ТВиМС типовой расчет 1 вариант ВСЕ 10 задач

1.1 Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел равна восьми.

Решение

Количество равновозможных исходов .

Исходы, удовлетворяющие условию: 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2 – 5 исходов.

По классической формуле вероятности:

Ответ:

2.1 Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводи к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1 и 2 соответственно равны р₁=0,1; р₂=0,2. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение

Вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход, это одновременная безотказная работа элементов 1 и 2:

Ответ: 0,72

3.11 На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором 0,988 и на третьем 0,98. Изготовленные в течении дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Решение:

С рассматриваемым событием А={Деталь не соответствует стандарту} связано три гипотезы: Н₁={Деталь произведена на первом станке}, Н₂={Деталь произведена на втором станке}, Н₃={Деталь произведена на третьем станке}.

Вероятности этих событий определим из условия:

,,,

Условные вероятности события А также определим из условия:

,,

По формуле полной вероятности следует:

Ответ:0,015

4.1 Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

Решение:

Вероятность изготовления стандартного изделия - 0,95.

Определим вероятность того, что ни одно или только одно изделие – нестандартное, по формуле Бернулли.

Ответ: 0,914.

5.1 Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений х₁=1, х₂=2, х₃=3, х₄=4, х₅=5 с вероятностями р₁=0,2, р₂=0,2, р₃=0,2, р₄=0,2, р₅=0,2 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение

xi	1	2	3	4	5
pi	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2

Математическое ожидание

Дисперсия

Рассчитаем значения функции распределения для фиксированных значений , взятых из ряда распределения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.1 Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [0,5; 1,5]

Решение

Вычислим значение константы С из условия нормировки:

Определим функцию распределения F(x):

для x<1:

для

для

Окончательно:

Вычислим вероятность :

Вычислим математическое ожидание:

Вычислим дисперсию:

7.1 Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [-1,4]. Построить график случайной величины и определить плотность вероятности g(y), g(y₀), y₀=2.

Решение:

Так как Х равномерно распределена в интервале [-1, 4], то ее плотность вероятности равна

Построим график величины для x в интервале [-1, 4].

На интервалах обратная функция не существует .

На интервале [0, 1] существует только две обратных функции, , тогда

На интервале [1, 2] существует только одна обратная функциятогда

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

8.1 Двухмерный случайный вектор (X, Y) равномерно распределен внутри области В. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области В:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Решение

Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности

Определим с, используя условие нормировки:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Х

Определим корреляционный момент K_xy:

Коэффициент корреляции величин X и Y равен

9.1 По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова (α=0,05).

Решение

Вариационный ряд

0,01 0,04 0,04 0,07 0,16 0,16 0,16 0,19 0,19 0,20 0,28 0,32 0,41 0,52 0,54 0,57 0,58 0,62 0,62 0,67 0,69 0,72 0,73 0,76 0,91 0,93 0,96 1,00 1,00 1,01 1,11 1,15 1,17 1,27 1,31 1,31 1,32 1,49 1,53 1,72 1,78 1,85 1,97 1,98 2,00 2,03 2,04 2,16 2,26 2,29 2,31 2,48 2,56 2,60 2,61 2,64 2,68 2,80 2,82 2,89 2,91 3,05 3,15 3,15 3,24 3,33 3,51 3,52 3,76 3,88 4,14 4,36 4,40 4,41 4,53 4,62 4,64 4,85 4,95 5,16 5,29 5,41 5,83 6,12 6,26 6,87 7,30 7,43 8,31 8,57 9,00 9,27 9,48 10,34 10,75 11,43 14,67 15,46 16,61 17,19

Строим график эмпирической функции распределения F*(x):

Строим гистограмму равноинтервальным способом. Для этого определим необходимое количество интервалов

j	Aj	Bj	hj	vj	p*j	f*j
1	0,01	1,728	1,718	40	0,4	0,2328
2	1,728	3,446	1,718	26	0,26	0,1513
3	3,446	5,164	1,718	14	0,14	0,0815
4	5,164	6,882	1,718	6	0,06	0,0349
5	6,882	8,6	1,718	4	0,04	0,0233
6	8,6	10,32	1,718	3	0,03	0,0175
7	10,32	12,04	1,718	3	0,03	0,0175
8	12,04	13,75	1,718	0	0	0
9	13,75	15,47	1,718	2	0,02	0,0116
10	15,47	17,19	1,718	2	0,02	0,0116

;

Равноинтервальная гистограмма имеет вид:

f*(x)

x

Cтроим гистограмму равновероятностным способом

j	Aj	Bj	hj	vj	p*j	f*j
1	0,01	0,238	0,228	10	0,1	0,4386
2	0,238	0,68	0,442	10	0,1	0,2262
3	0,68	1,06	0,38	10	0,1	0,2632
4	1,06	1,75	0,69	10	0,1	0,1449
5	1,75	2,3	0,55	10	0,1	0,1818
6	2,3	2,9	0,6	10	0,1	0,1667
7	2,9	4,01	1,11	10	0,1	0,0901
8	4,01	5,225	1,215	10	0,1	0,0823
9	5,225	8,785	3,56	10	0,1	0,0281
10	8,785	17,19	8,405	10	0,1	0,0119

, ,

f*(x)

x

Вычисляем точечную оценку математического ожидания

Вычислим точечную оценку дисперсии

Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью .

