Статистика - пример контрольной работы
.pdfНайдем абсолютные выражения:
pq(P) A = p1q1 − p0 q1 = 1550000 −1500000 = 50000 тыс.р.
pq(P)Б = p1q1 − p0 q1 = 60800000 − 6400000 = −320000 тыс.р. pq(P) A = p1q1 − p0 q1 = 1760000 −1500000 = 260000 тыс.р.
Анализируя полученные данные, получаем, что снижение выручки за счет изменения цены на товар Б, на 320 млн. р., что составляет 5%. Увеличение выручки за счет изменения цен на товар А, В, соответственно, на 50 млн.р. (3,3%) и 260
млн.р.(17,3%)
3. Общий агрегатный индекс физического объема
I |
|
= |
∑ p0 q1 |
= |
9550000 |
= 1.194 |
q |
∑ p0 q0 |
|
||||
|
|
8000000 |
|
|||
|
|
|
|
|||
В Абсолютном выражении:
pq(q) = 9550000 − 8000000 = 1550000 тыс.р.
Таким образом, за счет изменения объема продукции выручка увеличилась на 1550000, что составляет 19,4%.
11
Задача 7
Имеются следующие данные:
Год |
Часовая выработка |
Продолжительность |
Продолжительность |
на одного |
рабочего дня, ч |
рабочего месяца, дн. |
|
|
рабочего, ед. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Базисный |
40 |
7,9 |
23 |
Отчетный |
60 |
7,7 |
21 |
Определите: а) влияние динамики часовой выработки одного рабочего, продолжительности рабочего дня и рабочего месяца на динамику среднемесячной выработки; б) влияние каждого фактора в абсолютном выражении.
Решение
Выпуск продукции в большей мере зависит не от количества работников, а
от количества затраченного на производство продукции труда, времени, их эффективности и производительности.
Т.к. производительность труда одного работника за месяц (W) равна его среднечасовой выработке (A), умноженной на среднее число отработанных часов
(B) и на среднее число отработанных за месяц дней (C), то:
W = ABC
W1 = A1 B1C1 = 60 * 7.7 * 21 = 9702 (ед.)
W0 = A0 B0C0 = 40 * 7.9 * 23 = 7268 (ед.)
W1 = 9702 = 1.335
W0 7268
Таким образом, среднемесячная выработка одного работника в отчетном периоде увеличилась на 33,5% по сравнению с базисным.
Влияние факторов определим мультипликативной моделью:
W = CBA
Влияние среднего числа отработанных дней определим следующим образом:
W1 (C) = C1 B0 A0 = 6636 = 0.913 ,
W0 |
C0 B0 A0 7268 |
т.е. среднемесячная выработка работника снизилась за счет уменьшения продолжительности месяца на 8,7%.
12
W1 (B) = C1 B1 A0 = 6468 = 0.975 ,
W0 |
C1 B0 A0 6636 |
т.е. снижение среднемесячной выработки работника за счет снижения продолжительности рабочего дня составило 2,5%.
W1 |
( A) = |
C1 B1 A1 |
= |
9702 |
= 1.5 |
|
|
|
|||
W0 |
|
C1 B1 A0 |
6468 |
|
|
Мы видим увеличение выработки работника за счет увеличения производительности труда (A) на 50%.
Используя ту же мультипликативную модель, найдем абсолютное изменение результативного показателя:
W(C ) |
= (C1 − C0 ) * B0 A0 |
= (21− 23) * 7.9 * 40 = −632 (ед.) |
|
W( B) |
= (B1 |
− B0 ) * B0C1 A0 = (7.7 − 7.9) * 21* 40 = −168 (ед.) |
|
W( A) |
= ( A1 |
− A0 ) * C1 B1 |
= (60 − 40) * 7.7 * 21 = 3234 (ед.) |
W = |
W(C ) |
+ W( B ) + |
W( A) = −632 −168 + 3234 = 2434 (ед.) |
Абсолютное увеличение среднемесячной выработки одного работника составило 2434 ед., из них за счет уменьшения продолжительности месяца выработка снизилась на 632 ед., за счет уменьшения продолжительности рабочего дня выработка снизилась на 168 ед., а за счет увеличения часовой выработки,
среднемесячная выработка увеличилась на 3234 ед.
13
Задача 8
Изобразите данные задачи 5 в виде столбиковой диаграммы и ломаной кривой. Какой из этих графиков наиболее наглядно изображает изменение количества денежных переводов за рассматриваемые 5 лет? Сформулируйте выводы, следующие из графических изображений.
