j30° В, UB =127e− j150° В,

UC =127e j 90° В.

Подставив значения напряжений и проводимостей в формулу

напряжения UnN

и произведя вычисления, получим:

UnN = 450e j133,5° В.

4. Вычислим линейные токи:

IA =Y a (U A −UnN )=Y a Ua = 47,7e− j132,8° А;

IB =Y b (UB −UnN )=Y b Ub = 45,5e− j112,2° А;

IС =Y с(UС −UnN )=Y сUс = 92,3e j 57,3° А.

Проверка решения: I A + IB + IC = 0;

− 32,4 − j 35,8 −17,2 − j 42 + 49,8 + j 77,7 = 0,2 − j 0,1 ≈ 0.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-160-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжения на фазах приемника Ua , Ub и Uc можно было найти и из формул, выведенных из уравнений, составленных по законам Кирхгофа:

Ua = Y b U AB −Y c UCA ;

Y a + Y b + Y c

Ub = Y c U BC −Y a U AB ;

Y a + Y b + Y c

Uс = Y a UCA −Y b U BC .

Y a + Y b + Y c

5. Вычислим токи в ветвях треугольника:

′ ′

Ua′′b′′

− Z b IB + Z a I A

= 41,8e− j5,2° А;

′ ′ + X

)

a b

j (X

′ ′ + X

)

a b

′

′ =

Ub′′с′′

= − Z c IC + Z b IB

= 52,2e− j 62,3°

А;

b с

− j X

′ ′

− j X

′ ′

b c

′

′ =

Uc′a′

− Z a I A + Z c Ic = 81e j 22,5°

А.

′ ′ − j X

c a

R ′ ′ − j X

c a

6. Найдем показания ваттметров:

= Re U

− I

= Re (−U

)

− I

= Re U

= Re (220e j120° 47,7 e j132,8° )= −3120 Вт;

PW2

−

2 2 0e

− j1 2 0° Вт.

−

R e U B C

R e[

Знаки минус объясняются тем, что верхние зажимы обмоток напряжения ваттметров подключены со стороны приемника, а не генератора.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-161-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	R	X L
A	A
	R	X L
B	R	n
B		n

R X L

Рис. 3.51

Проверка решения:

P	+ P	= R ′ ′ I 2′ ′;
W1	W2	c a c a

13120 Вт ≈13122 Вт.

Следующие задачи решите самостоятельно.

	Задача6
Найти показание вольтметра в схеме рис. 3.51, если R = 3 Ом, X L = 4
Ом, а амперметр показывает ток I A =1,73 А.
A	*	Z
	* W
	* W	Z
B		Z
			n

Рис. 3.52

Ответ: UV =12 В.

Задача7

Вычислить показание ваттметра в схеме рис. 3.52, если Uл = 380 В,

Z = − j 220 Ом.

Ответ: PW =190 Вт.

Задача8

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-162-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.53, если Uл = 220 В,

ХL =10 Ом, ХС = 60 Ом.

	A			*		X L
	A	* W
					1	X L		XC
	B					X L		XC	XC
	B					X L			XC
	С		W2			X L		XC
	С	*	W2
		*		*
				*
						Рис. 3.53
Ответ: РW =1397 Вт, PW				2	= −1397 Вт.
1				2
					Задача9
Найти комплексные значения всех токов в схеме рис. 3.54, если Uл =
= 380 В, R1 = 2 Ом,	R2 =18 Ом,				X L = 7 Ом, X M =1 Ом.
A	I A	R					X L		a
A	I A	1							a
B I B		R1			XM	XM	X L	R2	I ab
B I B		R1			XM		X L	b	R2
						XM		Ibc	R2
	IC	R1				XM	X L	Ibc	I ca
С	IC	R1					X L	R2	I ca

Рис. 3.54

Ответ:

− j 37°

А,

− j157°

j83°

А,

− j 7°

IA = 22e

IB = 22e

А, IC = 22e

Iab =12,7e

А,

− j127°

А,

j113°

А.

Ibc =12,7e

Ica =12,7e

Задачи 10–14 решите для самоконтроля.

Задача10

Найти показание амперметра в схеме рис. 3.55, если Z = (8 + j 6)

Ом,

а вольтметр показывает напряжение UV = 380 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-163-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

V Z

B n

С A

Рис. 3.55

Ответ: I A = 22 А.

Задача11

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.56, если Uл =100 В,

ХС =10 Ом,

X L = 60 Ом.

* W

X L

Рис. 3.56

Ответ: PW = −289

Вт, PW = 289 Вт

Задача12

Определить показания всех измерительных приборов в схеме рис. 3.57,

если Uл =173 В,

Z a = Z b = Z c =10 Ом,

RA = 0 , RV

= ∞.

Ответ:

I A

= I A

= I A =10 А,

=UV

=100 В,

PW =

= PW2 =1500 Вт.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-164-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

				V1
	*	*	A1	Z a
A	*	W1	A1
				V2
	*			Zb
B	* W2		A2	n
				V3
С			A3	Z c
С

Рис. 3.57

X L

Задача13

Вычислить комплексные

X L

значения токов в схеме рис.

3.58, если U

=173 В,

R = 6

Ом,

XM X L

X L =10 Ом, X M = 2 Ом.

