Твимс

Группа N 903002 Студент N 24

Варианты заданий: ----------------------------------------------------------------

|Номер задания | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

--------------------------------------------------------------------

|Номер варианта| 9 | 15 | 38 | 26 | 27 | 14 | 35 | 32 | 13 |

--------------------------------------------------------------------

Одномерная выборка:

-7.38 -6.08 -2.20 -5.06 -3.37 -3.94 -5.90 -4.34 -6.67 -0.74 -1.40 -1.86 -5.00 0.63 -5.21 -3.25

-3.20 -8.10 -6.40 -6.33 -9.95 -4.43 -6.63 -5.40 -8.68 -6.15 -2.34 -9.25 -0.77 -5.04 -9.11 -4.93

-4.73 -4.47 -8.82 -3.05 -3.86 -2.72 -2.31 -8.48 -6.81 -5.29 -5.55 -5.60 -4.96 -4.63 -3.50 -5.60

-6.63

Двумерная выборка:

( -2.01; 5.52) ( 1.79; 5.13) ( 5.65; -2.68) ( -8.01; 4.17) ( 2.53; 3.89)

( 2.71; 4.95) ( 4.41; 0.30) ( 5.61; 0.98) ( 1.65; 1.80) ( 2.55; -1.65)

( 1.47; 6.66) ( 2.44; 0.86) ( 2.50; 1.99) ( 1.85; -4.39) ( 6.02; 2.26)

( -1.42; -1.69) ( 3.02; 4.77) ( 6.81; -3.27) ( 0.03; 3.80) ( 3.31; 0.56)

( 1.25; 0.86) ( 0.09; 8.36) ( 1.26; 1.37) ( 1.36; 2.51) ( 6.44; 0.65)

1.9. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что все цифры одинаковы.

Решение:

Событие А состоит в том, что в шестизначном номере все цифры одинаковы.

Ответ:

2.15. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5; q6=0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение:

Найдем вероятность работы для части ветви цепи из блоков 1,2 и 3:

Вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход:

Ответ:

3.38. В двух коробках содержатся резисторы: в 1-й ‑ 5 резисторов номиналом 1 Ом и мощностью рассеивания 1 Вт , 6 резисторов- 1 Ом , 2 Вт . Во 2-ой : 4 резистора 2 Ом; 2 Вт; 4 резистора 1 Ом , 2 Вт . Найти вероятность того, что наудачу вынутый резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом , 1 Вт.

Решение:

Событие А – наудачу вынутый резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом , 1 Вт.

Гипотеза Н1 – резистор из первой коробки.

Гипотеза Н2 – резистор из второй коробки.

По формуле полной вероятности, вероятность того, что резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом, 1 Вт, будет равна:

4.26. Монету подбрасывают 100 раз. Какова вероятность того, что она ни разу не упадет гербом вверх?

Решение:

Ответ:

5.27. Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

xi	2	4	6	8	10
pi	0,2	0,3	0,05	0,25	0,2

Решение:

Функцию распределения определим по формуле:

- для ,

- для ,

- для ,

- для ,

- для ,

- для ,

x	≤2	]2;4]	]4;6]	]6;8]	]8;10]	>10
F(x)	0	0,2	0,5	0,55	0,8	1

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формуле:

Ответ: , .

6.14. Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

Решение.

Для определения постоянной с воспользуемся свойством плотности вероятности

5/с=1

с=5

Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности.

Окончательно имеем

Вероятность попадания в интервал :

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Ответ: , , , ,

.

7.35. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности g(y).

Решение:

Так как Х равномерно распределена в интервале , то ее плотность вероятности равна:

Построим график величины для x в интервале и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:

[-, 0[ k = 0,

[0; 0,707] k = 1,

]0,707; 1] k = 2,

]1, +] k = 0.

Так как на интервалах [-, 0 [ и ]1, +] обратная функция не существует, то для этих интервалов g(y)=0.

В интервале [0; 0,707] одна обратная функция , следовательно:

В интервале ]0,5; 1] две обратных функции:

и

Плотность вероятности величины Y определяем по формуле:

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

Ответ:

8.32.

9.13. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а также определить их коэффициент корреляции :

Решение:

Определим коэффициент корреляции величин U и V:

Вычислим математическое ожидание U и V:

Вычислим дисперсии и :

Рассчитаем корреляционный момент .

Для этого определим :

Определим величину коэффициента корреляции :

Ответ:

10. По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии;

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия ² и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F₀(x) построить совместно с графиком F^*(x) в той же системе координат и на том же листе.

