В задачах 1.20-1.23 из колоды в 36 карт (6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т) наугад извлекаются три карты.

1.21. Определить вероятность того, что будут вытащены три туза.

Решение.

Вероятность того, что из взятых трех карт все будут тузы

Вероятность того, что первая карта будет тузом:

Вероятность того, что вторая карта будет тузом:

Вероятность того, что третья карта будет тузом:

P==0.0006

Ответ: P=0.0006

ЗАДАЧА 2.

В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

№2,21

Обозначим А_i– событие, состоящее в том, что i-ый элемент выйдет из строя

А– событие состоящее в том, что сигнал пройдет со входа на выход

В– событие состоящее в том, что участок АN работает

=

P()=

Вероятность события В

Р(В)=1- P()=1–

А=В

Вероятность события А

Р(А)=Р()Р(В)=(1-р₁)( 1–)

Р(А)=0,9*(1-0,2*0,3*0,4*0,5)=0,8892

Ответ: Р(А)=0,8892

3.15. Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Определить вероятность того, что откажет два блока.

3.21. Условие задачи 3.15. В результате испытаний два блока вышли из строя. Определить вероятность того, что отказали первый и второй блоки.

Решение.

р₁=0,6 р₂=0,7 р₃=0,8

Обозначим А событие состоящее в том, что два блока вышли из строя

А_i – i-ый блок вышел из строя

Можно выдвинуть шесть гипотез:

Н₁– отказал один блок

Н₁=А₁+ А₂+ А₃

Н₂– отказал первый и второй блоки

Н₂= А₁А₂

Н₃– отказал первый и третий блоки

Н₂= А₁А₃

Н₄– отказали второй и третий блоки

Н₄= А₂А₃

Н₅– отказали три блока

Н₅=А₁А₂А₃

Н₆– все блоки работают

Н₆=

Р(Н₁)=(1–р₁)р₂р₃+(1–р₂)р₁р₃+(1–р₃)р₂р₁=0,4*0,7*0,8+0,6*0,3*0,8+0,6*0,7*0,2=0,452

Р(Н₂)= (1–р₁)(1–р₂)р₃=0,4*0,3*0,8=0,096

Р(Н₃)= (1–р₁)(1–р₃)р₂ =0,4*0,7*0,2=0,056

Р(Н₄)= (1–р₃)(1–р₂)р₁=0,6*0,3*0,2=0,036

Р(Н₅)=(1–р₁)(1–р₂)(1–р₃)=0,4*0,3*0,2=0,024

Р(Н₆)=р₁р₂р₃=0,6*0,7*0,8=0,336

Проверка

Р(Н₁)+ Р(Н₂)+ Р(Н₃)+ Р(Н₄)+ Р(Н₅)+ Р(Н₆)=0,452+0,096+0,056+0,036+0,024+0,336=1

Условная вероятность отказа двух блоков, если отказал один блок

Р_Н1(А)=0

Если отказали первый и второй блоки

Р_Н2(А)=1

Если отказали первый и третий блоки

Р_Н3(А)=1

Если отказали второй и третий блоки

Р_Н4(А)=1

Если отказали три блока

Р_Н4(А)=0

Если все блоки работают

Р_Н4(А)=0

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности

Р(А)=Р(Н₁)* Р_Н1(А)+ Р(Н₂)* Р_Н2(А)+ Р(Н₃)* Р_Н3(А)+ Р(Н₄)* Р_Н4(А) + Р(Н₅)* Р_Н5(А)+

+ Р(Н₆)* Р_Н6(А)

Р(А)=0,452*0+0,096*1+0,056*1+0,036*1+0,024*0+0,336*0=0,188

Вероятность того, что при поломке двух блоков ими оказались первый и второй блоки найдем по формуле Байеса

Р_А(Н₂)=

Ответ: Р_А(Н₂)=0,1915

4.21. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что она четыре раза упадет гербом вверх?

Решение.

р=0,5 – вероятность того, что при одном броске монета упадет гербом вверх

n=8 k=4

Воспользуемся формулой Бернулли

Р_n(k)=p^k(1–p)^n-k

Р₈(4)=0.5⁴(1–0.5)^8-4=0,5⁴0,5⁴=0,2734

Ответ: Р₈(4)=0,2734

ЗАДАЧА 5

В задачах 5.1-5.30 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в табл. 1.1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

№5,21

Х	1	4	7	8	9
Р	0,3	0,15	0,25	0,15	0,15
Рx	0,3	0.45	0.7	0.85	1

Математическое ожидание

М(Х)=

М(Х)=1*0,3+4*0,15+7*0,25+8*0,15+9*0,15=5,2

Дисперсия

Д(Х)=М(Х²)–( М(Х))²

Где М(Х²)=

М(Х²)= 1²*0,3+4²*0,15+7²*0,25+8²*0,15+9²*0,15=36,7

Д(Х)=36,7–5,2²=9,66

Функция распределения

F(x_i)=P{X<x_i}=P{(X=x₁)(X=x₂) ... (X=x_i-1)}= p₁+...+p_i-1.

F(X)=

График функции распределения

ЗАДАЧА 6

В задачах 6.1-6.30 (параметры заданий приведены в табл. 1.2) случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [α, β].

№6.21

f(x)=

Для определения постоянной с воспользуемся свойством плотности вероятности

с/10=1

с=10

f(x)=

математическое ожидание

М(Х)=

М(Х)=

Дисперсия

Д(Х)=М(Х²)–(М(Х))²

Где М(Х²)=

М(Х²)=

Д(Х)=5/6–(10/11)²=0,0069

Вероятность того, что 0<x<0,25 найдем по формуле

Р(0<x<0,25)=

F(x)=

F(X)= при x<0

F(X)= при 0<x≤1

F(X)= при 1<x

F(X)=

ЗАДАЧА 7

В задачах 7.1-7.30 (условия приведены в табл. 1.3) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=ϕ(X) и определить плотность вероятности g(y).

№7.21

Y=

Плотность вероятности СВ Х найдем по формуле

f(x)=

f(x)=1/(2-1)=1

График функции Y=при 1≤x≤2

x₁= х₁’=-

для нахождения плотности вероятности воспользуемся формулой

g(y)=f(ψ(y)) |ψ’(y)|

Так как функция Y отрезке 1≤x≤2 монотонная, то

g(y)=f()*|-|=1*=, 0,25<y≤1

_{свойство плотности вероятности}

Ответ: g(y) =

ЗАДАЧА 8.

В задачах 8.1-8.30 (конкретные параметры приведены в табл. 1.4) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 1.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

№8.21

y=

Коэффициент корреляции

r=

плотность распределения СВ (x,y) найдем по формуле

f(x,y)=1/S

где S–площадь фигуры

S=0.5*(2+6)*2=8

f(x,y)=

Плотность распределения f(x) найдем по формуле

f(x)=

f(x)= , 0<x≤2

f(x)= , 2<x≤6

f(x)=

f(y)=

f(y)= ,0<y≤2

f(y)=

Математическое ожидание

М(Х)=

М(Y)=

М(Y)=

К=

Среднее квадратическое отклонение

М(Y²)=

r==-0.3496

Ответ: r=-0,3496

ЗАДАЧА 9.

В задачах 9.1-9.30 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции R_UV:

U = a₀ +a₁X₁ +a₂X₂ V = b₀ + b₁X₂ + b₂X₃ .

Конкретные значения коэффициентов a_i, i = 0, ..., 2; b_j, j = 0, ..., 2 и числовые характеристики случайных величин X_i, i = 0, ..., 3 приведены в табл.

№9,21