Ответ: IA =10e− j 53° А,

Рис. 3.58

=10e

− j173°

j 67°

А, IC =10e

А.

A
	R		Задача14
		X L	Задача14
		X L	Найти значение тока в линии
B		R	Найти значение тока в линии
B	X L	R	схемы рис. 3.59, если модули
	X L	X L	всех фазных токов равны 1 А.
	R		Ответ: Iл = 2 А.
С
	Рис. 3.59
	Теоретические основы электротехники. Практикум			-165-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Занятие4

Аварийныережимывтрехфазныхцепях

Цели занятия:

1.Научиться рассчитывать токи и напряжения, строить векторнотопографические диаграммы для режимов холостого хода и короткого замыкания при соединении фаз приемника звездой четырёхпроводной.

2.Научиться рассчитывать токи и напряжения, строить векторнотопографические диаграммы для аварийных режимов при соединении фаз приемника звездой трёхпроводной.

3.Научиться анализировать аварийные режимы в схеме при соединении фаз приёмника треугольником.

Рассмотрим первую целевую задачу занятия.

Холостой ход одной из фаз Схема замещения трёхфазной цепи при обрыве в фазе а приемника

изображена на рис. 3.60. Точки а, b, с, n приемника коротко соединены соответственно с точками А, В, С, N генератора, поэтому потенциалы их одинаковы. Следовательно, напряжения на фазах приемника равны напряжениям на фазах генератора. Ток I A = Ia = 0. Токи IB и IC не

изменятся по сравнению с нормальным режимом работы. Их вычисляют по

закону Ома: Iл = Iф = Uф . Ток нейтрального провода вычисляют по первому

Zф

закону Кирхгофа (InN = IB + IC ) аналитически или графически.

	A					a
		U A		I nN			U a
				I nN			Zb
	N				Z c	n	Zb
C	U С	U B	B	I B	U с		U b
	U С	U B	B	I B	U с		U b
			IC
				Рис. 3.60

Обрыв линейного провода

Схема замещения трёхфазной цепи при обрыве линейного провода Aа изображена на рис. 3.61.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-166-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Ток I A = Ia = 0, поэтому напряжение на фазе а приемника

Ua = Za Ia = 0. Точки b, с, n приемника соединены коротко соответственно

с точками B, C, N генератора, т. е. Ub =U B ; Uc =UC .

Токи IB и IC не изменятся по сравнению с нормальным режимом работы. Ток нейтрального провода равен геометрической сумме токов IB и

IC : InN = IB + IC .

Топографическая диаграмма приведена на рис. 3.62. Напряжение Ua = 0 , поэтому точка а на диаграмме совпадает с точкой n.

	A						a
		U A		I nN			U a
				I nN
	N						n
C	U С	U B	B	I B	с	U с	U b	b
	U С	U B	B	I B	с	U с	U b	b
			IC
				Рис. 3.61

U CA		U AB
	U A

	N	n
	U С	a	U B
	U С		U B
	U с
			U b
Сc	U		Bb
	U	BC
	Рис. 3.62

Режим короткого замыкания одной из фаз для случая, когда пренебрегают сопротивлением фаз генератора и проводов, является чисто теоретическим.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-167-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжение закороченной фазы становится равным нулю, напряжения на двух других фазах не изменятся.

На практике при возникновении такой аварийной ситуации срабатывает аппаратура защиты.

Перейдём к рассмотрению второй целевой задачи.

Холостой ход одной из фаз

Схема замещения цепи при обрыве в фазе а приемника показана на рис. 3.63.

Построение векторно-топографической диаграммы проводим в три этапа, начиная с топографической диаграммы напряжений генератора. Затем строим топографическую диаграмму напряжений приемника. Точки а, b, с приемника коротко соединены с точками А, В, С генератора, потенциалы их соответственно одинаковы, и эти точки на комплексной плоскости совпадают (рис. 3.64). Нейтральные точки генератора N и приемника n не соединены между собой. Так как сопротивление фазы а становится при обрыве бесконечно большим, приемник является несимметричным, поэтому

возникает напряжение смещения нейтрали UnN . Соединение звездой при

обрыве одной из фаз превращается в последовательное соединение двух других фаз. В схеме рис. 3.63 фазы b и с подключены под линейное напряжение U BC . Если сопротивления фаз b и с одинаковы, напряжение

Ub =Uc = U2BC , следовательно, точка n на диаграмме находится в середине

вектора U BC . Соединив точки n и N, получим вектор напряжения смещения нейтрали UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получим векторы фазных напряжений Ua , Ub , Uc .

	A						a
	U A					U a
	U С				Z c	n		Zb
	N				Z c	n		Zb
C	U B	B		с		U с	U b	b
		IC	I B					b
		IC
			Рис. 3.63

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-168-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжение на фазе а возрастает по сравнению с симметричным режимом работы и становится равным Ua = 23UЛ .

Напряжения на фазах b и с находятся в противофазах. Направления векторов токов определяются характером нагрузки. Ток в фазе а равен нулю. Токи в фазах b и с одинаковы по величине. С учётом направлений на схеме рис. 3.63 их можно вычислить по закону Ома:

IB = −IC =	U BC

	Z b + Z c

На диаграмме рис. 3.64 векторы токов IB и активно-емкостной нагрузки.