Одномерная выборка:

-7.38 -6.08 -2.20 -5.06 -3.37 -3.94 -5.90 -4.34 -6.67 -0.74 -1.40 -1.86 -5.00 0.63 -5.21 -3.25

-3.20 -8.10 -6.40 -6.33 -9.95 -4.43 -6.63 -5.40 -8.68 -6.15 -2.34 -9.25 -0.77 -5.04 -9.11 -4.93

-4.73 -4.47 -8.82 -3.05 -3.86 -2.72 -2.31 -8.48 -6.81 -5.29 -5.55 -5.60 -4.96 -4.63 -3.50 -5.60

-6.63

Решение:

График эмпирической функции распределения F^*(x):

Выборка	Вариационный ряд
-7,38	-9,95
-6,08	-9,25
-2,20	-9,11
-5,06	-8,82
-3,37	-8,68
-3,94	-8,48
-5,90	-8,10
-4,34	-7,38
-6,67	-6,81
-0,74	-6,67
-1,40	-6,63
-1,86	-6,63
-5,00	-6,40
0,63	-6,33
-5,21	-6,15
-3,25	-6,08
-3,20	-5,90
-8,10	-5,60
-6,40	-5,60
-6,33	-5,55
-9,95	-5,4
-4,43	-5,29
-6,63	-5,21
-5,40	-5,06
-8,68	-5,04
-6,15	-5,00
-2,34	-4,96
-9,25	-4,93
-0,77	-4,73
-5,04	-4,63
-9,11	-4,47
-4,93	-4,43
-4,73	-4,34
-4,47	-3,94
-8,82	-3,86
-3,05	-3,50
-3,86	-3,37
-2,72	-3,25
-2,31	-3,20
-8,48	-3,05
-6,81	-2,72
-5,29	-2,34
-5,55	-2,31
-5,60	-2,20
-4,96	-1,86
-4,63	-1,40
-3,50	-0,77
-5,60	-0,74
-6,63	0,63

i	Ai	Bi	hi	Vi	p*i	f*i
1	-9,95	-8,44	1,511	6	0,12	0,0810
2	-8,44	-6,93	1,511	2	0,04	0,0270
3	-6,93	-5,42	1,511	12	0,24	0,1620
4	-5,42	-3,90	1,511	14	0,29	0,1890
5	-3,90	-2,39	1,511	7	0,14	0,0945
6	-2,39	-0,88	1,511	5	0,10	0,0675
7	-0,88	0,63	1,511	2	0,04	0,0270

i	Ai	Bi	hi	Vi	p*i	f*i
1	-9,95	-7,74	2,210	7	0,14	0,0646
2	-7,74	-6,24	1,500	7	0,14	0,0952
3	-6,24	-5,35	0,895	7	0,14	0,1596
4	-5,35	-4,83	0,515	7	0,14	0,2774
5	-4,83	-3,68	1,150	7	0,14	0,1242
6	-3,68	-2,33	1,355	7	0,14	0,1054
7	-2,33	0,63	2,955	7	0,14	0,0483

Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним, вычисляется по формуле

Несмещенная состоятельная оценка дисперсии равна

Доверительный интервал для математического ожидания с надежностью :

Доверительный интервал для дисперсии с надежностью :

По виду гистограмм выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H₀ : ,;

H₁ : f(x)  N(m, ).

Используя метод моментов определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического (нормального) закона распределения:

,

Значение критерия вычисляем по формуле :

При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае

Теоретические вероятности p_i рассчитываем по формуле:

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

Тогда

После этого из таблицы распределения ² выбираем критическое значение . Так как , то гипотеза H₀ принимается (нет основания ее отклонить).

По виду гистограмм выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H₀ : ,;

H₁ : f(x)  N(m, ).

Теоретическая функция распределения F₀(x) нормального закона равна

.

Максимальная разность по модулю между графиками F*(x) и F₀(x)

Z = 0,08 при х = -6,75.

Вычислим значение критерия Колмогорова

Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение Так как  < 1,36 , то гипотеза о нормальном законе распределения принимается.

11. По выборке двумерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ( = 0,95);

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Двумерная выборка:

( -2.01; 5.52) ( 1.79; 5.13) ( 5.65; -2.68) ( -8.01; 4.17) ( 2.53; 3.89)

( 2.71; 4.95) ( 4.41; 0.30) ( 5.61; 0.98) ( 1.65; 1.80) ( 2.55; -1.65)

( 1.47; 6.66) ( 2.44; 0.86) ( 2.50; 1.99) ( 1.85; -4.39) ( 6.02; 2.26)

( -1.42; -1.69) ( 3.02; 4.77) ( 6.81; -3.27) ( 0.03; 3.80) ( 3.31; 0.56)

( 1.25; 0.86) ( 0.09; 8.36) ( 1.26; 1.37) ( 1.36; 2.51) ( 6.44; 0.65)

Решение:

Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна:

Состоятельная оценка коэффициента корреляции:

Доверительный интервал с надежностью для коэффициента корреляции для случая двумерного нормального распределения:

,

Где , ,

Доверительный интервал:

Гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости:

H₀: ;

H₁: .

Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости при следующих данных: n = 25;  = 0,05. Предположим, что двумерный закон распределения – нормальный.

Вначале вычислим значение критерия t:

Из таблицы Стьюдента выбираем критическое значение Так как то гипотеза H₀ принимается.

Оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии :

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с.

2. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с.

3. Аксенчик А.В., Волковец А.И., Корбут А.А., Коренская И.Н. Методические указания и контрольные задания по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей БГУИР заочной формы обучения - Мн.: БГУИР, 2002.- 60с.