Добавил:

Vik962 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

прочее / практикум ТОЭ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.07.2019

Размер:

3.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

Тема4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

Занятия1 и2

Цели занятий:

1.Ознакомиться с особенностями расчета цепей с взаимной индуктивностью.

2.Научиться выполнять развязку магнитных связей.

3.Научиться строить векторные диаграммы.

Электрические цепи могут содержать индуктивные катушки с магнитной связью: ЭДС в одной катушке возникает при изменении магнитного потока, созданного током другой катушки. Это явление характеризуют взаимной индуктивностью М.

Степень магнитной связи определяют коэффициентом связи K:

	K =	M		≤1,

		L L
		L L
		1	2
где L1 и L2 – индуктивности катушек с магнитной связью.
Два	зажима индуктивно		связанных		элементов	называют
одноименными, если при одинаковом направлении					токов относительно них
магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции складываются.
Одноименные зажимы обозначают точками. Направление магнитного
потока определяют по правилу буравчика или правой руки: если						охватить

рукой катушку (пальцы направлены по току), то большой палец покажет направление магнитного потока.

Если токи одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов, имеет место согласное включение индуктивно связанных катушек, если противоположно – встречное.

Условно положительное направление ЭДС самоиндукции любого индуктивного элемента совпадает с условно положительным направлением тока этого элемента. Условно положительное направление ЭДС взаимной индукции еM совпадает с направлением ЭДС самоиндукции eL при

согласном включении (e = eL +eM ) и противоположно направлено при

встречном включении (e = eL −eM ).

В общем случае направление напряжения U M , обусловленного взаимной индуктивностью, можно определить по правилу: ток IK и напряжение j M ωI K одинаково направлены относительно одноименных

зажимов индуктивных элементов. Это правило дает возможность составить уравнение по второму закону Кирхгофа в случае, когда нельзя определить характер включения индуктивных элементов (согласное или встречное).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-99-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

При наличии взаимной индуктивности токи в ветвях зависят от токов в других ветвях, поэтому для расчета можно использовать только методы непосредственного использования законов Кирхгофа и контурных токов, в которых эти зависимости учитываются.

Чтобы устранить ограничения, накладываемые на методы расчета, прибегают к развязке магнитных связей, т. е. к замене цепи с взаимной индуктивностью эквивалентной цепью, но без магнитных связей. Магнитная развязка применима для узлов, в которых сходятся не более трех ветвей.

Правило развязки: если в узле сходятся три ветви и две из них индуктивно связаны (рис. 2.53), то для развязки в первые две ветви добавляют индуктивный элемент с сопротивлением ХМ , а в третью ветвь –

элемент с сопротивлением ± X M (рис. 2.54). Верхние знаки относятся к

случаю, когда в узле соединены одноименные зажимы индуктивно связанных элементов.

1	2		1		2
I1		I	I
		2	1		I2
R1		R2	R		R
			1		2
	XM			X L1 XM
	X L	X L		X L1 XM	X L X	M
	X L	X L	2		2	M
	1		2
	I3			I3
	3			±XM
				±XM
				3
	Рис. 2.53			Рис. 2.54

При построении векторных диаграмм добавляются векторы напряжений, обусловленных взаимной индуктивностью. Они опережают на 90° векторы вызвавших их токов при согласном включении и отстают на 90° – при встречном.

Рассмотрим целевые задачи на конкретных примерах.

Задача1

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-100-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

Вычислить входное комплексное сопротивление схемы Z (рис. 2.55),

если R1 = 3 Ом, R2	=5 Ом, X L	= 4 Ом,		X L		=8 Ом, X M = 2 Ом.
	1		I	2
			I
		1	1
		1
					R1
					X L
					X L
						1
					I3
			2		I3
			2			3
		U			I2
					R2

X L2

′	2′	′
1	2′	3

Рис. 2.55

Решение

1. Выявим узлы (2 и 2′) , направим токи.

Обратите внимание! При отсутствии взаимной индуктивности входной ток замыкался бы по «закоротке» (2 −3 −3′− 2′) и ток I2 был бы равен

нулю. В схеме рис. 2.55 входной ток создает магнитный поток, который наводит во второй индуктивной катушке ЭДС, а она вызывает ток I2 .

