ТВиМС- вариант 22
.docxТВиМС-22
1.12. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что все цифры различные и расположены в порядке возрастания (соседние цифры отличаются на 1).
Решение:
Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.
n = 10*9*8*7*6*5 = 151200 способов, так как первую цифру можно выбрать 10 способами (так как всего 10 цифр), вторую - 9, третью - 8 и т.д. Искомая последовательность цифр может быть одна из 9 возможных (предположим, на 0 номер не начинается) m=9.
Получаем P = 9/151200=6*10-5.
Ответ: P = 6*10-5
2.26. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение:
Вероятности работы элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны:
Событие В – безотказная работа цепи.
Событие А1 – безотказная работа части цепи из блоков 1, 2, 3, А2 – из блоков 4, 5.
Найдем вероятность работы для части ветви цепи:
Вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход:
Ответ:
3.29. Три стрелка производят по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6 , для второго - 0,5 , для третьего - 0,4. В результате произведенных выстрелов в мишени оказалось две пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.
Решение:
Событие А – в мишень попали 2 стрелка. Гипотеза Н1 – второй стрелок попал, Н2 – второй не попал.
Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что в мишень попал второй стрелок и либо первый, либо третий. Эти 2 события несовместны, поэтому применима теорема сложения:
Искомая вероятность того, что попал второй стрелок по формуле Байеса равна:
Ответ: 0,684
4.4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение:
Найдем наивероятнейшее число выпадения 6:
Ответ:
5.19. Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
xi |
-2 |
0 |
2 |
4 |
9 |
pi |
0,15 |
0,15 |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
Решение:
Функцию распределения определим по формуле:
- для ,
- для ,
- для ,
- для ,
- для ,
- для ,
x |
≤-2 |
]-2;0] |
]0;2] |
]2;4] |
]4;9] |
>9 |
F(x) |
0 |
0,15 |
0,3 |
0,5 |
0,9 |
1 |
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формуле:
Ответ: , .
6.7. Cлучайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал .
Решение:
Константу вычислим исходя из условия нормировки:
откуда .
Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности.
ё
Окончательно имеем
Вероятность попадания в интервал :
Математическое ожидание:
Дисперсиия:
Ответ: , , , , .
7.28. Случайная величина Х распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности g(y).
Решение:
Так как Х равномерно распределена в интервале -1, 4, то ее плотность вероятности равна:
Построим график величины для x в интервале и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:
[-, 0[ k = 0,
[0, 1] k = 2,
]1, 2] k = 1,
]2, +] k = 0.
Так как на интервалах [-, 0 [ и ]2, +] обратная функция не существует, то для этих интервалов g(y)=0.
В интервале [0,1] две обратных функции:
и
Плотность вероятности величины Y определяем по формуле:
В интервале ]1,2] одна обратная функция , следовательно:
Таким образом, плотность вероятности величины Y равна
Ответ:
8.16. Двумерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. области B. Двумерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Решение:
9. По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия 2 и критерия Колмогорова ( = 0,05).
Одномерная выборка:
3.86 2.22 -5.61 -6.08 -0.63-10.31 0.25 -2.32 0.81 -9.90 -0.81 -2.84 -3.34 -5.71 -2.85-11.09 -6.47 -6.02 -2.47 -6.82 -7.55-11.08 -6.44 -5.98 -0.61 -0.52 -6.30 -9.63 -1.98 -2.98 -0.32 -3.10 -1.16 -6.11 -7.32 -1.23 -7.22 -2.04 -5.70 -1.80 -7.28 -6.87 -2.28 -3.81 -2.04-13.50 -7.11 -7.54-11.10 -5.23 -7.29 -4.32 -5.30-13.69 -3.84 -2.62 -5.04 -9.41 -5.61 -3.97 1.77-12.05 -9.31 -4.33 -5.63 -8.83 -4.57-10.01 0.67 -2.97 -7.70 -9.83 -5.70 -6.06 -1.58 -1.48 -2.33 -4.72 -4.70 -3.54 -1.07 0.67 -2.80 -3.00 3.01 -1.50 -6.24 -1.30 -3.79 -3.19 -8.48 -4.53 -3.91 -1.28 -5.60 -3.41 -9.98 1.22 2.32 1.17
График эмпирической функции распределения F*(x):
Гистограмма равноинтервальным способом
Гистограмма равновероятностным способом
Несмещенная состоятельная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним, вычисляется по формуле
Несмещенная состоятельная оценка дисперсии равна
По виду гистограмм выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:
H0 : ,;
H1 : f(x) N(m, ).
Используя метод моментов определим оценки неизвестных параметров m и σ гипотетического (нормального) закона распределения:
,
Значение критерия вычисляем по формуле :
При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае
Теоретические вероятности pi рассчитываем по формуле:
После этого проверяем выполнение контрольного соотношения
Тогда
После этого из таблицы распределения 2 выбираем критическое значение . Так как то гипотеза H0 принимается (нет основания ее отклонить).
Теоретическая функция распределения F0(x) равномерного закона R(0,5;5,25) равна
.
Максимальная разность по модулю между графиками F*(x) и F0(x)
Z = 0,36 при х = 1,16.
Вычислим значение критерия Колмогорова
Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение Так как < 1,36 , то гипотеза о равномерном законе распределения принимается.
10. По выборке двумерной случайной величины:
- вычислить оценку коэффициента корреляции;
- вычислить параметры линии регрессии a0 и a1;
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
Двумерная выборка:
( 8.96; 11.91) ( 5.24; 5.22) ( 7.32; 10.74) ( 9.08; 8.05) ( 2.38; 3.88) ( 5.23; 5.90) ( 7.76; 9.68) ( 1.61; -1.53)
( 0.50; 3.73) ( 8.93; 6.54) ( 10.00; 6.28) ( 2.11; 4.53) ( 0.94; 4.60) ( 3.61; 6.85) ( 10.50; 8.96) ( 7.71; 5.00)
( 5.23; 8.13) ( 6.49; 7.14) ( 2.80; 4.08) ( 4.04; 3.97) ( 3.86; 5.91) ( 5.31; 3.86) ( 5.18; 4.78) ( 6.21; 6.94)
( 0.37; 3.85) ( 3.37; 3.05) ( 1.12; 3.74) ( 1.08; 6.46) ( 9.24; 4.99) ( -0.72; 0.21) ( 7.52; 4.64) ( 3.95; 8.19)
( 0.83; 4.78) ( 5.57; 6.58) ( 1.26; 3.16) ( 5.82; 0.84) ( 5.62; 4.08) ( 1.33; 5.97) ( 5.46; 8.09) ( 1.05; 4.82) ( 0.82; -1.72) ( 7.01; 9.68) ( 8.22; 6.76) ( 6.89; 9.31) ( 3.23; 6.06) ( 9.24; 5.42) ( 7.99; 10.31) ( 5.47; 6.24) ( 2.45; 0.67) ( 5.65; 7.73)