Задача 8.34

В задачах 8.1-8.40 (конкретные параметры приведены в табл. 8.1) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Рис. 8.1

x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
0	2	4	5	5	6	1	2

Решение:

1. Построим область B согласно координатам из таблицы и рисунка 8.1.

Проанализируем рисунок : область B ограничена сверху прямой y=2 , снизу y=0 ; слева прямой y=x , справа прямой y=6-x .

Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид:

2. Найдём константу из условия нормировки:

Таким образом:

3. Вычислим математические ожидания:

4. Вычислим дисперсии:

5)Вычислим корреляционный момент:

2

6)Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:

Ответ:

Задача 9.38

В задачах 9.1-9.40 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

.

Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. 9.1.

Вариант	a0	a1	a2	b0	b1	b2	m1	m2	m3	D1	D2	D3	K12	K23	K13
9.38	9	7	8	-5	5	1	0	6	0	16	16	9	8	6	6

Решение:

Корреляционный момент равен:

=52

Ответ: ; ; ; ;

Контрольная работа №2. Математическая статистика

Задача 10.79

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия ² и критерия Колмогорова ( = 0,05). График гипотетической функции распределения F₀(x) построить совместно с графиком F^*(x) в той же системе координат и на том же листе.

Одномерная выборка № 79:

-2.40 -5.01 -4.45 -4.82 -4.43 -2.38 -5.75 -1.63 -4.29 -1.52 -4.47 -1.67 -4.62 -1.39 -4.65 -5.11 -3.37 -0.83 -2.38 -2.81 -3.03 -1.37 -2.78 -4.14 -3.73 -2.74 -1.03 -2.53 -6.11 -1.87 -2.88 -4.23 -3.10 -4.53 -1.63 -1.93 -0.71 -1.16 -1.18 -4.72 -4.64 -3.43 -4.82 -3.28 -4.39 -5.66 -5.94 -1.36 -1.56 -4.40 -4.44 -1.08 -4.10 -5.05 -3.51 -2.56 -2.28 -5.00 -1.96 -3.89 -3.01 -3.52 -1.55 -3.13 -5.94 -2.42 -2.36 -2.13 -0.75 -5.44 -2.80 -5.48 -1.46 -5.82 -2.55 -6.08 -2.84 -0.83 -5.39 -3.89 -1.47 -3.25 -6.20 -1.77 -3.12 -1.05 -1.22 -5.01 -4.15 -1.47 -3.03 -5.15 -0.93 -1.02 -0.90 -5.78 -1.02 -3.38 -2.69 -5.99

Решение:

1. Получим вариационный ряд из исходного:

2. Построим график эмпирической функции непосредственно по вариационному ряду, так как F^*(x) – неубывающая и практически все ступеньки графика имеют одинаковую величину (Рисунок 10,1).

Рисунок 10.1

3. Построим гистограмму равноинтервальным способом (рисунок 10,2).

Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая что длина у всех интервалов должна быть одинаковая.

- количество интервалов;

- ширина интервала;

- частота попадания СВ X в j-ый интервал;

- статистическая плотность в j-ом интервале.

Таблица 1 – Интервальный статистический ряд

j	Aj	Bj	hj	vj	pj*	fj*
1	-6,2	-5,65	0,549	10	0,1	0,182
2	-5,65	-5,1	0,549	5	0,05	0,091
3	-5,1	-4,55	0,549	10	0,1	0,182
4	-4,55	-4	0,549	12	0,12	0,218
5	-4	-3,45	0,549	5	0,05	0,091
6	-3,45	-2,91	0,549	11	0,11	0,200
7	-2,91	-2,36	0,549	15	0,15	0,273
8	-2,36	-1,81	0,549	5	0,05	0,091
9	-1,81	-1,26	0,549	13	0,13	0,236
10	-1,26	-0,71	0,549	14	0,14	0,255

X

f^*(x)

Рисунок 10.2

4. Построим гистограмму равновероятностным способом (рисунок 10,3).

Для построения гистограммы составим интервальный статистический ряд, учитывая что частота попадания СВ X в в каждый j-ый интервал должна быть одинаковая (Таблица 2).

Таблица 2 – Интервальный статистический ряд

j	Aj	Bj	hj	vj	pj*	fj*
1	-6,2	-5,57	0,63	10	0,1	0,158
2	-5,57	-4,82	0,75	10	0,1	0,133
3	-4,82	-4,42	0,405	10	0,1	0,247
4	-4,42	-3,63	0,79	10	0,1	0,126
5	-3,63	-3,06	0,56	10	0,1	0,178
6	-3,06	-2,63	0,44	10	0,1	0,227
7	-2,63	-2,04	0,58	10	0,1	0,172
8	-2,04	-1,5	0,55	10	0,1	0,182
9	-1,5	-1,06	0,43	10	0,1	0,232
10	-1,06	-0,71	0,35	10	0,1	0,281

f^*(x)

X

Рисунок 10,3

5. Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

6. Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95):

7. По виду графика эмпирической функции распределения и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины X:

H₀ – величина X распределена по экспоненциальному закону:

H₁ – величина X не распределена по экспоненциальному закону

Таким образом получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:

Проверим гипотезу об экспоненциальном законе по критерию Пирсона . Вычислим значение критерия на основе равноинтервального статистического ряда:

Теоретические вероятности попадания в интервалы вычислим по формуле:

Таблица 6 – Результаты расчётов

1	-6,2	-5,65	0	0,09	0,09	0,1	0,001111
2	-5,65	-5,1	0,09	0,14	0,05	0,05	3,85E-33
3	-5,1	-4,55	0,14	0,25	0,11	0,1	0,000909
4	-4,55	-4	0,25	0,365	0,115	0,12	0,000217
5	-4	-3,45	0,365	0,415	0,05	0,05	3,85E-33
6	-3,45	-2,91	0,415	0,535	0,12	0,11	0,000833
7	-2,91	-2,36	0,535	0,67	0,135	0,15	0,001667
8	-2,36	-1,81	0,67	0,725	0,055	0,05	0,000455
9	-1,81	-1,26	0,725	0,86	0,135	0,13	0,000185
10	-1,26	-0,71	0,86	0,99	0,13	0,14	0,000769
Сумма:					1	1	0,006147

Проверим правильность вычислений :

Вычислим критерий Пирсона:

Определим число степеней свободы:

Выбираем критическое значения критерия Пирсона из таблицы для степени свободы и заданного уровня значимости :

Так как условие выполняется, то гипотеза H₀ об экспоненциальном законе распределения принимается (нет оснований ее отклонить).

8) Проверим гипотезу при помощи критерия Колмогорова. Для этого построим график гипотетической функции распределения в одной системе координат с эмпирической функцией (рисунок 10,1). В качестве опорных точек используем 10 значений из таблицы 1. По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями и :

Вычислим значение критерия Колмогорова:

Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости выбираем критическое значение критерия:

Так как условие выполняется, гипотеза H­₀ об экспоненциальном законе распределения принимается (нет оснований ее отклонить).