2. Входное комплексное сопротивление Z является коэффициентом пропорциональности между комплексами входного напряжения U и входного тока I1 :

Z =U I1

3. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура

1−2 −3 −3 −2	′	−1	, связывающее величины	U	и I1. Напряжение на
′	′	′

индуктивном элементе образует напряжение, обусловленное собственной

индуктивностью	j X	L	I , и		напряжение,					обусловленное	взаимной
		L	1
		1					I2 :		j X M I2 . Катушки
индуктивностью	и созданное			током			I2 :		j X M I2 . Катушки		включены
согласно, поэтому напряжения				j X	L	I	и j X	M	I	записывают с одинаковыми
					L	1		M	2
					1

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-101-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

знаками, которые зависят от выбранного направления обхода контура. При обходе по часовой стрелке получим

R1 I1 + j X L1 I1 + j XM I2 =U .

4. Вычислить Z не позволяет наличие в уравнении тока I2 . Для исключения тока I2 составим еще одно уравнение по второму закону Кирхгофа. Для контура 2 −3 −3′−2′ получим

R2 I2 + j XL2 I2 + j XM I1 = 0 .

Отсюда ток I = −

j XM

R2 + j X L

5. Подставив полученное выражение в первое уравнение, получим

(R +

j X

XM2

=U .

R2 + j X L

Тогда

XM2

j48,5°

Z = I = R1

+ j X L1 +

=3 + j4 +

= 4,86e

Ом.

R + j X

5 + j8

Задача2

Вычислить емкость конденсатора С и ток

I в схеме рис. 2.56, если

R1 = R2 =10 Ом, L1 = L2 =15 мГн,

M = 5 мГн,

f = 500 Гц, U =120 В, ϕ = 0.

Построить векторную диаграмму.

Рис. 2.56

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-102-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

Решение

1. Цепь имеет чисто активный характер, так как угол ϕ = 0, поэтому

ток I = R1 U+ R2 = 12020 = 6 А.

2. Для вычисления емкости конденсатора воспользуемся условием резонанса напряжений: Х = 0 . Реактивное сопротивление Х является мнимой составляющей (без j ) комплексного сопротивления схемы Z .

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

U = R I + j X

I − j X

+ R I + j X

I − j X

− j X

I .

Комплексное сопротивление

Z = U = R + R + j (X

+ X

−2X

− X

Реактивное сопротивление

X = Im(Z )= X L

+ X L

− 2X M − XC = 0 .

Отсюда

XC = X L

+ X L

−

2X M = 2π f (L1 + L2 − 2M )=

Емкость

= 2π 500(15 +15 − 2 5) 10−3 = 62,8 Ом.

C =

=5 мкФ.

2π f XC

2π 500 62,8

3. Векторная диаграмма приведена нарис. 2.57.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-103-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

jX L I

− jX M I

R2 I

− jXC I

jX L1I

R1 I

Рис. 2.57

Следующую задачу решите самостоятельно.

Задача3

Вычислить напряжения Uаb и Ubс

в схеме рис. 2.58, если U =130 В,

R1 = 2

Ом, R2 =3

Ом, X L

= 3 Ом,

X L

= 7 Ом, X M =1 Ом. Построить

векторную диаграмму.

X L

X L2

Рис. 2.58

Ответ: Uаb = 44,7 В; Ubс = 85,5 В.

Задача4

Определить величину взаимной индуктивности М двух катушек, включенных последовательно под напряжение U = 50 В частотой f = 50 Гц,

если при согласном включении ток Iс =1 А, при встречном Iв = 2 А. Ваттметр при согласном включении показывает мощность Рс =15 Вт.

Решение

1. Вычислим полные сопротивления схемы при разных способах включения по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-104-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

Zс = U =	50 =50 Ом;	Zв = U =	50	= 25	Ом.
Iс	1	Iв	2
2. Вычислим активное сопротивление схемы, воспользовавшись
формулой активной мощности Р = R I 2 .
	с	с

Отсюда R = R1 + R2 = Pс2 = 15 =15 Ом.

Iс 1

3.Вычислим реактивные сопротивления Хс и Хв из треугольников сопротивлений:

Хс = Zc2 − R2 = 502 −152 = 47,7 Ом;

Хв = Zв2 − R2 = 252 −152 = 20 Ом.

4.Вычислим взаимную индуктивность М.

Так как Хс = ХL

+ X L

+ 2X M

, а Хв = ХL

+ X L

− 2X M , то Хс − Хв = 4ХМ .

Отсюда ХМ =

Хс − Хв

47,7 − 20 = 6,925

Ом.

Тогда M =

6,925

= 0,022 Гн.

2π f

314

Задача5

Вычислить показания вольтметра в схеме рис. 2.59, если Е =100 В, R = XC = X L1 = X L2 =10 Ом, X M =5 Ом, RV → ∞.

