36. Многозначные зависимости

Пусть дано ненормализованное отношение UCTX (т.е. отношение, которое не находится в 1НФ), содержащее информацию о курсах обучения, преподавателях и учебниках. Каждый кортеж такого отношения состоит из названия курса (Course), a также групп имен преподавателей (Teachers) и названий учебников (Texts) – на Error: Reference source not found показаны два таких кортежа. Под этим подразумевается, что каждый курс может преподаваться любым преподавателем соответствующей группы с использованием всех указанных учебников. Предположим, что для заданного курса может существовать любое количество соответствующих преподавателей и соответствующих учебников. Более того, допустим, хотя это и не совсем реалистичное допущение, что преподаватели и рекомендуемые учебники совершенно независимы друг от друга. Это значит, что независимо от того, кто преподает данный курс, всегда используется один и тот же набор учебников. Наконец, допустим, что определенный преподаватель или определенный учебник могут быть связан с любым количеством курсов.

UCTX
COURSE	TEACHERS	TEXTS
Физика	проф. Иванов проф. Петров	основы механики оптика
Математика	проф. Иванов	основы механики дискретная математика тригонометрия

рис. 7.30 Ненормализованное отношения UCTX

Преобразуем это отношение в эквивалентное нормализованное отношение. Следует заметить, что для рассматриваемых данных функциональные зависимости не заданы (за исключением тривиальных зависимостей типа Course ® Course). Поэтому высказанные в предыдущей главе идеи не позволяют создать никакой формальной основы для выполнения декомпозиции данного отношения на проекции.

CTX
COURSE	TEACHER	TEXT
Физика	проф. Иванов	основы механики
Физика	проф. Иванов	оптика
Физика	проф. Петров	основы механики
Физика	проф. Петров	оптика
Математика	проф. Иванов	основы механики
Математика	проф. Иванов	дискретная математика
Математика	проф. Иванов	тригонометрия

рис. 7.31 Таблица нормализованного отношения CTX.

В простейшей формулировке нормализованное отношение CTX означает, что кортеж {Course:c, Teacher:t, Техт:x} появляется в данном отношении тогда и только тогда, когда курс c читается преподавателем t с использованием учебника x. Тогда, принимая во внимание допустимость существования для данного отношения всех возможных комбинаций преподавателей вместе с учебниками, можно утверждать, что для отношения CTX верно следующее ограничение: если присутствуют оба кортежа (c,tl,xl) и (c,t2,x2), тогда присутствуют также оба кортежа (c,tl,x2) и (c,t2,xl)

Очевидно, что отношение CTX характеризуется значительной избыточностью и приводит к возникновению аномалий обновления. Например, для добавления информации о том, что курс физики может читаться новым преподавателем, необходимо создать два новых кортежа, по одному для каждого учебника. Тем не менее, отношение CTX находится в НФБК, поскольку является "полностью ключевым".

Можно заметить, что ситуация может быть исправлена к лучшему, если заменить отношение СТХ его проекциями {Course, Teacher} и {Course, Text}, показанными на Error: Reference source not found. Обе проекции являются "полностью ключевыми" и находятся в НФБК; более того, отношение СТХ может быть восстановлено с помощью обратного соединения проекций СТ и СХ и потому данная композиция выполняется без потерь. Однако только в 1971 году эти интуитивные идеи были сформулированы Фейгином (Fagin) в строгом теоретическом виде с помощью понятия многозначных зависимостей.

CT			СХ
COURSE	TEACHER		COURSE	TEXT
физика	проф. Иванов		физика	основы механики
физика	проф. Петров		физика	оптика
математика	проф. Иванов		математика	основы механики
			математика	дискретная математика
			математика	тригонометрия

рис. 7.32 Таблицы проекций СТ и СХ

Возвращаясь к рассматриваемому примеру с действительно корректной и желательной декомпозицией, показанной на Error: Reference source not found, следует, однако, отметить, что такая декомпозиция не может быть выполнена на основе функциональных зависимостей, поскольку они не существуют в данном отношении (кроме тривиальных зависимостей). Однако ее можно осуществить на основе нового типа зависимости, а именно упомянутой выше многозначной зависимости. Многозначные зависимости можно считать обобщением функциональных зависимостей в том смысле, что каждая функциональная зависимость является многозначной (однако обратное утверждение не верно, поскольку существуют многозначные зависимости, которые не являются функциональными). В отношении СТХ есть две многозначные зависимости:

Course—>>Teacher

Course—>>Text

Обратите внимание на двойную стрелку, которая в многозначной зависимости A—>>B означает, что "B многозначно зависит от A" или "A многозначно определяет B".

Пусть A, B и C являются произвольными подмножествами множества атрибутов отношения R. Тогда B многозначно зависит от A, что символически выражается записью

А—>>В

тогда и только тогда, когда множество значений B, соответствующее заданной паре (значение A, значение C) отношения R, зависит только от A, но не зависит от C.

Для данного отношения R{A, B, C} многозначная зависимость A—>>B выполняется тогда и только тогда, когда также выполняется многозначная зависимость A —>> C. Таким образом, многозначные зависимости всегда образуют связанные пары и потому их обычно представляют вместе в символическом виде:

А—>>В|С.

Для рассматриваемого примера такая запись будет иметь следующий вид:

Course—>>Teacher|Text

Возвращаясь к исходной задаче с отношением СТХ, теперь можно отметить, что описанная ранее проблема с отношением типа СТХ возникает из-за того, что оно содержит многозначные зависимости, которые не являются функциональными. (Следует отметить совсем неочевидный факт, что именно наличие таких МЗ требует вставлять два кортежа, когда необходимо добавить данные еще об одном преподавателе физики.) Проекции СТ и СХ не содержат многозначных зависимостей, а потому они действительно представляют собой некоторое усовершенствование исходной структуры. Поэтому было бы желательно заменить отношение СТХ двумя этими проекциями. Это можно сделать, исходя из теоремы Фейгина, которая приведена ниже.

Теорема Фейгина (эта теорема является более строгой версией теоремы Хеза). Пусть А, В и С являются множествами атрибутов отношения R{A, В, С}. Отношение R будет равно соединению его проекций {А, В} и {А, С} тогда и только тогда, когда для отношения R выполняется многозначная зависимость А—>>В|С.