; ;

Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью

По виду графика эмпирической функции распределения и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины:

Н₀ – величина Х распределена по экспоненциальному закону

Н₁ – величина Х не распределена по экспоненциальному закону

,

Определим оценку неизвестного параметра λ

,

Получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:

Проверим гипотезу об экспоненциальном законе с помощью критерия _.

Вычислим значение критерия на основе равновероятностного статистического ряда

Теоретические вероятности p_j попадания в интервалы равновероятностного статистического ряда экспоненциальной случайной величины

j	Aj	Bj	F0(Aj)	F0(Bj)	pj	p*j
1	0,01	0,238	1	0,9336	0,0664	0,1	0,017
2	0,238	0,68	0,9336	0,8217	0,1119	0,1	0,0013
3	0,68	1,06	0,8217	0,7363	0,0854	0,1	0,0025
4	1,06	1,75	0,7363	0,6033	0,133	0,1	0,0082
5	1,75	2,3	0,6033	0,5147	0,0886	0,1	0,0015
6	2,3	2,9	0,5147	0,4329	0,0818	0,1	0,004
7	2,9	4,01	0,4329	0,3142	0,1187	0,1	0,0029
8	4,01	5,225	0,3142	0,2212	0,093	0,1	0,0005
9	5,225	8,785	0,2212	0,0791	0,1421	0,1	0,0125
10	8,785	∞	0,0791	0	0,0791	0,1	0,0055
				Сумма	1	1	0,0559

Проверяем выполнение контрольного соотношения для p_j

Получаем

Вычисляем число степеней свободы

По заданному уровню значимости из таблицы распределения выбираем критическое значение

Так как то гипотеза Н₀ об экспоненциальном законе распределения принимается (не основания ее отклонить).

Проверим гипотезу об экспоненциальном законе с помощью критерия Колмогорова.

Построим график F₀(x) в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения F^*(x).

Определяем максимальное по модулю отклонение между функциями F^*(x) и F₀(x):

(x₃₇)

Вычислим значение критерия Колмогорова

Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости выбираем критическое значение

Так как , то гипотезу Н₀ об экспоненциальном законе распределения нет основания отвергать.

10.1 По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить оценку коэффициента корреляции;

- вычислить параметры линии регрессии a₀ и a₁;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

	x	y	x2	y2	x*y
	-0,06	0,11	0,0036	0,0121	-0,0066
	-6,32	-1,72	39,9424	2,9584	10,8704
	-3,05	-0,40	9,3025	0,16	1,22
	-0,75	3,33	0,5625	11,0889	-2,4975
	-1,36	-0,46	1,8496	0,2116	0,6256
	2,84	-2,68	8,0656	7,1824	-7,6112
	0,35	-2,10	0,1225	4,41	-0,735
	-2,28	-6,09	5,1984	37,0881	13,8852
	-5,40	-4,51	29,16	20,3401	24,354
	0,83	0,28	0,6889	0,0784	0,2324
	-2,30	-4,42	5,29	19,5364	10,166
	-1,34	-1,20	1,7956	1,44	1,608
	-3,87	-0,80	14,9769	0,64	3,096
	-6,21	-0,73	38,5641	0,5329	4,5333
	-1,40	-5,41	1,96	29,2681	7,574
	-3,12	-4,31	9,7344	18,5761	13,4472
	-1,81	0,47	3,2761	0,2209	-0,8507
	-0,15	1,31	0,0225	1,7161	-0,1965
	-2,94	-5,59	8,6436	31,2481	16,4346
	-2,36	1,40	5,5696	1,96	-3,304
	-1,91	1,97	3,6481	3,8809	-3,7627
	-0,19	-3,36	0,0361	11,2896	0,6384
	-1,69	-2,34	2,8561	5,4756	3,9546
	-0,61	-2,38	0,3721	5,6644	1,4518
	-0,76	-5,41	0,5776	29,2681	4,1116
	-5,12	-0,12	26,2144	0,0144	0,6144
	-3,51	-3,68	12,3201	13,5424	12,9168
	2,46	1,49	6,0516	2,2201	3,6654
	0,30	-0,31	0,09	0,0961	-0,093
	-2,64	1,08	6,9696	1,1664	-2,8512
	-2,92	-2,77	8,5264	7,6729	8,0884
	-4,05	2,78	16,4025	7,7284	-11,259
	-9,86	0,10	97,2196	0,01	-0,986
	-4,02	1,40	16,1604	1,96	-5,628
	0,91	-3,28	0,8281	10,7584	-2,9848
	-0,49	-0,79	0,2401	0,6241	0,3871
	0,29	2,56	0,0841	6,5536	0,7424
	-6,01	-2,85	36,1201	8,1225	17,1285
	-1,64	1,00	2,6896	1	-1,64
	1,69	-1,56	2,8561	2,4336	-2,6364
	-6,03	-3,89	36,3609	15,1321	23,4567
	3,13	-2,66	9,7969	7,0756	-8,3258
	-4,82	1,34	23,2324	1,7956	-6,4588
	-2,41	0,03	5,8081	0,0009	-0,0723
	-2,91	-0,11	8,4681	0,0121	0,3201
	4,75	1,12	22,5625	1,2544	5,32
	1,28	1,31	1,6384	1,7161	1,6768
	-2,99	1,51	8,9401	2,2801	-4,5149
	-1,47	0,55	2,1609	0,3025	-0,8085
	-4,60	0,64	21,16	0,4096	-2,944
Средние	-1,9308	-1,003	11,3024	6,7626	2,4471