XC	X L
	2
I	UM	V UV
E	UM
E	X L
R	1
R

Рис. 2.59

Пояснение к решению

В месте подключения вольтметра цепь практически разорвана, поэтому тока во второй катушке нет. Ток источника ЭДС замыкается по контуру,

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-105-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

содержащему первую катушку, и наводит во второй катушке ЭДС взаимной индукции. Учитывающее эту ЭДС напряжение UM направлено одинаково с

током I в первой катушке относительно одноименных зажимов (от зажима с точкой). На первой идеальной катушке возникает только одно напряжение,

обусловленное	собственной индуктивностью	UL , на второй	–
обусловленное	взаимной индуктивностью UM .	1
обусловленное	взаимной индуктивностью UM .

Решение

1. Запишем выражение напряжения вольтметра как разность потенциалов на его зажимах:

UV =UL1 +UM = j X L1 I + j XM I .

Оба слагаемых записаны со знаком плюс, так как при проведении расчетов перемещение происходит навстречу току I и напряжению UM , т. е.

всторону увеличения потенциала.

2.Вычислим нужный для расчета напряжения ток I :

I =	E		=		100		=10	А.
I =	R + j X L	− j XC	=	10	+ j10	− j10	=10	А.
	1

Тогда UV = j10 10 + j 5 10 = j150 В.

Вольтметр показывает действующее значение напряжения UV =150 В. Следующую задачу решите самостоятельно.

Задача6

Вычислить

показания

вольтметра

схеме

рис. 2.60, если

е =100

sin103 t

В, X

= 20

Ом, X

= X

=10

Ом, R

→ ∞, K = 0,5.

X L

Ответ: UV =170 В.

Рис. 2.60



Теоретические основы электротехники. Практикум

-106-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

Задача7

Определить показания вольтметров в цепи (рис. 2.61), если R = 30 Ом,

L = 70 мГн, M =10 мГн, RV = ∞, i = 0,5sin 500 t А.

		i
L,R	L,R	L,R
1	2	3
	M	M
V2	M	V1
i	M
i
	Рис. 2.61
Пояснение к решению

Сложность решения задачи заключается в том, что у индуктивных катушек не размечены одноименные зажимы. Разметка зажимов зависит от направления навивки катушки на сердечник и тока в ней. У катушек 2 и 3 (см. рис. 2.61) они одинаковы, поэтому и одноименные зажимы у них должны быть размечены аналогично.

Решение

1.Составим схему замещения анализируемой цепи (рис. 2.62). Разметим одноименные зажимы.

2.Ток в схеме один, так как в местах подключения вольтметров цепь разорвана. Комплекс действующего значения тока

I = Im2 = Im2 e jψi = 0,25 e j0° = 0,35 А.

3. Ток во второй катушке создает напряжения взаимной индукции в первой и третьей катушках, направленные относительно одноименных зажимов одинаково с током (см. рис. 2.62).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-107-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

1	R	L	i	L	R	3
V2		uM	L	uM		V1
V2		2	L			V1
			R
			i
		Рис. 2.62

4. Вычислим показания вольтметров:

	UV = RI + j X LI − j XM I = RI + j LωI − j МωI	=
	1
= 30 0,35 + j 70 10−3 500 0,35 − j10 10−3 500 0,35 =
	=10,5 + j10,5 =14,8e j45° В.
UV2	= R I + j X L I + j XM I =30 0,35 + j80 10−3 500 0,35 =
	=10,5 + j14 =17,5e j 53°В.

Первый вольтметр показывает напряжение UV1 =14,8 В, второй –

UV2 =17,5 В.

Следующую задачу решите самостоятельно.

			Задача8
Вычислить	показания		вольтметров в схеме рис. 2.63, если
i =10sin 5000 t А, С = 2 мкФ,			M12 = M23 = 2 мГн, RV = ∞.
Ответ: UV	= 770 В; UV	2	= 630 В.
1		2

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-108-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

1	2	3
1	2	3

Рис. 2.63

Задача9

Вычислить

показания

ваттметров

в схеме

рис.

2.64, если

U = (150 + j150)

В,

R =5

Ом, R =10 Ом,

L ω=15 Ом,

L ω−

= 0

, М ω=

10 Ом.

Сω

* W

* I

1 *

X L2

X L1

Рис. 2.64

Решение

1. Сделаем магнитную развязку (рис. 2.65).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-109-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

	XM	I
I		2
	I1		X L2− XM
U	X L1− XM		R2
			R2
		R1	XC

Рис. 2.65

2. Найдём эквивалентное комплексное сопротивление схемы:

+ j(L

− M )ω] R + j(L − M )ω− j

Z = jMω+

Сω

+ j(L

− M )ω+ R + j(L − M )ω− j

Сω

= j10 +

+ j5)(10 − j10)

= j10 +

7,07e j45° 14,1e− j45°

15 − j5

15,8e−18,43°

= j10 +6,3e j18,43°

= j10 +5,98 + j1,99 ≈ 6 + j12 =13,4e j63,43° Ом.