U CA	U A
	U A	U AB
U a

		N
U С			U B
		U nN	ϕ I B
		n	ϕ I B
U BC		n	b
Сc U с	ϕc	IC	U b
		IC

Рис. 3.64

IC построены для случая

Обрыв линейного провода

Схема замещения цепи при обрыве линейного провода на рис. 3.65.

Ток I A = Ia = 0. Поэтому напряжение на фазе a

Aa приведена

Ua = Za Ia = 0 .

Потенциалы точек a и n одинаковы. Схема на рис. 3.65 представляет собой последовательное соединение фаз b и c , подключенных под напряжение Ubc . Расчет токов не отличается от расчета для режима холостого хода фазы.

При обрыве в фазе приемника напряжение на ней возрастает по сравнению с нормальным режимом работы, при обрыве в линии – становится

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-169-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

равным нулю. Это дает возможность определить место аварии при отсутствии тока в фазе.

A	I A = 0			a
A				a
			U a
	U A
U С		U с	n	U b
N			n

C		U B	B	с
C	U BC	U B	I B	с	b
			IC

Рис. 3.65

Векторно-топографическая диаграмма для случая, когда сопротивления фаз b и c одинаковы и имеют активно-емкостной характер, показана на рис. 3.66.

	U CA		U A	U AB
			N	U B
	U С		Ib	U B
	U		Ib	U b
Сc	U	с	n	U b	Bb
Сc			a	U BC	Bb
	I с		a	U BC
	I с
			Рис. 3.66

Векторно-топографическую диаграмму можно строить только для приемника, рассматривая его как однофазную цепь.

Короткое замыкание одной из фаз

Схема замещения цепи при коротком замыкании фазы а изображена на рис. 3.67.

Сопротивление фазы а Za = 0 , поэтому напряжение Ua = Za Ia = 0 .

Построение топографической диаграммы (рис. 3.68) проведем в два этапа. Начнем с построения топографической диаграммы напряжений генератора.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-170-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Потенциалы точек а и А, b и В, с и С (см. рис. 3.67) одинаковы, поэтому эти точки на диаграмме совпадают. Приемник несимметричный, поэтому между нейтральными точками генератора и приемника возникает напряжение. Точка n на диаграмме смещается относительно точки N. Так как точки а и n коротко соединены между собой, потенциалы их одинаковы и точка n на диаграмме совпадает с точкой а. Чтобы построить векторы напряжений на фазах приемника b и с, нужно соединить точки, соответствующие началам и

концам фаз. Напряжение UnN =U A .

I A

	U A
	U С
	N
C	U B

Z c

I B с

U b

Рис. 3.67

A a n

U CA =U с

U AB U b

N U A =U nN

	U С		U B
Сc	U	BC	Bb
Сc			Bb

Рис. 3.68

Из диаграммы видим, что напряжения на фазах b и с возрастают и становятся равными по величине линейным.

Токи IB и IC вычисляем по закону Ома:

IB = Ib =	Ub	=	−U AB	;

	Z b		Z b

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-171-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IC = Ic = Uc = UCA .
Z c	Z c

Сопротивления в фазах b и с не изменяются по сравнению с нормальным режимом работы, поэтому эти токи по величине изменяются

так же, как напряжения, т. е. увеличиваются в 3 раз.

Ток I A вычисляют, пользуясь первым законом Кирхгофа:

I A + IB + IC = 0.

Отсюда I A = −(IB + IC ).

Направления векторов токов IB и IC зависят от нагрузки в этих фазах. Перейдем к рассмотрению третьей целевой задачи.

Режим холостого хода одной фазы

Схема замещения трехфазной цепи при обрыве в фазе ab изображена на рис. 3.69.

Ток Iab = 0. Точки а, b и с приемника коротко соединены с точками А,

В и С генератора, поэтому их потенциалы при обрыве фазы не изменяются. Следовательно, напряжения на фазах приемника тоже не меняются по сравнению с нормальным режимом работы. Сохраняют свои значения и токи двух других фаз:

	U BC			UCA
Ibc =		;	Ica =
Ibc =	Z bc	;	Ica =	Z ca
	Z bc			Z ca

I A

I ab = 0

U CA

U AB

U сa

U ab

Z ca

Zbc

I ca

Ibc

U BC

I B

U bc

Рис. 3.69

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-172-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Линейные токи I A и IB , как видно из рис. 3.69, становятся равными по величине соответственно фазным токам Ica и Ibc . С учетом указанных на схеме направлений токов можно записать:I A = −Ica ; IB = Ibc . Ток IC вычисляют по первому закону Кирхгофа: IC = Ica − Ibc .

			I A = −I ca
		Aa
	IC
		Ica
		U CA =U ca	U AB =U ab
− Ibc
	Ibc = I B
		U BC =U bc
Сc				Bb
Сc				Bb

Рис. 3.70

На рис. 3.70 приведены топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов для приемника, у которого нагрузка фазы bc имеет активно-емкостный характер, фазы са – активный.

Обрыв линейного провода

Схема замещения трехфазной цепи при обрыве линейного провода Аа изображена на рис. 3.71.

Соединение фаз приемника треугольником при обрыве линейного провода превращается в смешанное. Фазы ab и ca соединены между собой последовательно в ветви, концы которой подключены к точкам b и с. Фаза bc соединена с этой ветвью параллельно.

