Лекция 5.

Лекция 5. Системы линейных алгебраических уравнений, запись систем в матричном виде. Решение квадратных неоднородных систем матричным методом. Формулы Крамера. Условия совместности.

Решение различного рода систем уравнений – классическая и часто возникающая (в том числе и в экономике) математическая проблема. Остановимся на простейших из систем – на системах линейных уравнений. Именно они чаще других находят применение в экономике (да и не только в ней).

Системой линейных уравнений называется система вида:

a ₁₁x₁ + a₁₂x₂ +… + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +… + a_2nx_n = b₂

               (1)

a_m1x₁ + a_m2x₂ +… + a_mnx_n = b_m

В этой системе m уравнений с n неизвестными (x₁; x₂; …x_n). А линейными уравнения, входящие в систему (1), называются потому, что неизвестные (x₁; x₂; …x_n) этих уравнений входят в них в первой степени (линейно). То есть аналогично тому, как входят в линейную функцию величины x и y.

Систему (1) можно записать и в сжатой (сокращенной) форме, используя знак суммирования :

(i = 1, 2,… m) (2)

Числа a_ij (i = 1, 2,… m; j = 1, 2,… n) – заданные коэффициенты при неизвестных x_j (j = 1, 2,… n); числа b_i (i = 1, 2,… m) – так называемые свободные члены системы, которые тоже заданы.

Определение. Любой набор значений неизвестных (x₁; x₂; …x_n), удовлетворяющих всем уравнениям системы, называется ее решением (частным решением). Система считается решенной, если найдены все ее решения (или доказано, что никаких решений у нее нет).

В частности, если все свободные члены системы {b₁; b₂; …b_m} равны нулю, то система (1) принимает вид

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +… + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +… + a_2nx_n = 0

               (3)

a_m1x₁ + a_m2x₂ +… + a_mnx_n = 0

и называется линейной однородной системой (а все прочие системы (1) являются линейными неоднородными). Любая линейная однородная система (3) по крайне мере одно решение заведомо имеет. И это решение очевидно: {x₁= 0; x₂= 0; …x_n= 0}. Это так называемое нулевое (тривиальное) решение. Тривиальное решение у однородной системы (3) может оказаться единственным. Но не исключено, что у неё есть и другие (нетривиальные) решения. Сколько всего решений у различных систем линейных уравнений может быть и как их найти – об этом ниже.

Детальное рассмотрение систем линейных уравнений начнем с наиболее простой из них – с системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. То есть с системы вида:

(4)

Сколько решений (x; y) у этой системы может в принципе быть, и как их найти? Ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев процесс решения системы.

Решать систему (4) наиболее удобно самым очевидным путем – последовательным исключением неизвестных (методом Гаусса). Этот метод состоит в следующем. Выразив из первого уравнения системы (4) одну неизвестную через другую (например, y через x) и подставив ее во второе уравнение, после приведения подобных получим в итоге линейное уравнение вида ax = b с одним неизвестным x. При этом возможны три варианта:

1) . Тогда из уравнения ax = b однозначно находится x: , а затем по этому x однозначно находится и y. В итоге получим единственное решение (x; y) системы (4).

2) a = 0, . Тогда уравнение ax = b оказывается противоречивым (не имеет решений). А вместе с ним не имеет решений и система (4).

3) a = 0, b = 0. Тогда уравнение ax = b принимает вид и удовлетворяется при любых x. При этом для каждого конкретного значений x найдется и соответствующее ему конкретное значение y. В итоге будем иметь бесчисленное множество (x; y) системы (4).

Итак, система (4) в принципе может:

а) иметь одно решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесчисленное множество решений.

Первый из этих случаев (единственное решение) будет осуществляться как правило. А второй и третий – как исключения. Действительно, лишь когда в уравнении ax = b величина a окажется равной нулю, будет иметь место либо второй, либо третий случай. Во всех остальных вариантах, когда , будет иметь место первый случай.

Полученные выше выводы имеют и ясную геометрическую интерпретацию. Действительно, каждое из двух уравнений системы (4) представляет собой уравнение вида , а следовательно, представляет собой уравнение прямой на плоскости. Значит, решая эту систему, мы определяем на плоскости координаты (x; y) точек пересечения некоторых двух прямых. Но таких точек у двух прямых, очевидно, может быть:

а) одна (когда прямые пересекаются);

б) ни одной (когда прямые параллельны);

в) бесчисленное множество (когда прямые совпадают).

Соответственно этим случаям система (4) будет иметь или одно решение, или ни одного, или бесчисленное множество. При этом для произвольно взятых прямых случай (а) будет, очевидно, осуществляться как правило, а случаи (б) и, особенно, (в) – как исключение.

Пример 1. Найти точки пересечения прямых и .

Решение. Для нахождения этих точек составим и решим систему из уравнений указанных прямых.

Как выяснилось, данная система имеет единственное решение ( ; ). Значит, указанные выше прямые пересекаются в единственной точке – точке .

Пример 2. Решить систему уравнений

и дать полученному результату геометрическую интерпретацию.

Решение.

– нет решений, ибо последнее уравнение остается неверным независимо от значений неизвестных х и у. Геометрически полученный результат означает, что прямые с уравнениями и параллельны. Это подтверждается и равенством их угловых коэффициентов k₁ и k₂:

; k₁ = 1,5

; k₂ =1,5

Пример 3. Решить систему уравнений

и дать полученному результату геометрическую интерпретацию.

Решение.

–

– бесчисленное множество решений. Действительно, второе уравнение системы, из которого должно было быть определено значение x, привело к правильному числовому равенству 2=2, верному независимо от x (x сократилось и исчезло из уравнения). Следовательно, величина x может быть любой. А другая неизвестная y, если выбрано значение x, найдется по первому уравнению . В итоге получаем бесчисленное множество решений системы. Например, таких:

1) ; 2) ; 3) ; …

Все эти решения являются координатами точек пересечения тех двух прямых, уравнения которых входят в исходную систему. В силу бесчисленного количества таких точек указанные прямые совпадают.

Да, но тогда должны совпадать и их уравнения! И это действительно так: умножая на 2 обе части уравнения первой прямой, получим равносильное уравнение , полностью совпадающее с уравнением второй прямой.

Перейдем к более сложным методам решения систем линейных уравнений.