Решение:
Коэффициент корреляции найдем по формуле
Воспользуемся свойством математического ожидания
Дисперсия
2. Контрольные задачи типового расчета по
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
В данном разделе приведены задания по статистической обработке и анализу одномерных (задача №10) и двумерных (задача №11) случайных величин.
ЗАДАЧА 10.
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия χ2 и критерия Колмогорова (α = 0,05).
Решение.
Вариационный ряд
|
-5,71 |
0,70 |
|
-4,48 |
0,73 |
|
-4,09 |
0,81 |
|
-3,9 |
0,85 |
|
-3,87 |
0,93 |
|
-3,41 |
0,95 |
|
-2,78 |
0,96 |
|
-2,75 |
0,99 |
|
-2,75 |
0,99 |
|
-2,58 |
1,01 |
|
-2,47 |
1,01 |
|
-2,43 |
1,04 |
|
-2,08 |
1,06 |
|
-2,04 |
1,11 |
|
-1,96 |
1,16 |
|
-1,81 |
1,28 |
|
-1,74 |
1,32 |
|
-1,71 |
1,35 |
|
-1,57 |
1,77 |
|
-1,53 |
1,78 |
|
-1,5 |
1,81 |
|
-1,42 |
1,83 |
|
-1,34 |
1,93 |
|
-1,33 |
1,96 |
|
-1,28 |
1,98 |
|
-1,28 |
1,99 |
|
-1,24 |
2,05 |
|
-1,12 |
2,08 |
|
-1,06 |
2,22 |
|
-0,95 |
2,31 |
|
-0,87 |
2,36 |
|
-0,86 |
2,60 |
|
-0,54 |
2,74 |
|
-0,52 |
2,79 |
|
-0,45 |
2,81 |
|
-0,4 |
3,01 |
|
-0,22 |
3,13 |
|
-0,21 |
3,15 |
|
-0,13 |
3,30 |
|
0,05 |
3,43 |
|
0,08 |
3,45 |
|
0,17 |
3,96 |
|
0,19 |
4,23 |
|
0,22 |
4,26 |
|
0,28 |
4,92 |
|
0,38 |
5,04 |
|
0,41 |
5,85 |
|
0,53 |
6,10 |
|
0,57 |
6,11 |
|
0,58 |
6,27 |
Эмпирическая функция распределения
По формуле
построим график эмпирической функции
распределения
.
Так как
является неубывающей функцией
и все ступеньки графика
имеют
одинаковую величину 1/n
(или ей кратны – для одинаковых
значений), то таблицу значений эмпирической
функции распределения F*(x) можно не
вычислять, а построить ее график
непосредственно по и вариационному
ряду, начиная с его первого значения
Количество интервалов M, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки ( см. формулу (10.2)):
Для
равноинтервальной
гистограммы
величины hj,
Aj,
Bj,
рассчитаем по формуле
и заполним все колонки интервального
статистического ряда :
Шаг интервала
h=
h=(6,27+5,71)/10=1,198
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-5,710 |
-4,512 |
1,198 |
1 |
0,01 |
0,008 |
0,01 |
|
-4,512 |
-3,314 |
1,198 |
5 |
0,05 |
0,042 |
0,06 |
|
-3,314 |
-2,116 |
1,198 |
6 |
0,06 |
0,050 |
0,12 |
|
-2,116 |
-0,918 |
1,198 |
18 |
0,18 |
0,150 |
0,3 |
|
-0,918 |
0,280 |
1,198 |
15 |
0,15 |
0,125 |
0,45 |
|
0,280 |
1,478 |
1,198 |
23 |
0,23 |
0,192 |
0,68 |
|
1,478 |
2,676 |
1,198 |
14 |
0,14 |
0,117 |
0,82 |
|
2,676 |
3,874 |
1,198 |
9 |
0,09 |
0,075 |
0,91 |
|
3,874 |
5,072 |
1,198 |
5 |
0,05 |
0,042 |
0,96 |
|
5,072 |
6,270 |
1,198 |
4 |
0,04 |
0,033 |
1 |
Гистограмма равноинтервальным способом
Гистограмма равновероятностным способом
|
|
|
|
|
|
|
|
-5,710 |
-4,512 |
3,24 |
10 |
0,1 |
0,031 |
|
-4,512 |
-3,314 |
0,97 |
10 |
0,1 |
0,103 |
|
-3,314 |
-2,116 |
0,63 |
10 |
0,1 |
0,159 |
|
-2,116 |
-0,918 |
0,95 |
10 |
0,1 |
0,105 |
|
-0,918 |
0,280 |
0,62 |
10 |
0,1 |
0,161 |
|
0,280 |
1,478 |
0,31 |
10 |
0,1 |
0,323 |
|
1,478 |
2,676 |
0,80 |
10 |
0,1 |
0,125 |
|
2,676 |
3,874 |
0,55 |
10 |
0,1 |
0,182 |
|
3,874 |
5,072 |
1,09 |
10 |
0,1 |
0,092 |
|
5,072 |
6,270 |
2,82 |
10 |
0,1 |
0,035 |
Вычислим точечную оценку математического ожидания по формуле:
.