Токи Iab и Ica равны между собой. Их вычисляют по закону Ома:

Iab = Ica = − Z abU+bcZ ca

Напряжения на фазах ab и са распределяются пропорционально их сопротивлениям: Uab = Z ab Iab; Uca = Z ca Ica .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-173-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I A = 0

I ab

U CA

U ca

U ab

U AB

Z ca Z ab

I ca

Zbc

Ibc

U BC

I B

U bc

IС

Рис. 3.71

Ток фазы bc не меняется по сравнению с нормальным режимом:

Ibc = Ubc

Z bc

Токи IB и IC равны между собой по величине. Они могут быть вычислены по первому закону Кирхгофа с учетом указанных на схеме рис.

3.71 направлений: IB = −IC = Ibc − Iab .

Линейные токи можно определить графически с помощью векторнотопографической диаграммы, построение которой проводят так же, как и для однофазной цепи со смешанным соединением приемников.

Напряжение на закороченной фазе становится равным нулю, напряжения на двух других фазах не изменяются.

На практике при возникновении такой аварийной ситуации срабатывает аппаратура защиты.

Рассмотрим целевые задачи на конкретных примерах.

Задача1

Вычислить токи в линейных и нейтральном проводах в схеме рис. 3.72, если Uфг =127 В, Zb = (3 − j 2) Ом, Z c = (3 + j5) Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-174-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Z a

I B

Z c

I nN

Рис. 3.72

Решение

Ток I A = Ia = 0.

Токи IB и IC

вычислим по закону Ома:

IB = Ib

127e− j120°

3 − j 2

=127e− jj120° = 35,2e− j 86°А; 3,6e− 34°

IC = Ic =

UС

=127e j120°

127e j120°

21,9e j 61° A.

Z c

Z с

3 + j5

5,8e j 59°

Ток в нейтральном проводе

InN = Ib + Ic = 35,2e− j 86° + 21,9e j 61° = 2,25 − j35,2 +10,18 + j19,15 =

=12,43 − j16 = 20,3e− j 52° А.

Векторно-топографическая

диаграмма построена

на рис.

3.73

(линейные напряжения не показаны).

Вектор тока I

опережает вектор напряжения

на угол ϕ

= 34°,

являющийся аргументом комплексного сопротивления Z b . Вектор тока IC отстает от вектора Uс на угол ϕc =59°. Вектор тока InN есть геометрическая сумма векторов IB и IC .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-175-

			ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
		Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС
					+1
						U A =U a
					Aa
			IC			−52°	I nN
								I B
		+j	59°		Nn		34°
			U С =U c		Nn			U B =U b
			U С =U c					U B =U b
			Сc					Bb
					Рис. 3.73
					Задача2
Найти		ток	IB в схеме	рис.		3.74, если		Uл = 220 В,	XС = 22 Ом,
R = 22 Ом.
3
				I A		a	XC
			A	I A		a
			A
			B	I B		b		n
			B
			С			с	R
			С
			N		I nN		R
			N
						Рис. 3.74
					Решение
Построим векторно-топографическую диаграмму, представленную на
рис. 3.75.
Сначала построим топографическую диаграмму напряжений на фазах
генератора. Потенциалы точек а и А, b и В совпадают. Потенциал точки n
равен потенциалу точки В, поэтому на диаграмме эти точки совпадают.
Тогда		напряжение на		фазе		приемника		Ua =U AB , а	напряжение
смещения нейтрали UnN =U B .
	Теоретические основы электротехники. Практикум								-176-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вектор тока InN совпадает по направлению с вектором напряжения UnN , так как нагрузка в нейтральном проводе чисто активная. Вектор тока

Ia = I A опережает вектор напряжения Ua на 90° , так как нагрузка в фазе а чисто емкостная.

A a

U A

U a =

U AB

U С

U B =U nN

I A

B b n с

I nN

I B

Рис. 3.75

Вычислим токи InN

и I A по закону Ома:

UnN

= 220e

−

j120°

InN =

=10e− j120°

А;

3 22

U AB

IA = Ia =

220e j 30

=10e j120°

А.

− j XC

Z a

22e− j 90

Вычислим ток IB по первому закону Кирхгофа:

I A + IB − InN = 0 .

Отсюда

IB = InN − IА =10e− j120° −10e j120° = −5 − j8,66 + 5 − j8,66 = − j19,3 А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-177-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Следующие задачи решите самостоятельно.

Задача3

Найти

показание

амперметра в схеме рис.

3.76, если

Uфг =100

В,

X L = XС =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

X L

Рис. 3.76

Ответ:

I A =17,3 А.

Задача4

Определить ток I

в схеме рис. 3.77, если U

= 220 В, R

Ом,

Rа = 22 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

A	a		Ra
A
B	I B				n
B
С	с			Rc
С
N		RnN
N
	Рис. 3.77
Ответ: IB =19,3e-j135° A.
Задачи 5–7 решите для самоконтроля.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-178-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача5

Найти показание амперметра в схеме рис. 3.78, если

Uфг =100 В,

R = XС =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

Рис. 3.78

Ответ: I A =19,3 А.

Задача6

Вычислить ток Ic в схеме рис.