3. Найдём ток в свёрнутой схеме по закону Ома:

= U

= 150 + j150 =

212,13e j45°

=15,8e− j18,43°

А.

13,4e j63,43°

4. Найдём токи в параллельных пассивных ветвях:

Z 2

10 − j10

− j18.43°

− j45°

I =

15,8e

=14,1e

А;

Z1 + Z 2

15,8e− j18,43°

I2 =

I =

5 + j5

15,8e− j18,43°

= 7,07e j45° А.

Z1 + Z 2

15,8e− j18,43°

5. Вычислим показания ваттметров, воспользовавшись

комплексной мощности:

= Re U

= Re(212,13e j45° 14,1e j45°)= 212,13 14,1 cos90° =

понятием

0 Вт;

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-110-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

P			2		Вт;
P	= Re U	I	2	= Re(212,12e j45° 7,07e− j45°)=1500	Вт;
2

P					Вт.
P	= Re U	I	= Re (212,12e j45° 15,8e j18,43°)=1500		Вт.
3

Следующую задачу решите самостоятельно.

Задача10

Определить показания вольтметра и ваттметра в схеме рис. 2.66 при

разомкнутом и замкнутом выключателе,	если R1 = R2 =10 Ом, X1 = X2 =10
Ом, К = 0,8, Е = 141 В.
R1
X1	X2 V
E	*
*	W
	R2

Рис. 2.66

Ответ: а) U = 80 B; Р = 0 Вт; б) U = 27 B; P = 130 Вт. Задачи 11–15 предлагаются для самоконтроля.

Задача11

Вычислить напряжения Uab и Ubc в схеме рис. 2.67, если U = 100 B,

R1 = 2 Ом, R2 =4 Ом,	X L	= 6 Ом,	X L	2	= 4	Ом, X M =1 Ом. Построить
векторную диаграмму.	1			2
векторную диаграмму.
a	R	X L1	b	R		X L2	c
	1				2

Рис. 2.67

Ответ: Uab =53,9В, Ubc = 50 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-111-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

Задача12

Определить показания вольтметра в схеме рис. 2.68, если Е = 100 В,

XС =130 Ом, R1 =30 Ом,

X L

80 Ом, R2

=10 Ом,

X L = 50 Ом, R3 =

= 10 Ом, X L =80 Ом, XM

= 60

Ом, XM

= 40 Ом, RV = ∞.

Ответ: UV = 79 В.

X L

L 3

X L

XM23

Рис. 2.68

Задача13

Две индуктивно связанные катушки соединены между собой параллельно и подключены к сети переменного тока напряжением 120 В. Активным сопротивлением катушек пренебрегаем. При согласном включении токи в катушках были равны: I1 = 0, I2 = 6 А. При встречном

включении ток во второй катушке в 2,5 раза больше тока в первой. Определить коэффициент связи между катушками и ток в

неразветвленной части схемы при встречном включении катушек. Ответ: К =0,5, I =14 А.

					Задача14
	Вычислить			показания ваттметра			в схеме рис. 2.69, если
R1	= R2 = X L	= XC	2	= X M	=10 Ом, X L	= XC	= 20 Ом, J =10 А.
	2		2		1	1
	Ответ:	Р = 2000 Вт.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-112-

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 4 Анализ цепей с взаимной индуктивностью

	R1			*
				* W
j	X L	X			XC
			L		2

	1			2	R2
	XC				R2

	1

Рис. 2.69

Задача15

Индуктивные катушки могут быть соединены в узле С (рис. 2.70) либо одноименными, либо разноименными зажимами. Определить, при каком

соединении напряжение U AB отстает по фазе от тока I .

Ответ: разноименными зажимами. j

X L	С	R
1		I
XM
X L
2
A		B

Рис. 2.70

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-113-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке прочее

#
03.01.2019198.16 Кб11seti.docx
#
03.01.2019262.77 Кб6TOE.docx
#
13.07.201920.13 Mб16Vvedenie_v_inzhenernuyu_deyatelnost.docx
#
13.07.201962.46 Кб13Задача . 4 варианта улучшения деятельностипредприятия.doc
#
13.07.201965.02 Кб9Задача. расчет себестоимости и прибыли.doc
#
13.07.20193.68 Mб90практикум ТОЭ.pdf
#
13.07.20193.83 Mб23РГЗ СФУ.pdf