2. Решение транспортной задачи методом потенциалов в классическом случае

Пусть имеется транспортная задача с балансовыми условиями: стоимость перевозки единицы груза из A_i в B_j равна C_ij, таблица стоимостей задана. Требуется найти план перевозок x_ij, который удовлетворял бы балансовым условиям и стоимость перевозок которого была бы минимальна.

Пусть каждый из пунктов отправления A_i вносит за перевозку единицы груза какую-то сумму a_i, а каждый из пунктов назначения B_j вносит за перевозку груза сумму b_j . Обозначим a_i+b_j= č_ij ( i=1..m, j=1..n) и будем называть величину č_ij “псевдостоимостью” перевозки единицы груза из A_i в B_j. Суммарная псевдостоимость любого допустимого плана перевозок при заданных платежах (a_i и b_j) постоянна.

Предположим, что план x_ij невырожденный (число базисных клеток в таблице перевозок ровно (m+n-1)). Для всех этих клеток x_ij >0. Определим платежи (a_i и b_j) так, чтобы во всех базисных клетках псевдостоимости были ровны стоимостям: č_ij = a_i + b_j = с_ij , при x_ij >0.

В свободных клетках (где x_ij=0) соотношение между псевдостоимостями и стоимостями может быть любым и показывает, является ли план оптимальным или же он может быть улучшен. Существует теорема:

Если для всех базисных клеток плана x_ij>0, a_i + b_j = č_ij= с_ij , а для всех свободных клеток x_ij =0, a_i+b_j =č_ij≤ с_ij , то план является оптимальным и никакими способами улучшен быть не может.

Нетрудно показать, что это теорема справедлива также для вырожденного плана, и некоторые из базисных переменных равны нулю. План, обладающий свойством:

č_ij=с_ij (для всех базисных клеток) (1)

č_ij≤ с_ij (для всех свободных клеток) (2)

называется потенциальным планом, а соответствующие ему платежи (a_i и b_j ) — потенциалами пунктов A_i и B_j ( i=1,...,m ; j=1,...,n ).

Пользуясь этой терминологией, вышеупомянутую теорему можно сформулировать так: Всякий потенциальный план является оптимальным.

Для решения транспортной задачи нам нужно построить потенциальный план, задаваясь сначала какой-то произвольной системой платежей, удовлетворяющей условию (1). При этом в каждой базисной клетке получится сумма платежей, равная стоимости перевозок в данной клетке. Улучшение плана возможно благодаря следующему свойству платежей и псевдостоимостей: какова бы ни была система платежей (a_i и b_j), удовлетворяющая условию (1), для каждой свободной клетки цена цикла пересчёта равна разности между стоимостью и псевдостоимостью в данной клетке : g_i,j= с_i,j - č_i,j.

Таким образом, при решении задачи методом потенциалов становится ненужным наиболее трудоёмкий элемент распределительного метода: поиски циклов с отрицательной ценой.

В качестве первого приближения к оптимальному плану берётся любой допустимый план. В нашем случае это план, построенный способом северо-западного угла. В этом плане (m + n –1) базисных клеток, где m - число строк, n - число столбцов транспортной таблицы. Для этого плана можно определить платежи (a_i и b_j), так, чтобы в каждой базисной клетке выполнялось условие: a_i + b_j = с_ij (3)

Уравнений (3) всего m + n - 1, а число неизвестных равно m+n. Следовательно, одну из этих неизвестных можно задать произвольно (например, равной нулю). После этого из m + n - 1 уравнений (3) можно найти остальные платежи a_i, b_j, а по ним вычислить псевдостоимости, č_i,j= a_i + b_j для каждой свободной клетки.

Имеем опорный план, полученный методов северо-западного угла:

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	280 36	216	342	486	36
A2	290 15	243 6	421	430	21
A3	350	198 46	372	560	46
A4	410	225 9	398 36	499 21	66
Потребность	51	61	36	21

Целевая функция: F=51828. Теперь решим задачу распределительным методом. Примем некоторые обозначения: i - индекс строки; j - индекс столбца; m - количество поставщиков; n - количество потребителей.