3.79, если U A =127

В, R = 22 Ом,

X L =

Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

I с

X L

Рис. 3.79

Ответ: Ic = j10 А.

Задача7

Найти показания ваттметров в схеме рис. 3.80, если Uф =100 В,

X L = R =10 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-179-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	*	a		R
A	* W	a
A	1
		*		X L
B		* W2
		*	*	R
С		*	W3	n

Рис. 3.80

Ответ: P1 = P2 = 0, P3 =1кВт.

Задача8

Определить показания амперметров в схеме рис. 3.81, если Uл = 60 В, Zb = Z c = (4 − j 3)Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

A	A1	a	Z a
A	A1
B	A2	b	Zb	n
		b		n

С	A3	с	Z c
С	A3	с
		Рис. 3.81
		Решение

Амперметры показывают действующие значения токов. Ток I A = 0. Токи IB и IC равны по величине. Их можно вычислить по закону Ома:

IB = IC = U BC ,

Zbc

где Zbc – полное сопротивление двух последовательно соединенных фаз b

и с. Оно является гипотенузой суммарного треугольника сопротивлений с катетами (Rb + Rc ) и (Xb + X c ), поэтому

(R + R )2

+(X

+ X

82 +62

=10 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-180-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Тогда IB = IC = 1060 = 6 А.

Векторно-топографическая диаграмма имеет такой же вид, что и на рис. 3.64.

		a	XC
A		a
A
B	I B	b	R	n
B
		с	X L
С	IC	с
С

Рис. 3.82

Задача9

Вычислить комплексные значения токов IB и IC в схеме рис. 3.82, если Uл = 200 В, X L = XC = R =20 Ом.

Решение

Будем считать напряжение фазы А генератора действительным числом.

Тогда

X L

Рис. 3.83

IB = −IC =

UBC

200e − j 90°

200e− j90°

= 7,14e− j135°А;

R + j X L

20 + j 20

28e j 45°

IC = 7,14e j45° А.

Задача10

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-181-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Построить топографическую диаграмму напряжений для схемы на рис. 3.83, если X L = 2XC .

Решение

На первом этапе строим топографическую диаграмму напряжений генератора (рис. 3.84).

U a

U c

U A

U AB

U CA

U BC

U B

Сc

Рис. 3.84

Ток IA

= −IС =

U AC

j(X L − Xc )

U A

действительным числом, то

Если

считать

напряжение

U AC =Uлe− j 30° . Тогда

IA = −IC =

Uл e− j 30°

Uл

− j120°

j (2XC − XC )

Напряжение на фазе приемника

Ua = − j XC

IA = − j XC

Uл e− j120° =Uл e− j 210° =Uл e j150° .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-182-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжение Uc = j X L IC = − j X L IA = − j2XC Uл e− j120° =

= 2Uл e− j210° = 2Uл e j150°.

Используя значения Ua и Uс, можно найти положение точки n на

комплексной плоскости (рис. 3.84). Точка b совпадает с точкой n. Точки а и с совпадают соответственно с точкамиА и С. Подробный анализ для определения смещения нейтрали проведен в [3].

Задача11

Найти показание вольтметра и построить топографическую диаграмму для схемы нарис. 3.85, если Uл =100 В, R = X L =10 Ом.

				V
		A	a	X L
A	I	A	a
A
B			b	R	n
			b

			с R
С	IC
С

Рис. 3.85

Решение

Подробный анализ решения подобной задачи проведен в [3].

Ток I A = −IC =

U AC

R + j X L

Если напряжение U A =U A , то U AC =100e− j 30° В.

Тогда

100e− j 30°

− j 75°

А;

j105°

А.

IA = −IC =

7,07e

IC = 7,07e

10 + j10

14,14e j 45°

Напряжения на фазах приемника найдем по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-183-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Ua = j X L IA =10e j 90° 7,07e− j 75° = 70,7e j15°В;

Uc = R IC =10 7,07e j105° = 70,7e j105° В.

Вольтметр показывает напряжение UV = 70,7 В.

Топографическая диаграмма приведена на рис. 3.86. В [3] установлено,

что в данном случае UnN =						Uфг	=			100	=	= 21,16	В. Это следует из
						2,732
									3	2,732
									3	2,732
равенства UnN =	U	л	−	Uф	.
равенства UnN =	2		−	2	.
	2			2
											Aa
									0	U A		U a
								O	0	U A
								O

U CA	N
	U nN

Сc	U	с
Сc

bn U B B

Рис. 3.86

Задача12

Найти показание вольтметра и построить топографическую диаграмму для схемы рис. 3.87, если Uл =100 В, R = X L = XC =10 Ом, RV → ∞.

A	I A	a		R
				XC
			b
B		V		n

С	IC	с		X L

Рис. 3.87

Решение

Подробный анализ приведен в [3]. Ток

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-184-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IA = −IC =	U AC	=		100e− j30°	=
	R + j X L		14,14e j 45°

= 7,07e− j 75° А.

Ток IC = 7,07e j105°А.

Напряжения на фазах приемника:

Ua = R IA = 70,7e− j 75° В,

Uc = j X L IC = 70,7e j195°В.

Топографическая диаграмма напряжений приведена на рис. 3.88.