Решение
Данные задачи 5:
Годы |
1-й |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
Денежные переводы, млрд. р. |
54,0 |
62,0 |
67,4 |
65,0 |
63,0 |
По исходным данным построим столбиковую диаграмму и ломаную кривую:
80 |
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
67,4 |
65 |
|
60 |
|
|
|
63 |
|
|
62 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
50 |
54 |
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1-й |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
Из полученных графиков видим, что в течение первых трех лет число переводов с каждым годом увеличивается. Поскольку кривая имеет выпуклую форму, это говорит о снижении темпов роста. Так, прирост по итогам второго года составил 8 млрд.р., третьего – 5,4 млрд.р., а уже на четвертый год мы наблюдаем спад числа переводов на 2,4 млрд.р., который продолжается и далее. Тем не менее,
по итогам пяти лет прирост числа денежных переводов составил 9 млрд.р.
относительно начала наблюдений.
14
Задача 9
С целью определения среднего стажа работы рабочих предприятия (в годах)
произведена 10%-ная, бесповторная выборка способом типического пропорционального отбора. Результаты обследования сведены в следующую таблицу:
Группы рабочих |
|
Группа рабочих по стажу работы, лет |
|
Итого |
||||
по полу |
До 2 |
2–5 |
5–10 |
10–20 |
20–25 |
25 |
и выше |
|
Мужчины |
20 |
80 |
100 |
60 |
30 |
|
10 |
300 |
Женщины |
20 |
50 |
80 |
43 |
5 |
|
2 |
200 |
Определите с вероятностью 0,997: а) предельную ошибку выборки среднего стажа работы всех рабочих; б) пределы, в которых находится средний стаж работы;
в) предельную ошибку доли рабочих со стажем до 5 лет;
г) пределы, в которых находится число рабочих со стажем до 5 лет.
Решение
Границы |
ni |
|
|
|
xi ni |
xi − |
|
|
δ i2 ni |
|
xi |
x |
|||||||
интервалов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
До 2 |
40 |
1 |
|
40 |
-8,015 |
2569,609 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
2-5 |
130 |
3,5 |
455 |
-5,515 |
3953,979 |
||||
5-10 |
180 |
7,5 |
1350 |
-1,515 |
413,141 |
||||
10-20 |
103 |
15 |
1545 |
5,985 |
3689,483 |
||||
20-25 |
35 |
22,5 |
787,5 |
13,485 |
6364,583 |
||||
25 и выше |
12 |
27,5 |
330 |
18,485 |
4100,343 |
||||
Итого |
500 |
|
|
|
4507,5 |
|
|
|
21091,138 |
Найдем выборочную среднюю типической бесповторной выборки:
x = ∑ xi ni = 4507.5 = 9.015 ∑ni 500
Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:
|
|
∑(xi − |
|
)2 n |
= |
∑δ 2 ni |
|
|
|
|
|
= |
x |
= |
21091.138 |
= 42.182 |
|||||
δ 2 |
||||||||||
|
|
|
∑ni |
|
||||||
|
|
∑ f |
500 |
|
||||||
1.Средняя квадратичная ошибка средней x при бесповторном отборе сводится к формуле:
M = |
δ 2 |
(1 − |
n |
) |
n |
|
|||
|
|
N |
||
Т=5000, т.к. выборка 10%-ная
15
Следовательно:
|
δ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
(1− |
n |
) = |
42.182 |
(1 − |
500 |
) = 0.276 |
|||
n |
|
500 |
|
|||||||
|
|
N |
5000 |
|
|
|||||
Для определения предельной ошибки средней воспользуемся формулой:
где t – коэффициент доверия, t =3 при вероятности 0,997.
Тогда
= 3* 0.276 = 0.828
б) Интервальная оценка генеральной средней μ равна: x − ≤ μ ≤ x +
Отсюда,
9.015 − 0.828 ≤ μ ≤ 9.015 + 0.828
8.187 ≤ μ ≤ 9.843
Таким образом, с вероятностью 99,7% можно утверждать,что средний стаж работы рабочих находится в пределах от8 до 10 лет.
в) Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле:
|
|
|
|
|
|
MW = |
W (1 − W ) |
(1 − |
n |
) , где W – доля признака в выборке: |
|
n |
|
||||
|
|
N |
|||
W= 130 = 0.340 500
Следовательно,
|
|
|
|
|
|
MW = |
0.340 * (1 − 0.340) |
(1− |
500 |
) = 0.020 |
|
500 |
|
||||
|
5000 |
|
|
||
Предельная ошибка при p=0,997 равна:
W = 3* 0.02 = 0.060 или 6%
г) Соответственно, число рабочих со стажем до 5 лет находится в пределах от 160 до 180 человек (170±6%).
16
Задача 10
По данным годовых отчетов 94 предприятий составлена следующая таблица:
Группы предприятий по |
|
|
|
|
|
|
|
стоимости основных |
До 1 |
1–2 |
2–3 |
3–4 |
5–6 |
Более 6 |
|
фондов, млрд р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число предприятий |
30 |
20 |
15 |
11 |
10 |
8 |
|
Средняя выработка на |
3,0 |
5,0 |
4,8 |
6,2 |
7,0 |
8,5 |
|
одного работающего, млн р. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Составьте линейное уравнение регрессии, вычислите параметры, найдите теоретические значения средней выработки по отдельным группам предприятий.
