ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

Задача10

Определить сопротивление R и активную мощность P индуктивной катушки, схема замещения которой показана на рис. 2.10, если X L = 30 Ом.

Амперметр показывает ток I = 4 А, вольтметр – напряжение U = 200 В. Ответ: R = 40 Ом, P = 640 Вт.

Тема2 Символический метод расчета

Символическим называют метод расчета, в котором синусоидальные функции изображают комплексными числами.

Занятие1

Цели занятия:

1. Научиться переходить от одной формы представления синусоидальных функций к другой.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

2. Научиться применять комплексную форму изображения синусоидальных функций для анализа простейших цепей синусоидального тока.

Рассмотрим первую целевую задачу занятия.

Гармонические величины представляют в виде тригонометрических функций и в виде комплексных чисел. Для их графической иллюстрации используют соответственно графики мгновенных значений и векторные диаграммы.

Значение переменной величины в данный момент называют мгновенным. Мгновенные значения являются синусоидальными функциями времени:

i = Im sin (ωt + ψi ); u =Um sin (ωt + ψu ); e = Em sin (ωt + ψe ),

где i, u, e – мгновенные значения; Im , Um , Em – максимальные (амплитудные) значения; (ωt + ψ) – фаза колебания, которая характеризует развитие процесса во времени; ωt – текущий угол; ω = 2π f – угловая (циклическая) частота, определяющая скорость изменения фазы; ψ –

начальная фаза, т. е. угол, определяющий значение функции в начальный момент времени t = 0 .

Положительную начальную фазу откладывают слева от начала координат, отрицательную – справа.

Непосредственные математические действия с синусоидальными величинами весьма трудоемки. Изображение их вращающимися векторами

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, называют векторными диаграммами.

Применение векторных диаграмм дает только графическое решение задачи.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

быть записано в показательной, тригонометрической или алгебраической форме:

Im = Im e jψ = Im cos ψ+ jIm sin ψ = Im′ + jIm′′ .

Складывать и вычитать комплексные числа можно в алгебраической форме записи, делить и умножать – рационально в показательной. Переход от одной формы записи к другой осуществляют по формулам, которые получают из свойств треугольника (рис. 2.19):

Перейдем к рассмотрению второй целевой задачи.

Основные свойства идеализированных приемников схем замещения цепей синусоидального тока сведены в табл. 2.1.

повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

В цепях переменного тока закон Ома выполняется для всех значений, законы Кирхгофа – только для мгновенных и комплексных, которые учитывают фазные соотношения.

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю:

n

∑ik = 0,

k =1

или так: алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю:

n

∑Ik = 0.

k =1

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме мгновенных значений ЭДС, действующих в этом же контуре:

или так: алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на приемниках в контуре равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС в этом же контуре:

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, называют уравнениями электрического состояния.

Уравнение электрического состояния в комплексной форме для схемы замещения цепи с последовательным соединением приемников (рис. 2.20)

U =U R +U L +UC .

Подставим в него значения напряжений, выраженные по закону Ома:

U = R I + j X L I − j X C I = [R + j (X L − X C )]I = Z I ,

где Z – комплексное сопротивление цепи. Очевидно, что

Z = R + j (X L − X C )= R + j X ,

где R – активное сопротивление; X – реактивное сопротивление.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Закон Ома в комплексной форме для цепи с последовательным соединением приемников

сопротивления Z , угол ϕ – аргументом комплексного сопротивления, поэтому можно записать

Z = R + j X = Z e jϕ = Z cos ϕ+ j Z sin ϕ.

Схема замещения цепи с параллельным соединением приемников изображена на рис. 2.21. Для анализа цепи воспользуемся уравнением по первому закону Кирхгофа для комплексных значений:

Рис. 2.21

Подставим в это уравнение значения токов, выраженные по закону

Ома:

где Y – комплексная проводимость. Очевидно, что

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Используя эти обозначения, записываем

Y = G − j (BL − BC )= G − j B ,

где B – реактивная проводимость.

Полная проводимость Y является модулем комплексной проводимости

Y :

Y = G − j B = Y e− jϕ.

Задача1

Записать Um , U , U для напряжения, мгновенное значение которого изменяется по закону u =169sin (ωt + 45°) В.

