Задача 11.78

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Двумерная выборка № 78:

( 3.54; 5.64) ( 4.22; 5.29) ( 3.54; 5.30) ( 0.87; 1.79) ( 2.44; 7.24) ( 5.31; 8.64) ( 1.40; 3.09) ( 2.27; 2.22) ( 5.57; 7.06) ( 7.60; 6.33) ( 5.86; 6.31) ( 2.92; 4.47) ( -0.21; 2.57) ( 4.03; 5.49) ( 2.92; 7.27) ( 5.33; 4.76) ( 7.45; 5.49) ( 2.66; 4.13) ( 1.61; 7.03) ( 3.42; 6.84) ( 5.28; 7.14) ( 3.23; 3.81) ( 0.52; 3.91) ( 0.99; 3.31) ( 3.03; 4.87) ( 2.63; 7.03) ( 7.00; 6.88) ( 1.93; 2.92) ( -0.06; 6.29) ( 5.24; 6.57) ( 3.37; 5.59) ( 6.21; 7.33) ( 0.74; -0.26) ( 4.27; 6.12) ( 5.25; 4.17) ( 2.89; 5.61) ( 5.01; 7.87) ( 4.42; 4.92) ( 1.84; 4.93) ( 2.55; 6.86) ( 4.55; 4.92) ( 4.31; 4.94) ( 2.88; 4.45) ( 2.98; 5.46) ( 2.35; 3.94) ( 3.33; 5.59) ( 3.36; 6.30) ( 5.15; 6.11) ( 5.48; 6.53) ( 3.32; 2.09)

Решение:

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 1. Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 1 – Результаты промежуточных вычислений

№	x	y	x2	y2	x*y
1	3,54	5,64	12,5316	31,8096	19,9656
2	4,22	5,29	17,8084	27,9841	22,3238
3	3,54	5,3	12,5316	28,09	18,762
4	0,87	1,79	0,7569	3,2041	1,5573
5	2,44	7,24	5,9536	52,4176	17,6656
6	5,31	8,64	28,1961	74,6496	45,8784
7	1,4	3,09	1,96	9,5481	4,326
8	2,27	2,22	5,1529	4,9284	5,0394
9	5,57	7,06	31,0249	49,8436	39,3242
10	7,6	6,33	57,76	40,0689	48,108
11	5,86	6,31	34,3396	39,8161	36,9766
12	2,92	4,47	8,5264	19,9809	13,0524
13	-0,21	2,57	0,0441	6,6049	-0,5397
14	4,03	5,49	16,2409	30,1401	22,1247
15	2,92	7,27	8,5264	52,8529	21,2284
16	5,33	4,76	28,4089	22,6576	25,3708
17	7,45	5,49	55,5025	30,1401	40,9005
18	2,66	4,13	7,0756	17,0569	10,9858
19	1,61	7,03	2,5921	49,4209	11,3183
20	3,42	6,84	11,6964	46,7856	23,3928
21	5,28	7,14	27,8784	50,9796	37,6992
22	3,23	3,81	10,4329	14,5161	12,3063
23	0,52	3,91	0,2704	15,2881	2,0332
24	0,99	3,31	0,9801	10,9561	3,2769
25	3,03	4,87	9,1809	23,7169	14,7561
26	2,63	7,03	6,9169	49,4209	18,4889
27	7	6,88	49	47,3344	48,16
28	1,93	2,92	3,7249	8,5264	5,6356
29	-0,06	6,29	0,0036	39,5641	-0,3774
30	5,24	6,57	27,4576	43,1649	34,4268
31	3,37	5,59	11,3569	31,2481	18,8383
32	6,21	7,33	38,5641	53,7289	45,5193
33	0,74	-0,26	0,5476	0,0676	-0,1924
34	4,27	6,12	18,2329	37,4544	26,1324
35	5,25	4,17	27,5625	17,3889	21,8925
36	2,89	5,61	8,3521	31,4721	16,2129
37	5,01	7,87	25,1001	61,9369	39,4287
38	4,42	4,92	19,5364	24,2064	21,7464
39	1,84	4,93	3,3856	24,3049	9,0712
40	2,55	6,86	6,5025	47,0596	17,493
41	4,55	4,92	20,7025	24,2064	22,386
42	4,31	4,94	18,5761	24,4036	21,2914
43	2,88	4,45	8,2944	19,8025	12,816
44	2,98	5,46	8,8804	29,8116	16,2708
45	2,35	3,94	5,5225	15,5236	9,259
46	3,33	5,59	11,0889	31,2481	18,6147
47	3,36	6,3	11,2896	39,69	21,168
48	5,15	6,11	26,5225	37,3321	31,4665
49	5,48	6,53	30,0304	42,6409	35,7844
50	3,32	2,09	11,0224	4,3681	6,9388
Среднее:	3,536	5,2632	15,8709	30,78724	20,32609

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью . По таблице функции Лапласа :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблицы функции Лапласа .

Так как , то гипотеза отклоняется, т.е, величины и коррелированны.

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 11.1).

Список литературы

1. А. И. Волковец, А. Б. Гуринович, А. В.Аксенчик. Теория вероятностей и математическая статистика: метод. указания по типовому расчету .– Минск БГУИР, 2009. – 65 с.: ил.

2. А. И. Волковец, А. Б. Гуринович. Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ. всех спец. и форм обучения.– Минск БГУИР, 2003. – 84 л.