ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 1 Метод эквивалентных преобразований
|
|
R |
I6 |
I2 |
I3 |
|
R |
I3 |
|
|
I1 |
|
E |
|
|
R |
R |
|
I4 |
I5 |
|
Рис. 1.32 |
|
Ответ: I1 = 4 А, I2 =I 3= I4 = I5 = = 2 А, I6 = 0 А.
Тема2 Метод напряжения между двумя узлами
Этот метод используют для расчета токов в электрических цепях с двумя узлами, которые часто встречаются на практике.
Занятие1
Цели занятия:
1. Научиться пользоваться формулой для определения напряжения
всхеме с двумя узлами.
2.Научиться применять закон Ома для расчета режима отдельной ветви схемы.
Рассмотрим первую целевую задачу занятия.
Формулу для определения напряжения между двумя узлами в общем виде можно записать следующим образом:
|
n |
|
m |
|
|
∑Gi Ei + ∑J j |
|||
Uab = |
i=1 |
|
j=1 |
, |
|
l |
|
||
|
|
∑Gi |
|
|
i=1
где Gi – проводимости ветвей; n – число ветвей, содержащих источники
ЭДС; m – число ветвей, содержащих источники тока; l – число ветвей с проводимостями, отличными от нуля.
Число слагаемых в числителе равно числу активных ветвей; с положительным знаком записывают Е и J, направленные к первому в индексе напряжения узлу.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-32- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
Сумма в знаменателе формулы – арифметическая.
Для решения второй целевой задачи нужно использовать материал, рассмотренный в первой целевой задаче практического занятия 2 темы 1.
|
|
|
|
Задача1 |
|||||
Вычислить все |
токи в |
|
схеме, |
представленной на рис. 1.33, если |
|||||
Е1 =100 В, J2 = 3 А, |
Е3 = 20 В, R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 50 Ом. |
||||||||
|
|
|
|
I1 a |
I3 |
||||
|
R1 |
|
|
R2 |
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
E3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
Рис. 1.33
Решение
1.Выявим узлы, ветви, направим токи.
2.Вычислим напряжение Uab по формуле
где G1 = 1
R1
|
|
|
Uab = |
G1E1 + J2 −G3E3 , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
G1 +G2 +G3 |
|
|
|
|
||
= |
1 |
См, G |
2 |
= |
1 |
= |
1 |
См, |
G = |
1 |
= |
1 |
См. |
20 |
|
|
R2 |
40 |
|
3 |
R3 |
50 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставив в формулу численные значения, получим Uab =80 В. 3. По закону Ома для ветвей
I1 = G1(E1 −Uab ) =1 А;
I2 = G2Uab = 2 А;
I3 = G3 (E3 +Uab ) = 2 А.
Пояснение к решению
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-33- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
Студентам, затрудняющимся в написании закона Ома для ветви, можно посоветовать сначала записать напряжение между двумя узлами как изменение потенциалов в ветви с искомым током.
Например, для первой ветви
Uab = E1 − R1I1 .
Отсюда |
I |
1 |
= |
E1 |
−Uab |
= G (E −U |
ab |
) . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
Проверим правильность решения по первому закону Кирхгофа:
I1 − I2 + J2 − I3 = 0;
1− 2 +3 − 2 = 0;
0 = 0.
Задача2
Вычислить все токи в схеме, изображенной на рис. 1.34, если Е1 =40 В,
J1 = 20 А, J3 =10 А, R1 = R2 = 5 Ом, R3 = 3 Ом.
I1 |
a |
E1 |
J3 |
|
|
|
J1 |
R |
R2 |
1 |
R3 |
|
|
|
I2 |
b
Рис. 1.34
Решение
1.Вычислим напряжение между двумя узлами Uab :
Uab = G1Е1 − J1 + J3 = −5 В.
G1 +G2
Проводимость ветви – величина, обратная сопротивлению всей ветви. Сопротивление ветви с источником тока J3 равно сумме R3 +∞ = ∞,
поэтому проводимость этой ветви равна 0.