Решение

1.Максимальное значение напряжения Um =169 В.

2.Действующее значение напряжения U = Um2 = 0,707 Um =120 В.

3. Комплекс действующего значения напряжения U =U e jψ =

=120 e j45°В

4.На рис. 2.22, а и б напряжение изображено синусоидой и вектором на комплексной плоскости.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Задача2

Записать закон изменения мгновенного значения тока i , если комплекс действующего значения I =1,57e− j90° А.

Решение

1.Действующее значение тока является модулем соответствующего комплекса I =1,57 А.

2.Максимальное значение тока Im = 2 I = 2 1,57 = 2,22 А.

3.Мгновенное значение тока изменяется по закону

i= 2,22sin (ωt −90°) А.

На рис. 2.23, а и б ток изображен синусоидой и вектором на комплексной плоскости.

Воспользуемся законом Ома для максимальных значений в комплексной форме:

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Закон изменения тока

i =10sin (ωt −50°) А.

Следующие задачи решите самостоятельно.

Задача4

Записать комплекс действующего значения тока, мгновенное значение которого меняется по закону i = 6sin (ωt +30°) А. Построить синусоиду

и вектор на комплексной плоскости. Ответ: I = 4,24e j30° А.

Задача5

Определить напряжение на резисторе UR и потребляемую им мощность при R =10 Ом, если закон изменения тока i = 6sin (ωt +35°) А.

Ответ: U R = 42,42 В, P =179,9 Вт.

R XL

u

Рис. 2.24

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Решение

1. Чтобы записать закон изменения напряжения u =Um sin (ωt + ψu ), нужно вычислить максимальное значение напряжения Um и начальную фазу ψu . Воспользуемся законом Ома для максимальных значений в комплексной форме:

Um = Z Im . 2. Комплексное сопротивление

Задача 7

Определить R и X , если i =14,14sin (ωt +60°) А,

u =100sin (ωt +15°) В. Нарисовать простейшую схему замещения цепи.

Решение

1. По закону Ома комплексное сопротивление

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

2. Активное сопротивление R является действительной составляющей комплексного сопротивления:

R= Re(Z )= 5 Ом.

3.Реактивное сопротивление X является мнимой составляющей комплексного сопротивления

X= Im(Z )= −5 Ом.

4.Схема замещения имеет активно-емкостной характер (рис. 2.25), так как ток опережает по фазе напряжение и Х < 0 .

R XC

u

Рис. 2.25

Задача10

Записать закон изменения е, если E = (−30 − j 40) В.

Ответ: е = 70,7sin (ωt −127°) В.

Для самоконтроля решите задачи 11–12.

Задача11

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Записать закон изменения напряжения u , если комплекс действующего

значения U = 91e− j60° В. Построить соответствующие графики.

Ответ: u =127sin (ωt −60°) В.

соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов, если закон изменения входного напряжения u = 250sin 500t В, R = 30 Ом,

L = 0,18 Гн, C = 40 мкФ.

Ответ: i = 5sin (500t −53°) А.

Занятие2

Цели занятия:

1.Научиться рассчитывать токи в схемах с одним источником энергии методом эквивалентных преобразований.

2.Научиться строить векторные диаграммы.

3.Научиться определять показания ваттметра.

Рассмотрим первую целевую задачу занятия.

Алгоритм расчета цепей синусоидального тока методом эквивалентных преобразований такой же, каким пользуются для расчета цепей постоянного тока. Но следует помнить, что нужно оперировать комплексными значениями сопротивлений и электрических величин.

Построение векторной диаграммы (вторая целевая задача) для схемы с одним источником энергии выполняют в той же последовательности, в которой проводят постепенное преобразование схемы:

1.Строим вектор тока в ветви, наиболее удаленной от источника

энергии.

2.Строим вектор напряжения на зажимах этой ветви.

3.Строим вектор тока в пассивной ветви, присоединенной параллельно к ветви, с которой начато построение.

4.Строим вектор тока, являющегося геометрической суммой двух первых токов.

5.Дальнейшие построения повторяют предыдущие до тех пор, пока не будет построен вектор входного тока.

6.Строим вектор входного напряжения как сумму векторов напряжений на приемниках контура с источником энергии.