Этап 1. Определим значения оценок S_i,j для всех свободных клеток. Для этого строим цикл для каждой свободной клетки и, перемещаясь по клеткам цикла, складываем тарифы клеток. При этом тарифы в нечетных клетках берутся со знаком "плюс", в четных - со знаком "минус". S_1,2 = c_1,2-c_1,1+c_2,1-c_2,2 = -17. S_1,3 = c_1,3-c_1,1+c_2,1-c_2,2+c_4,2-c_4,3 = -64. S_1,4 = c_1,4-c_1,1+c_2,1-c_2,2+c_4,2-c_4,4 = -21. S_2,3 = c_2,3-c_2,2+c_4,2-c_4,3 = 5. S_2,4 = c_2,4-c_2,2+c_4,2-c_4,4 = -87. S_3,1 = c_3,1-c_3,2+c_2,2-c_2,1 = 105. S_3,3 = c_3,3-c_3,2+c_4,2-c_4,3 = 1. S_3,4 = c_3,4-c_3,2+c_4,2-c_4,4 = 88. S_4,1 = c_4,1-c_4,2+c_2,2-c_2,1 = 138. Если имеется несколько клеток с одним и тем же наименьшим значением оценки, то из них выбирается клетка, имеющая наименьший тариф. Наиболее перспективной является клетка (2,4). Для нее оценка равна -87. Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	280 36	216	342	486	36
A2	290 15	-  243 6	421	+  430	21
A3	350	198 46	372	560	46
A4	410	+  225 9	398 36	-  499 21	66
Потребность	51	61	36	21

Перемещаем по циклу груз величиной в 6 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком "плюс" и отнимая ее от груза в клетках со знаком "минус". В результате перемещения по циклу получим новый план:

Поставщик	Потребитель					Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	280 36	216	342	486	36
A2	290 15	243	421	430 6	21
A3	350	198 46	372	560	46
A4	410	225 15	398 36	499 15	66
Потребность	51	61	36	21

Целевая функция: F= 51306.

Значение целевой функции изменилось на 522 единиц по сравнению с предыдущим этапом.

Этап 2. Определим значения оценок S_i,j для всех свободных клеток. Для этого строим цикл для каждой свободной клетки и, перемещаясь по клеткам цикла, складываем тарифы клеток. При этом тарифы в нечетных клетках берутся со знаком "плюс", в четных - со знаком "минус". S_1,2 = c_1,2-c_1,1+c_2,1-c_2,4+c_4,4-c_4,2 = 70. S_1,3 = c_1,3-c_1,1+c_2,1-c_2,4+c_4,4-c_4,3 = 23. S_1,4 = c_1,4-c_1,1+c_2,1-c_2,4 = 66. S_2,2 = c_2,2-c_2,4+c_4,4-c_4,2 = 87. S_2,3 = c_2,3-c_2,4+c_4,4-c_4,3 = 92. S_3,1 = c_3,1-c_3,2+c_4,2-c_4,4+c_2,4-c_2,1 = 18. S_3,3 = c_3,3-c_3,2+c_4,2-c_4,3 = 1. S_3,4 = c_3,4-c_3,2+c_4,2-c_4,4 = 88. S_4,1 = c_4,1-c_4,4+c_2,4-c_2,1 = 51. Так как все оценки S_i,j>=0, то полученный план является оптимальным. Транспортная задача решена.

Поставщик	Потребитель				Запасы груза
	B1	B2	B3	B4
A1	280 36	216	342	486		36
A2	290 15	243	421	430 6		21
A3	350	198 46	372	560		46
A4	410	225 15	398 36	499 15		66
Потребность	51	61	36	21

Целевая функция: F= 51306.