				Aa
bn
	U a
		U CA			U A
					U A
		O
	U nN
U с					N
					N
		U	С			U	B
Сc							B

Рис. 3.88

Показание вольтметра UV =U Bb =U Bn =UnN +U B . В этом случае

UnN =	U	л +	Uф			=	Uф	≈ 79	В.
			2				0,732
Напряжение	2
				U
	U B =				л	= 57,8 В.


			3

Тогда UV = 79 + 57,8 =136,8 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-185-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача13

Вычислить токи в линейных проводах цепи, схема замещения которой

изображена на рис. 3.89, если		Uфг =127 В, Rb = 40 Ом, Xb = 20 Ом,
Rc = 70 Ом.
A	a
A			X B
	b	Rb	X B
B

				n

С с		Rc
С с

Рис. 3.89

Решение

Напряжения на фазах b и с приемника возросли и стали равны линейному напряжению генератора Uл = 3Uф = 220 В.

Комплексы фазных напряжений приемника можно записать, используя векторно-топографическую диаграмму рис. 3.90, следующим образом:

Ub = 220e− j150° В; Uc = 220e j150° В.

I A

25°

n		Aa
		ϕ	I B
IC		b
IC		U A
		U A
U c =U CA			U b = −U
U С	N		U b = −U	AB
U С	N
U		U B
U		BC
Сc			Bb

Рис. 3.90

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-186-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС


Вычислим токи IB			и IC по закону Ома:
IB = Ib =	Ub	=	220 e− j150°			=	220 e− j150°	= 4,9 e− j123,5° А;
			40 − j 20				44,7 e− j 26,5°
	Zb
IC = Ic =				Uс	= 220 e j150° =3,14 e j150° А.

				Z c		70

Ток I A вычислим, воспользовавшись первым законом Кирхгофа:

IA = −(IB + IC )= −(4,9 e− j123,5° +3,14 e j150°)=

= −(− 2,70 − j 4,09 − 2,72 + j 1,57)= 5,42 + j 2,52 = 5,98 e j 25°А.

Действующие значения линейных токов I A = 5,98 А; IB = 4,9 A;

IC = 3,14 А.

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.90. Топографическая диаграмма напряжений имеет тот же вид, что и на рис.

3.68.

Вектор тока IB опережает вектор напряжения Ub на угол ϕb = 26,5°. Вектор тока IC совпадает с вектором напряжения Uс по фазе. Строим

вектор, равный геометрической сумме векторов (IB + IC ). Равный и противоположно направленный ему вектор – вектор тока I A .

	Задача14
Вычислить значение тока IC		в схеме рис. 3.91, если Uл =100 В,
X L = XC =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.
A	I A	a	X L
	I A	a


	I B	b	XC
B				n


С IC		с

Рис. 3.91

Решение

Вычислим токи I A и IB по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-187-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС


IA = Ia =	Ua	=	−UCA	=	100 e− j 30°				= 10 e− j120° А;
						10 e j 90°

	j X L		j X L
IB = Ib =			Ub		=		U BC	=
IB = Ib =			− j XC		=			=
			− j XC				− j XC

=100 e−jj 90° =10 А. 10 e− 90°

Ток IC вычислим с помощью первого закона Кирхгофа:

IC = −IA − IB = −10 e− j120° −10 = 5 + j8,66 −10 = = −5 + j8,66 =10 e j120° А.

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.92.

U a = −U CA

U AB

I B

Сc			Bb
n	U b =U		Bb
n	U b =U	BC
I C
	I A

Рис. 3.92

Следующие задачи решите самостоятельно.

Задача15

Вычислить значения токов IB	и IC в схеме рис. 3.93, если Uл = 200 В,
XC = R = 20 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-188-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A		a	R
A
B		b	R
			R



		с	XC
С


	Рис. 3.93
	Рис. 3.93
Ответ: При U A =U A
IB = 7,14 e− j 45°А,
IС = 7,14 e+ j135° А.

Задача16

Вычислить показание вольтметра в схеме рис. 3.94, если Uл = 220 В. Построить топографическую диаграмму.

A		a	Z
		a

B		b	Z
	V			n




С		с	Z
		с

	Рис. 3.94
Ответ: UV =190,5 В.
	Задача17
Вычислить ток IB в схеме рис.		3.95,	если Uл =100 В, R =10 Ом.
Построить векторно-топографическую диаграмму.
A		a	R
A
B	I B	b		n
B				n
С		с	R
		с

Рис. 3.95

Ответ: IB =17,3 e− j120° А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-189-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задачи 18–22 решите для самоконтроля.

Задача18

Найти значения токов IB

и IC

в схеме на рис. 3.96, если U л = 200 В,

X L = = 50 Ом,

R = 20 Ом, XC = 30 Ом.

X L

Рис. 3.96

Ответ: IB = 7,14 e− j135° А,

IC = 7,14 e j 45°

А.

Задача19

Определить показание вольтметра в схеме рис. 3.97, если Uл = 380 В.

Ответ: UV =190 В.

Задача20

Определить показание вольтметра в схеме рис. 3.98, если известно Uл .

Uл

Ответ: UV

X L n X L

Рис. 3.97

Рис. 3.98

Задача 21

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-190-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Найти

показание

ваттметра

в схеме

на

рис. 3.99, если Uл =100 В,

R =10 Ом,

XC = 40 Ом,

X L = 30 Ом.