2. Вычислим токи ветвей по закону Ома:
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-34- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
I1 = G1(E1 −Uab ) = 9 А;
I2 = G2 Uab = −1 А.
Проверим правильность решения по первому закону Кирхгофа:
I1 − J1 − I2 + J3 = 0 ;
9 – 20 + 1 + 10 = 0;
0 = 0.
Следующие задачи решите самостоятельно.
Задача3
Вычислить токи в схеме рис. 1.35, если J1 =1 А, R1 = 5 Ом, E2 =16 В, R2 = 8 Ом, E3 = 4 В, R3 = 2 Ом.
R1 |
|
R2 |
|
R3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
J1 |
E2 |
E3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Рис. 1.35 |
|
|
|
|
|||
Ответ: I2 = 2,2 А, I3 =1,2 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Задача4 |
|
|
|
|
|||
Определить, какие из трех источников ЭДС в схемерис. 1.36 генерируют |
|||||||||||
энергию, а какие потребляют, если E1 =10 В, |
E2 = 20 В, E3 = 20 В, R1 = 5 Ом, |
||||||||||
R2 =10 Ом, R3 =10 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R1 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
E3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.36
Ответ: Все три источника ЭДС энергию вырабатывают.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-35- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
Примечание. При затруднении с ответом следует обратиться ко второй целевой задаче практического занятия 2 темы 1.
Задачи 5–8 решите для самоконтроля.
Задача5
Определить показания вольтметра в схеме рис. 1.37, если Е1 =100 В,
Е2 = 20 В, Е3 =120 В, R1 = 20 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 40 Ом.
R1 |
R2 |
R3 |
E1 |
E2 |
V |
E3 |
Рис. 1.37
Ответ: UV =80 В.
Задача6
Вычислить значение ЭДС Е2 в схеме рис. 1.38, если R1 = R2 = = R3 =1 Ом, Е1 =1 В, I3 =1 А.
R |
E2 |
I3 |
1 |
|
|
E1 |
R2 |
R3 |
|
Рис. 1.38 |
|
Ответ: E2 = 4 В.
Задача7
Вычислить токи в схеме рис. 1.39 методом напряжения между двумя узлами, если E = 27 В, R1 =12 Ом, R2 =18 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 3 Ом.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-36- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
I1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R3 |
|
R2 |
|
E |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R |
4 |
|
I2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.39 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Пояснение к решению |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Предварительно нужно выявить узлы и ветви, направить токи. В ветви |
|||||||||||||||||||
с током I |
3 |
два резистора, поэтому проводимость этой ветви G |
= |
1 |
|
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
R3 + R4 |
|||
Ответ: I1 =1,5 А, I2 = 0,5 А, I3 =1 А. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Задача8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить все токи в схеме рис. 1.40, если E1 = E3 = 40 В, |
J2 =10 А, |
||||||||||||||||||
R1 = R2 = R3 = R4 = 2 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R1 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
R3 |
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.40
Ответ: I1 =10 А, I3 =10 А, I4 =10 А.
Метод напряжения между двумя узлами можно использовать для расчета токов в некоторых схемах с числом узлов больше двух. Рассмотрим конкретные примеры.
Задача9
Рассчитать все токи в схеме (рис. 1.41), если Е1 =100 В, Е2 = 40 В, R1 = R2 = R3 = R4 =10 Ом, R5 = R6 = 20 Ом. Составить баланс мощностей.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-37- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
|
I6 |
R6 |
|
|
|
B |
I4 |
C I5 |
R5 |
D |
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
R3 |
E2 |
|
||
|
E1 |
|
I2 |
||
I |
|
I |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
R2 |
|
|
R1 Рис. 1.41 |
|
|||
|
Решение |
|
|
||
1. Заменим треугольник сопротивлений R4 − R5 − R6 эквивалентным
соединением звездой. Получившаяся после преобразования схема представлена на рис. 1.42.
