3. Коммутативность и ассоциативность

Законы коммутативности и ассоциативности – это еще два общих правила преобразования. Говорят, что бинарная операция О является коммутативной, если для всех А и В истинно равенство

А О В º В О А

Например, в обычной арифметике операции умножения и сложения являются коммутативными, а операции деления и вычитания – нет. В реляционной алгебре коммутативными являются операции объединения, пересечения и соединения, а операции вычитания и деления таковыми не являются.

Перейдем к ассоциативности. Принято считать, что бинарная операция О является ассоциативной, если для всех А, В и С истинно равенство

А О (В О С) º (А О В) О С.

Например, в обычной арифметике произведение и сложение – ассоциативные операции, деление и вычитание – нет. В реляционной алгебре ассоциативными являются операции объединения, пересечения и соединения, а операции вычитания и деления таковыми не являются. Так, например, если в запросе используется соединение трех отношений, А, В и С, то из законов коммутативности и ассоциативности

4. Идемпотентность

Еще одним важным правилом является закон идемпотентности. Идемпотентной называют такую бинарную операцию О, для которой для всех А выполняется равенство

A О А = А.

Можно ожидать, что свойство идемпотентности также может быть полезным в процессе трансформации выражений. В реляционной алгебре операции объединения, пересечения и соединения являются идемпотентными, а операции деления и вычитания – нет.

5. Вычисляемые скалярные выражения

Предметом применения законов трансформации являются не только реляционные выражения. Например, уже было показано, что некоторые законы трансформации применимы и к арифметическим выражениям. Ниже приведен пример. Выражение

А * В + А * С

можно трансформировать в выражение

А * (В + С)

вследствие того, что операция умножения "*" распределяется по операции сложения "+". Оптимизатор реляционных выражений должен обладать информацией о подобных преобразованиях, так как он учитывает вычисляемые скалярные выражения в контексте операций EXTEND и SUMMARIZE.

Говорят, что бинарная операция О распределяется по бинарной операции О, если для всех А, В и С истинно равенство

A Ú (B О C) = (A Ú B) O ( A Ú C )

(для приведенного выше арифметического примера замените Ú на "*", а О на "+").

6. Условия

Перейдем к обсуждению условий или выражений, результатами которых могут быть истина или ложь. Предположим, что А и В – атрибуты двух различных отношений, тогда условие

А>В AND В>3

(которое может быть частью запроса) абсолютно эквивалентно выражению

А > В AND В > 3 AND A > 3

и потому может быть преобразовано в это выражение.

Данная эквивалентность базируется на том, что операция ">" является транзитивной. Заметьте, что выполнение подобного преобразования весьма полезно, так как позволяет системе создать дополнительную выборку (с помощью условия "А > З") перед выполнением соединения "больше чем", требуемого условием "А > В".

Замечание. Этот прием реализован в различных коммерческих продуктах, включая систему DB2, в которой его называют транзитивным замыканием предикатов. А вот другой пример. Условие

А > В OR (С = D AND Е < F)

можно преобразовать в условие

(A > B OR С = D) AND (А > В OR Е < F)

вследствие того, что операция OR распределяется по операции AND. Этот пример демонстрирует другой общий закон: "Любое условие может быть преобразовано в эквивалентное условие, называемое конъюнктивной нормальной формой (КНФ)". КНФ-выражение имеет вид:

C1 AND C2 AND … AND Cn,

где С1, C2, ..., Cn – условия (называемые частичная конъюнкция), в которых не используется операция AND. Преимущество КНФ состоит в том, что КНФ-выражение истинно, только если истинны все его частичные конъюнкции. Аналогично, КНФ‑выражение ложно, если ложь является результатом хотя бы одной частичной конъюнкции. Так как операция AND коммутативна (A AND В равно В AND А), то оптимизатор может вычислять отдельные частичные конъюнкции в любом порядке, в частности по возрастанию сложности (сначала простые). И как только найдена частичная конъюнкция, результатом которой является ложь, весь процесс вычисления КНФ-выражения можно останавливать.

Более того, в среде параллельных вычислений возможно параллельное вычисление всех частичных конъюнкций. Опять же, как только найдена первая частичная конъюнкция, результатом которой является ложь, весь процесс вычисления КНФ-выражения можно останавливать.