Решение
Рассмотрим зависимость средней выработки на 1 работающего y (млн.р.) от стоимости основных фондов x (млрд.р.).
Предполагается, что уравнение регрессии линейно и имеет вид:
y = a + bx
Исходные данные и результаты расчетов:
|
ni |
|
|
|
|
|
|
xi yi ni |
2 |
2 |
~ |
~ |
δi |
δi ni |
|
|
yi |
|
xi |
||||||||||
Интервал |
|
|
xi |
xi ni |
yi |
yi − yi |
||||||||
До 1 |
30 |
3 |
|
0,5 |
45 |
0,25 |
7,5 |
2,559 |
0,441 |
14,7 |
441,2 |
|||
1-2 |
20 |
5 |
|
1,5 |
150 |
2,25 |
45 |
1,731 |
3,269 |
65,4 |
1307,6 |
|||
2-3 |
15 |
4,8 |
2,5 |
180 |
6,25 |
93,75 |
0,903 |
3,897 |
81,2 |
1217,8 |
||||
3-4 |
11 |
6,2 |
3,5 |
238,7 |
12,25 |
134,75 |
0,075 |
6,125 |
98,8 |
1086,7 |
||||
5-6 |
10 |
7 |
|
5,5 |
385 |
30,25 |
302,5 |
-1,581 |
8,581 |
122,6 |
1225,8 |
|||
6< |
8 |
8,5 |
6,5 |
442 |
42,25 |
338 |
-2,409 |
10,909 |
128,3 |
1026,7 |
||||
Сумма |
94 |
468,2 |
228 |
1440,7 |
93,5 |
921,5 |
1,278 |
|
|
6305,9 |
||||
Для определения параметров a и b уравнения регрессии, по методу наименьших квадратов составляется система уравнений:
na + b∑ x = ∑ y ,
a∑ x + b∑ x2 = ∑ yx .
Решая эту систему уравнений, находим:
a = |
∑ y∑ x2 |
− ∑ xy∑ x |
, |
b = |
∑ xy − ∑ x∑ y |
||
n∑ x2 |
− ∑ x∑ x |
∑ x2 |
. |
||||
|
|
|
− ∑ x∑ x |
||||
a= ∑ y∑ x2 − ∑ xy∑ x = 2.973 n∑ x2 − ∑ x∑ x
∑xy − ∑ x∑ y
b= ∑ x2 − ∑ x∑ x = 0.828
17
Все расчеты произведены при помощи Microsoft Excel для обеспечения точности полученных данных.
Оценка уравнения регрессии имеет вид:
y = 2.973 + 0.828x
Из этого уравнения следует, что при увеличении стоимости основных фондов на 1 млрд.р., средняя выработка на одного работающего увеличится на
0,828 млн.р.
Для интерпретации модели можно также воспользоваться коэффициентом эластичности, значение которого
e = b |
x |
= 0.828 * |
2.426 |
= 0.403 |
|
|
|||
1 |
y |
4.980 |
|
|
|
|
|||
показывает, что при увеличении стоимости ОПФ на 1%, средняя выработка увеличится на 0,403%.
Рассчитаем абсолютные и относительные ошибки аппроксимации:
~ |
|
|
ei |
|
|
ei = yi − yi |
; |
δi = |
|
*100% |
|
yi |
|||||
|
|
|
|
Занесем данные в таблицу.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации определим по формуле:
|
|
= |
1 |
* ∑ |
|
δi |
|
ni |
= |
1 |
* 6305.9 = 67.08% |
|
δ |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
94 |
|
||
Среднее значение относительной ошибки 67,08% говорит о том, что данная модель не достаточно хорошо согласуется с исходными данными.
18
Для измерения тесноты данной связи используем коэффициент корреляции,
исчисляемый по формуле:
|
|
|
∑ xy − |
∑ x∑ y |
|
|
|
|
||
rxy = |
|
|
n |
|
|
|
|
= 0,9594 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(∑ x)2 |
|
|
|
|||||
2 |
− |
2 |
− |
(∑ y)2 |
||||||
|
|
(∑ x |
|
)(∑ y |
|
) |
|
|
||
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
||||
Значение коэффициента корреляции свидетельствует о возможном наличии
сильной прямой связи между признаками.
19
Список используемой литературы
1.Сборник задач по курсу «Общая теория статистики» для студентов инж.-
экон. спец. / Сост. Г.Т. Максимов. – Мн.: БГУИР, 1998.
2.Общая теория статистики / Под ред. А.А. Спирина, О.Э. Батиной. – М.:
Финансы и статистика, 1994.
3.Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю.Н.Иванова. – М.:
ИНФРА-М, 1998.
20