На практике особенно часто встречаются схемы с двумя узлами. Для построения векторной диаграммы в этом случае можно предложить более простой алгоритм:

1.Строим вектор напряжения между двумя узлами.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

2.Строим векторы токов в пассивных параллельных ветвях, направления которых зависят от параметров приемников.

3.Строим вектор тока в неразветвленной части схемы как геометрическую сумму токов в пассивных параллельных ветвях.

4.Строим вектор входного напряжения.

Перейдем к рассмотрению третьей целевой задачи.

Для определения показаний ваттметра удобно пользоваться понятием комплексной мощности

комплекс, сопряженный комплексу тока в ваттметре.

*

Подставив значения UW и IW в формулу комплексной мощности, получим

SW =UW e jψu IW e− jψi =UW IW e j(ψu −ψi ) =

=UW IW e jϕ =UW IW cosϕ+ j UW IW sin ϕ = PW + j QW .

Активная мощность, которую показывает ваттметр, является действительной составляющей комплексной мощности:

Активную мощность можно вычислить по формуле

PW =UW IW cos UW IW .

Два зажима ваттметра (один – обмотки напряжения и один – обмотки тока) обозначают одинаковыми знаками, обычно звездочками. Угол сдвига фаз между напряжением на ваттметре и током в нем соответствует

одинаковым положительным направлениям UW и IW относительно зажимов, отмеченных звездочками.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Для указанных на рис. 2.26, а направлений напряжения и тока

Для схемы, приведенной на рис. 2.26, б, активная мощность

Для схемы рис. 2.26, в

P = Re (−Uab )I =Uab I cos (−Uab ) I .

Рассмотрим разобранные алгоритмы на примере конкретных задач.

Задача1

Вычислить токи I, I1, I2 в цепи, схема замещения которой приведена на

R = 2 Ом, X L = 5 Ом. Построить векторную диаграмму.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

d c

Рис. 2.27

Решение

1. Комплексное сопротивление первой ветви

Z1 = R1 + j X L1 = 6 + j 4 = 7,2e j 33°40′ Ом.

2. Комплексное сопротивление второй ветви

Z 2 = R2 − j XC2 =3 − j5 =5,8e− j 59o Ом.

3. Эквивалентное комплексное сопротивление параллельного участка

=41,7e− jj25°20′′ = 4,6e− j19°12′ Ом.

9,08e− 6°08

4.Эквивалентное комплексное сопротивление всей схемы

Z = Z ab + R + j X L = 4,6e− j19°12′ + 2 + j5 = 4,34 − j1,51+ 2 + j5 =

=6,34 + j3,49 = 7,25e j 28°50′ Ом.

5.Комплекс тока в неразветвленной части схемы

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Векторную диаграмму (рис. 2.28) строим в соответствии со следующим алгоритмом:

1. Построим вектор напряжения между двумя узлами Uаb .

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Ubс . Между точками b и с в схеме находится резистор с сопротивлением R . Напряжение на нем совпадает по фазе с током I , поэтому вектор Ubс параллелен вектору тока I . Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90° , поэтому вектор Ucd перпендикулярен вектору тока I

.

Следующую задачу решите самостоятельно.

Решение

1.Выявим узлы, ветви, направим токи.

2.Вычислим ток в ваттметре IW = I2 по формуле для определения тока

впассивной параллельной ветви:

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Следующую задачу решите самостоятельно.

Задача4

Вычислить показания ваттметра в схеме рис. 2.31, если амперметр показывает ток 1 А, ХС = 5 Ом, R1 =5 Ом, X L =10 Ом,

R2 =10 Ом.

Ответ: PW = 2,5 Вт.

Для самоконтроля решите задачи 5–7.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Задача5

Вычислить все токи и потребляемую мощность в схеме рис. 2.32, если

U =127 В, R =10 Ом, R1 = 2 Ом,

R2 =1 Ом, X L1 = 6 Ом, XC2 = 9,95 Ом. Построить векторную диаграмму.

Рис. 2.32

Ответ: I = 5,93 А; I1 =11,98 А; I2 = 7,58 А; P = 693 Bт.

Задача6

Вычислить показания ваттметра в схеме рис. 2.33, если амперметр

Вычислить показания ваттметра в схеме рис. 2.34, если амперметр показывает ток 1 А, R = R1 = XC = = X L =10 Ом.