3. Интервальные числа и их арифметика

Пусть R – множество всех вещественных чисел. Интервал [a, b], a b - замкнутое ограниченное подмножество R вида [a, b] = {x|x R a x b}

Множество всех интервалов обозначим через I(R). Элементы I(R) будем записывать прописными буквами. Если А – элемент I(R), A I(R), то его левый и правый концы будем обозначать как a и ā, A=[a, ā]. Элементы I(R) называются интервальными числами.

Два интервала А и В равны тогда и только тогда, когда a = b, ā = .

Отношение порядка на множестве I(R) определяется следующим образом: А < В тогда и только тогда, когда ā b. Возможно так же упорядочение по включению: А не превосходит В, если A B.

Вырожденный интервал, то есть интервал с совпадающими концами a=ā, отождествим с вещественным числом а. Таким образом, R I(R). Ниже определены операции сложения, вычитания, умножения и деления для интервальных чисел.

Операция сложения: A+B = [a, ā]+[b, ]=[a+b, ā + ];

Операция вычитания: A B = [a, ā] [b, ]=[a , ā b];

Операция умножения:

	B 0	0 B	B 0
A 0	[a b, ā ]	[ā b, ā ]	[ā b, a ]
0 A	[a , ā ]	[min(a , ā b), max(a b, ā )]	[ā b, a b]
A 0	[a , ā b]	[a , a b]	[ā , a b]

Операция деления:

	B 0	0 B	B 0
A 0	[a , ā b]	[ ,]	[ā , a b]
0 A	[a b, ā b]	[ ,]	[ā , a ]
A 0	[a b, ā ]	[ ,]	[ā b, a ]

Интервальные числа являются частным случаем нечётких чисел. Их функция принадлежности

μ(x) = {1, при x [a, ā]; 0, при x[a, ā]

4. Исследование транспортной задачи с нечёткими условиями

Программы, выполняющие сложные вычисления

Компания	1	2	3	4
Цена за все комплекты	[260,300]	[270,310]	[330,370]	[390,430]

Антивирусные программы

Компания	1	2	3	4
Цена за все комплекты	[200,232]	[230,256]	[180,216]	[200,250]

Программы для проведения опытов по физике

Компания	1	2	3	4
Цена за все комплекты	[330,346]	[411,432]	[352,386]	[348,400]

Программы для проведения опытов по химии

Компания	1	2	3	4
Цена за все комплекты	[456,498]	[420,450]	[530,570]	[498,519]

Закупим вначале все виды оборудования из каждой страны, на что затратим:

[260,300]+ [270,310]+[330,370]+ [390,430]+[200,232]+[230,256]+ [180,216]+ [200,250]+ [330,346]+ [411,432]+ [352,386]+ [348,400]+ [456,498]+[420,450]+ [530,570]+ [498,519]=[5405, 5965].

Распределим оставшееся оборудование, воспользовавшись правилом северо-западного угла. Введем некоторые обозначения:

Ai* - излишек нераспределенного груза от поставщика Ai

Bj* - недостача в поставке груза потребителю Bj

Помещаем в клетку (1,1) меньшее из чисел A1*=36 и B1*=51

Так как запасы поставщика A1 исчерпаны, то строка 1 в дальнейшем в расчет не принимается

Помещаем в клетку (2,1) меньшее из чисел A2*=21 и B1*=15

Так как спрос потребителя B1 удовлетворен, то столбец 1 в дальнейшем в расчет не принимается

Помещаем в клетку (2,2) меньшее из чисел A2*=6 и B2*=61

Так как запасы поставщика A2 исчерпаны, то строка 2 в дальнейшем в расчет не принимается

Помещаем в клетку (3,2) меньшее из чисел A3*=46 и B2*=55

Так как запасы поставщика A3 исчерпаны, то строка 3 в дальнейшем в расчет не принимается

Помещаем в клетку (4,2) меньшее из чисел A4*=66 и B2*=9

Так как спрос потребителя B2 удовлетворен, то столбец 2 в дальнейшем в расчет не принимается

Помещаем в клетку (4,3) меньшее из чисел A4*=57 и B3*=36

Так как спрос потребителя B3 удовлетворен, то столбец 3 в дальнейшем в расчет не принимается

Помещаем в клетку (4,4) меньшее из чисел A4*=21 и B4*=21

Компания	Программное обеспечение					Остав. запасы
	Программы для сложных вычислений	Антивирусные программы	Программы для опытов по физике	Программы для опытов по химии
1	[260,300] 36	[200,232]	[330,346]	[456,498]	36
2	[270,310]  15	[230,256] 6	[411,432]	[420,450]	21
3	[330,370]	[180,216]  46	[352,386]	[530,570]	46
4	[390,430]	[200,250] 9	[348,400] 36	[498,519] 21	66
Потребность	51	61	36	21

Целевая функция F=36*[260,300]+15*[270,310]+6*[230,256]+46*[180,216]+9*[200,250]+

+36*[348,250]+21*[498,519]=[47856,54471]

Итого: [5405, 5965]+ [47856;54471]=[53261,60506]

Имеем опорный план, полученный методом северо-западного угла:

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	36				36
A2	15	6			21
A3		46			46
A4		9	36	21	66
Потребность	51	61	36	21

Целевая функция: F=[47856,54471].