Вычислим точечную оценку дисперсии по формуле:
.
Построим доверительный
интервал для математического ожидания
с надежностью γ = 0,95 по формуле
.
Для этого в таблице
функции Лапласа найдем значение, равное
= 0,475, и определим значение аргумента,
ему соответствующее:
.
Затем вычислим
и получим доверительный интервал для
математического ожидания:
.
Построим
доверительный
интервал для дисперсии с
надежностью γ = 0,95 по формуле
.
Вычислим
и получим доверительный интервал для
дисперсии:
.
По виду гистограммы выдвинем гипотезу о нормальном распределении СВХ. Проверим гипотезу о нормальном распределении СВХ при помощи критерия χ2
Н0:
F(x)=F0(x),
Н1:
F(x)≠F0(x),
Где F0(x),
–
теоретическая функция и плотность
распределения
,
Где
,
χ2=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4,512 |
0 |
0,0180 |
0,0180 |
0,01 |
0,00357 |
|
-4,512 |
-3,314 |
0,0180 |
0,0552 |
0,0372 |
0,05 |
0,00440 |
|
-3,314 |
-2,116 |
0,0552 |
0,1366 |
0,0814 |
0,06 |
0,00561 |
|
-2,116 |
-0,918 |
0,1366 |
0,2758 |
0,1392 |
0,18 |
0,01196 |
|
-0,918 |
0,280 |
0,2758 |
0,4621 |
0,1864 |
0,15 |
0,00709 |
|
0,280 |
1,478 |
0,4621 |
0,6574 |
0,1952 |
0,23 |
0,00619 |
|
1,478 |
2,676 |
0,6574 |
0,8175 |
0,1601 |
0,14 |
0,00252 |
|
2,676 |
3,874 |
0,8175 |
0,9202 |
0,1027 |
0,09 |
0,00157 |
|
3,874 |
5,072 |
0,9202 |
0,9717 |
0,0516 |
0,05 |
0,00005 |
|
5,072 |
|
0,9717 |
1 |
0,0283 |
0,04 |
0,00484 |
|
|
|
|
сумма |
1 |
1 |
0,04779 |
χ2=100*0.048=4,8
По таблице найдем критическое значение критерия χ2кр(7;0,05)=14,1, так как χ2кр> χ2 то гипотеза о нормальном распределении СВ Х принимается.
Проверим гипотезу о нормальном распределении СВ Х при помощи критерия Колмогорова
Н0: F(x)=F0(x)
Н1: F(x)≠F0(x)
Где F0(x)– теоретическая функция распределения
Вычислим значение критерия Колмогорова по формуле:
Из таблицы
Колмогорова по заданному уровню
значимости
=0,05 выбираем критическое значение
Так
как
,
то гипотезу
о нормальном законе распределения
отвергать нет основания.
ЗАДАЧА 11.
По выборке двухмерной случайной величины:
- вычислить оценку коэффициента корреляции;
- вычислить параметры линии регрессии a0 и a1;
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.