* W

X L

Рис. 3.99

Ответ: PW = 500 Вт.

Задача22

Вычислить значение тока IC

в схеме на рис. 3.100, если Uл = 100 В,

R = X L =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

X L

Рис. 3.100

Ответ: IC =5,18e j 75°А.

Задача23

Определить значение тока IB в схеме рис. 3.101, если U AB =100 В, X L = XC =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-191-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I B

С IC

X L

bI ab

XC I bc

Рис. 3.101

Решение

В схеме наблюдается режим холостого хода фазы са. Ток Ica = 0 . Как видно из схемы, ток


			I A = Iab =		U AB		=	100	= − j10 А;
					j X L			j10

ток	Ibc = −IC =	UBC	=	100e− j120°		=10e− j 30° А.

		− j XC
				10e− j 90°

Ток IB найдем по первому закону Кирхгофа:

IB = Ibc − Iab =10e− j 30° + j10 =8,66 − j5 + j10 =8,66 + j5 =10e j 30° А.

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.102.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-192-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	Ibc = −IC
	− I ab
	U CA
I B

U AB

U BC

I ab = I A

Рис. 3.102

Задача24

Вычислить значения токов I A и IC в схеме на рис. 3.103, если U AB = 100 В, R = X L =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

A	I A			a
A
			R	R
B		b		R
B		b
			I ab
			X L
	IC			I ca
С	IC		I bc	с
				с

Рис. 3.103

Решение

В схеме наблюдается режим холостого хода линейного провода В. Ток IB = 0 . Схема превращается в смешанное соединение, подключенное к

точкам а и с. Фазы приемника ab и bc соединены между собой последовательно, параллельно к ним подключена фаза са.

Напряжение UCA =100e j120°В. Напряжение U AC = −UCA =100e− j 60° В. Фазные токи находим по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-193-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС


	Ica =	UCA			=100e j120°			=10e j120° А;
	Ica =				=100e j120°			=10e j120° А;
			R	10
Iab = Ibc =	U AC		=	100e− j 60°		=		100e− j 60°	= 7,07e− j105° А.
Iab = Ibc =			=	10 + j10		=	14,14e j 45°		= 7,07e− j105° А.
	R + j X L			10 + j10			14,14e j 45°

Линейные токи найдем по первому закону Кирхгофа:

IA = Iab − Ica = 7,07e− j105° −10e j120° = −1,83 − j 6,83 +5 − j8,66 = = 3,17 − j15,49 =15,8e− j 78,5° А,

IC = Ica − Ibc =15,8e j101,5° A = −IA .

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.104. Напряжение

Uab = R Iab = 70,7e− j105°В,

напряжение

Ubc = j X L Ibc = 70,7e− j15°В. Uab +Ubc = Uac .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-194-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

b			+1
b			Aa
•	U ab		Aa
•
		I ca		I ab	15°
					15°
U bс
U bс			I A
	U CA		IC
	U CA
Сc
			U AB
	U BC
			B
		Рис. 3.104
		Задача25
Вычислить значение тока I A			в схеме рис. 3.105, если U AB =100 В,

R =10 Ом, R1 = 5 Ом.

A	I A		R		a
A
				R
B		R1	b		I ca
				I ab

R R I bc

С с

Рис. 3.105

Решение

В схеме наблюдается режим короткого замыкания фазы са.

Фазы ab и bc оказались соединенными параллельно. Их эквивалентное сопротивление Rэ = R2 = 5 Ом. Схему можно заменить эквивалентной, представленной на рис. 3.106.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-195-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	I A	R
	I A

		R1	R
B		R1	2
B			acn

Рис. 3.106

Фазы симметричного приемника соединены звездой трехпроводной. Напряжения на фазах приемника равны напряжениям на фазах генератора.

Ток I A найдем по закону Ома:

I A = URA .

A	I A	R	a
A

		X L	X L
B	I B	X L	b
	I B		b
			XC
			XC
С IC			R
С IC			с
			с
		Рис. 3.107
Напряжение U A = U AB e− j 30° =
3

=1003 e− j 30° =57,8e− j 30°В.

Тогда

IA = 57,8e− j 30° =5,78e− j 30° А.

Задача26

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-196-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вычислить ток IB в схеме рис. 3.107, если R = X L =10 Ом, XC = 5 Ом, U AB =100 В. Построить векторно-топографическую диаграмму.

Решение

Вычислим эквивалентное сопротивление параллельно соединенных фаз ab и bc:

Z э =	X L e j 90° XC e− j 90°	=10e−
	j(X L − XC )

Эквивалентное сопротивление

Zb = j X L + Z э = j10 − j10

j 90° Ом.

= 0.

Эквивалентная схема замещения представлена на рис. 3.108. Она представляет собой соединение звездой трехпроводной с режимом КЗ в фазе b.

A I A R

B	I B	acn

С IC R

Рис. 3.108

Векторно-топографическая диаграмма представлена на рис. 3.109.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-197-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

			+1
			A
	U CA
		U AB	U An
С	U BC
	U BC
U	Сn
			I A
		IC	B n
			I B

Рис. 3.109

Вычислим токи I A и I C по закону Ома:

I A = URAn = URAB = 10010 =10 А;

IC =	UCn	=	−UBC	=	100e j 60°	=10e j 60° А.
					10

	R		R

Найдем ток IB по первому закону Кирхгофа:

IB = −IA − IC = −10 −10e j 60° =

= −10 −5 − j8,66 = −15 − j8,66 =17,3e− j150° А.

