Доказательство.

Предположим, что система

(13)

совместна и ее решение. Следовательно, справедливы равенства:

Пусть j будет любым из чисел 1,2, …,n. Умножим обе части первого из равенств на , т.е. на алгебраическое дополнение элемента в определителе системы d, обе части второго равенства умножим на и т.д., наконец, обе части последнего – на . Складывая затем отдельно левые и правые части всех равенств, мы придем к следующему равенству:

Коэффициентом при в этом равенстве служит d. Коэффициенты при всех остальных будут равны нулю, так как представляют собой разложение по столбцу определителя, у которого i-ый и j-ый столбцы одинаковы. Свободный член будет определителем, получающимся из определителя d после замены в нем j-го столбца столбцом из свободных членов системы. Обозначим этот определитель через , то наше равенство примет вид , отсюда, т.к. Таким образом, мы доказали, что если система совместна и , то она обладает единственным решением:

(14)

Покажем теперь, что система чисел (14) на самом деле удовлетворяет системе уравнений, т.е. что система (13) совместна. Левую часть i-го уравнения можно записать как и так как , то подставляя вместо неизвестных их выражение по формулам Крамера, мы получим:

Относительно этих преобразований заметим, что число оказалось общим множителем во всех слагаемых и поэтому мы его вынесли за знак суммы; кроме того, после перемены порядка суммирований множитель вынесен за знак внутренней суммы, так как от индекса внутреннего суммирования j он не зависит. Выражение и равно 0 при всех других k. Таким образом, в нашей внешней сумме по k останется лишь одно слагаемое, а именно , т.е. . Этим доказано, что система чисел (14) действительно служит решением для системы уравнений (13).

Сформулируем условия совместности системы линейных уравнений с использованием правила Крамера.

Значение правила Крамера заключается главным образом в том, что в тех случаях, когда это правило применимо, оно дает явное выражение для решения системы через коэффициенты этой системы. Т.е. система совместна.

В тех случаях, когда правило Крамера непосредственно неприменимо, тем не менее мы можем сделать некоторые выводы о существовании решения системы линейных уравнений. Когда главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один из определителей не равен нулю, то система не имеет решений. Если же не только главный определитель системы равен нулю, а и все остальные определители системы равны нулю, то система также может не иметь решений, Если же при этих условиях она имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Применим эти выводы к однородной системе уравнений. Поскольку такая система всегда имеет решение (нулевое), то при это решение будет единственным, а при d=0 эта однородная система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений.

Решение.

1. Вычислим определитель системы:

2. Вычислим определители

3. Используя формулы Крамера, находим решение системы:

Пример 9. Решить систему линейных уравнений.

Решение.

1. Вычислим определитель системы:

.

2. Вычислим определители

.

Поскольку при главном определителе системы равном нулю найден определитель , то такая система решения не имеет.

Пример 10. Решить систему линейных уравнений.

Решение.

1. Вычислим определитель системы:

.

2. Вычислим определители

.

Поскольку главный определитель системы равен нулю, все определители и можно указать формулу для вычисления различных решений системы , то система имеет бесконечно много решений. Эти решения вычисляются по указанной формуле, где численные значения х задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения у, например, пусть .