Теперь решим задачу распределительным методом. Примем некоторые обозначения: i - индекс строки; j - индекс столбца; m - количество поставщиков; n - количество потребителей.

Этап 1. Определим значения оценок S_i,j для всех свободных клеток. Для этого строим цикл для каждой свободной клетки и, перемещаясь по клеткам цикла, складываем тарифы клеток. При этом тарифы в нечетных клетках берутся со знаком "плюс", в четных - со знаком "минус". S_1,2 = c_1,2-c_1,1+c_2,1-c_2,2 = [-86,52]. S_1,3 = c_1,3-c_1,1+c_2,1-c_2,2+c_4,2-c_4,3 = [-156,68]. S_1,4 = c_1,4-c_1,1+c_2,1-c_2,2+c_4,2-c_4,4 = [-149,70]. S_2,3 = c_2,3-c_2,2+c_4,2-c_4,3 = [-45,104]. S_2,4 = c_2,4-c_2,2+c_4,2-c_4,4 = [-155,-28]. S_3,1 = c_3,1-c_3,2+c_2,2-c_2,1 = [34;176]. S_3,3 = c_3,3-c_3,2+c_4,2-c_4,3 = [-64;108]. S_3,4 = c_3,4-c_3,2+c_4,2-c_4,4 = [-5,142]. S_4,1 = c_4,1-c_4,2+c_2,2-c_2,1 = [60,216].

Если имеется несколько клеток с одним и тем же наименьшим значением оценки, то из них выбирается клетка, имеющая наименьший тариф. Наиболее перспективной является клетка (2,4). Для нее оценка равна [-155,-28].

Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".

Компания	Программное обеспечение				Остав. запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	[260,300] 36	[200,232]	[330,346]	[456,498]		36
A2	[270,310]  15	[230,256] 6	[411,432]	+ [420,450]		21
A3	[330,370]	[180,216]  46	[352,386]	[530,570]		46
A4	[390,430]	+ [200,250] 9	[348,400] 36	[498,519] 21		66
Потребность	51	61	36	21

Перемещаем по циклу груз величиной в 6 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком "плюс" и отнимая ее от груза в клетках со знаком "минус". В результате перемещения по циклу получим новый план:

Компания	Программное обеспечение					Остав. запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	[260,300] 36	[200,232]	[330,346]	[456,498]	36
A2	[270,310]  15	[230,256]	[411,432]	[420,450] 6	21
A3	[330,370]	[180,216]  46	[352,386]	[530,570]	46
A4	[390,430]	[200,250] 15	[348,400] 36	[498,519] 15	66
Потребность	51	61	36	21

Целевая функция: F=[47208,54021] .

Значение целевой функции изменилось на [-6165,7263] единиц по сравнению с предыдущим этапом.

Этап 2. Определим значения оценок S_i,j для всех свободных клеток. Для этого строим цикл для каждой свободной клетки и, перемещаясь по клеткам цикла, складываем тарифы клеток. При этом тарифы в нечетных клетках берутся со знаком "плюс", в четных - со знаком "минус". S_1,2 = c_1,2-c_1,1+c_2,1-c_2,4+c_4,4-c_4,2 = [-32,181]. S_1,3 = c_1,3-c_1,1+c_2,1-c_2,4+c_4,4-c_4,3 = [-52,147]. S_1,4 = c_1,4-c_1,1+c_2,1-c_2,4 = [-24,128]. S_2,2 = c_2,2-c_2,4+c_4,4-c_4,2 = [28,155]. S_2,3 = c_2,3-c_2,4+c_4,4-c_4,3 = [59,183]. S_3,1 = c_3,1-c_3,2+c_4,2-c_4,4+c_2,4-c_2,1 = [-95,122]. S_3,3 = c_3,3-c_3,2+c_4,2-c_4,3 = [-64,108]. S_3,4 = c_3,4-c_3,2+c_4,2-c_4,4 = [-5,142]. S_4,1 = c_4,1-c_4,4+c_2,4-c_2,1 = [-19,112]. Так как все оценки S_i,j>=0, то полученный план является оптимальным. Транспортная задача решена.

Компания	Программное обеспечение					Остав. запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	[260,300] 36	[200,232]	[330,346]	[456,498]	36
A2	[270,310]  15	[230,256]	[411,432]	[420,450] 6	21
A3	[330,370]	[180,216]  46	[352,386]	[530,570]	46
A4	[390,430]	[200,250] 15	[348,400] 36	[498,519] 15	66
Потребность	51	61	36	21

Целевая функция: F=[47208,54021].