Задача27

Вычислить все токи и показания ваттметров в схеме рис. 3.110 при Uл = 220 В и известных сопротивлениях.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-198-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

		*	3 Ом	j4 Ом		a
A	*	W			I A	a
A	*	W
		1				I ab
						I ab

		I B 3 Ом j4 Ом	20 Ом	-j20 Ом
B		I B 3 Ом j4 Ом	20 Ом	b
B				I bc
				I bc
				j20 Ом
		3 Ом j4 Ом
С		W2	IC
С	*	W2		с
	*	*		с
		*
		Рис. 3.110

Решение

Точки а и с соединены коротко между собой. Фазы ab и bc образуют параллельный идеальный контур из-за равенства сопротивлений X L и XC –

«пробку» для резонансной частоты. Поэтому ток в неразветвленной части цепи с этим контуром IB = 0. Схему можно рассматривать как соединение

звездой трехпроводной при режиме холостого хода фазы b. Фазы а и с соединены последовательно и подключены под линейное напряжение UCA .

Вычислим ток IC по закону Ома:

IC =	UCA	=	220e j120°	= 22e j 67° А.
	Z A + ZC		6 + j8

Ток IA = −IC = 22e− j113°А.

Ток Iab = −Ibc = Uab .

j X L

Напряжение

Uab =Ucb = −U BC −UCс = −U BC − Z C IC =

=−220e− j120° −5e j 53° 22e j 67° =110 + j190 −110e j120° =

=110 + j190 +55 − j95 =165 + j95 =190 j 30°В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-199-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	190e j 30°		− j 60°			j120°
Тогда Iab =		= 9,5e		А,	Ibc = −Iab = 9,5e		А.
Тогда Iab =	20e j 90°	= 9,5e		А,	Ibc = −Iab = 9,5e		А.
	20e j 90°

Ток Ica найдем по первому закону Кирхгофа:

Ica = Iab − IA =9,5e− j 60° − 22e− j113° =

= 4,75 − j8,23 +8,6 + j 20,25 =13,35 + j12 =17,95e j 42° А.

Вычислим показания ваттметров:

P		=			*		Re(220 22e j113° )= −1891	Вт,
P		=	Re U	AB	I A =		Re(220 22e j113° )= −1891	Вт,
W1				AB

	P					*		=
	P		= Re U		СB	I С = Re(220e j 60° 22e− j 67° )		=
		W2			СB

= Re(4840e− j 7° )= 4804 Вт.

Следующие задачи решите самостоятельно.

	Задача28
Вычислить ток IB	в схеме рис. 3.111, если U AB =100 В, X L = R =
=10 Ом.

A	a

B	I B	b
		R
		X L
С		с
		с

Рис. 3.111

Ответ: IB =19,3e j165° А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-200-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача29

Вычислить токи Ом, R =10 Ом.

I A и IB в схеме рис. 3.112, если U AB =100 В, X L = 20

A	I A		a
A
		X L
B	I B	b	R
B		R

			С					с
								с
					Рис. 3.112
Ответ:		− j 45°	А,		7,07e	j135°		А.
Ответ:	IA = 7,07e		А,	IB =	7,07e			А.
				Задача30
Найти	значения	тока		IB в	схеме		рис. 3.113, если U AB =100 В,

R = XC =10 Ом, X L = 5 Ом.

A	I A		R	a
A
		XC	XC
	I B	XC	b
B	I B		b
B				X L
				X L

Сс

Рис. 3.113

Ответ: IB =17,3e− j150° А.

Задачи 31–33 решите для самоконтроля.

Задача31
Вычислить линейные токи в схеме рис. 3.114,	если U AB = 220 В,
R = X L =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-201-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	I A	a
A

			X L	R
			X L		R
B	I B	b	R
B			R		X L
					X L
				X L
С	IC
С					с
					с
		Рис. 3.114
	− j105°			− j165°		j 45°	А.
Ответ: IA =15,6e		А, IB =15,6e			А, IC = 26,9e		А.

Задача32

Определить значения токов I A и IB в схеме рис. 3.115, если U AB =100 В, XC = 20 Ом, R =10 Ом. Построить векторно-топогра-фическую диаграмму.

A	I A	a
A		XC
		XC

I B

Рис. 3.115

Ответ:

45°

А,

7,07e

− j135°

А.

IA = 7,07e

IB =

Задача33

Вычислить ток IС

в схеме рис. 3.116,

если U BC =100 В, X L =10 Ом,

R = 20 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-202-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 179 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке прочее

#
03.01.2019198.16 Кб11seti.docx
#
03.01.2019262.77 Кб6TOE.docx
#
13.07.201920.13 Mб16Vvedenie_v_inzhenernuyu_deyatelnost.docx
#
13.07.201962.46 Кб13Задача . 4 варианта улучшения деятельностипредприятия.doc
#
13.07.201965.02 Кб9Задача. расчет себестоимости и прибыли.doc
#
13.07.20193.68 Mб90практикум ТОЭ.pdf
#
13.07.20193.83 Mб23РГЗ СФУ.pdf