2. Вычислим сопротивления эквивалентной звезды:
|
|
R46 |
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
45 |
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|
D |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
R3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
I2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
R2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.42 |
|
|
|
|||
R = |
|
R4 R6 |
= |
|
10 20 |
= 4 Ом; |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
46 |
|
|
R4 |
+ R5 + R6 |
|
|
|
10 + 20 + 20 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R45 |
= |
|
|
R4 R5 |
|
= |
|
10 20 = 4 Ом; |
|
|
|
|||||||
|
R4 |
+ R5 + R6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R = |
R5 R6 |
|
|
= 20 20 = 8 Ом. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
56 |
|
|
R4 |
+ R5 + R6 |
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Вычислим токи методом напряжения между двумя узлами.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-38- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
Напряжение
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
− |
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
− |
40 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R46 + R1 |
|
|
R56 + R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
U FA = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
4 +10 |
|
8 +10 |
|
|
= |
24,79 В. |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
R |
46 |
+ R |
|
R |
45 |
+ R |
|
R |
|
+ R |
2 |
|
|
|
4 +10 |
4 +10 |
|
8 +10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Запишем |
напряжение |
|
U FA |
как |
|
разность |
|
потенциалов для |
каждой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ветви: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U FA = −R1 I1 + E1 − R46 I1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UFA = −R3 I3 − R45 I3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U FA = −R2 I2 − E2 − R56 I2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 −U FA |
= 100 − 24,79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = |
|
= 5,37 |
А; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R46 |
|
|
|
|
10 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
I2 = |
− E2 −U FA |
= |
− 40 − 24,79 = −3,6 А; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 + R56 |
|
|
|
|
|
|
10 +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
= − |
|
|
U FA |
|
|
= − |
24,79 |
= −1,77 А. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 + R45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Укажем на схеме пунктирными стрелками правильные направления токов.
4. Вернемся к исходной схеме с определением остальных токов. По закону Ома
I4 |
= |
U BC |
, |
I5 |
= |
UCD |
, |
I6 |
= |
U BD |
|
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
R4 |
|
|
R5 |
|
|
R6 |
||||
Нужные для вычисления токов напряжения найдем в схеме рис. 1.41, рассчитав изменение потенциала от второго индекса к первому:
U BC = −R3 I3 − R1 I1 + E1 = −10 1,77 −10 5,37 +100 = 28,6 В;
UCD = E2 − R2 I2 + R3 I3 = 40 −10 3,6 +10 1,77 = 21,7 В;
U BD = E2 − R2 I2 − R1 I1 + E1 = 40 −10 3,6 −10 5,37 +100 = 50,3 В.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-39- |
ГЛАВА 1 РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Тема 2 Метод напряжения между двумя узлами
Тогда I4 |
= |
28,6 |
= 2,86 |
А; |
I5 |
= |
21,7 |
=1,09 |
А; |
I6 |
= |
50,3 |
= 2,51 |
А. |
|
10 |
20 |
20 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Составим уравнение баланса мощностей с учетом правильных направлений токов:
E1I1 + E2 I2 = R1I12 + R2 I22 + R3I32 + R4 I42 + R5 I52 + R6 I62 .
После подстановки получим:
100 5,37 + 40 3,6 =10 5,372 +10 3,62 +10 1,772 +10 2,862 + 20 1,092 + 20 2,512 ;
681 Вт = 680,9 Вт.
Полученный результат подтверждает правильность решения.
Задача10
Вычислить токи в схеме (рис. 1.43), если Е1 =125 В, Е0 =120 В,
R1 = 40 Ом, R2 = 36 Ом, R3 =R4 = =60 Ом. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
R1 |
|
|
I |
1 |
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
||||
E1 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
I2 |
|
|
I4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
2 |
E0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.43 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пояснение к решению
Целесообразно все заземленные точки объединить в одну с нулевым потенциалом. Очевидно, что потенциал узла 2 равен ЭДС Е0 . Неизвестным
является только потенциал узла 1.
Решение
1. Составим уравнение для узла 1:
(G1 +G2 +G4 )V1 −G2 E0 = G1E1.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-40- |