![](/user_photo/_userpic.png)
- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения для самостоятельной работы
78.
Вычислить интеграл
,
если
а)
отрезок действительной оси от точки
до
;
б)
полуокружность
,
.
79.
Вычислить
,
если
а)
отрезок прямой, соединяющий точки
и
;
б)
дуга окружности
от точки
до точки
;
в)
замкнутый контур:
,
.
80.
Вычислить интеграл
.
81.
Вычислить
,
если
а)
точки
вне контура
;
б)
точка
лежит внутри, а
вне контура
;
в)
точка
лежит внутри, а
вне контура;
г)
точки
лежат внутри контура
.
82.
Вычислить интеграл
,
где
окружность с центром в точке
и радиусом
.
83.
Вычислить
.
84. Вычислить:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
6. Ряды в комплексной области
6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
,
(6.1)
где
,
есть числовой ряд с комплексными членами.
Если
сходится ряд
,
то сходится и ряд (6.1), называемый в этом
случае абсолютно сходящимся.
Сходимость
ряда (6.1) с комплексными членами
эквивалентна сходимости рядов
и
с действительными членами. В силу этого
ряд теорем, относящихся к рядам с
действительными членами, в том числе
признаки сходимости, переносятся на
ряды с комплексными членами.
Функциональный ряд вида
,
(6.2)
где
,
комплексные числа,
комплексное переменное, называетсястепенным
рядом по
степеням
.
В частности, при
имеем ряд
по степеням
.
Как
следует из теоремы Абеля, областью
степенного ряда (6.2) является круг
с центром в точке
,
радиус
которого может быть определен применением
признаков Даламбера и Коши. Приведем
их формулировки.
Признак
Даламбера. Если
существует конечный предел
,
то при
ряд (6.1) сходится абсолютно, а при
расходится (при
расходится не только ряд
,
но и ряд (6.1)).
Признак
Коши. Для
числового ряда (6.1) положим
.
Тогда, если
,
то ряд сходится абсолютно, если
ряд расходится.
Обобщением
степенного ряда (6.2) является ряд по
целым отрицательным степеням
вида
(6.3)
Областью
сходимости этого ряда является внешность
круга
,
где
определяется также с помощью признаков
Даламбера и Коши.
6.2. Ряды Тейлора и Лорана
Функция
,
однозначная и аналитическая в точке
,
разлагается в окрестности этой точки
в степенной ряд
,
(6.4)
коэффициенты которого определяются по формулам
или
.
(6.5)
Этот
ряд называется рядом Тейлора для функции
.
Радиус
круга сходимости
ряда Тейлора (6.4) - (6.5) равен расстоянию
от точки
до ближайшей к
особой точки функции
(особая точка – это такая точка, в которой
функция не является аналитической).
Приведем
разложения в ряды Тейлора некоторых
элементарных функции в окрестности
точки
.
,
,
,
,
,
(6.6)
,
.
Функция
,
однозначная и аналитическая в кольце
(не исключаются случаи, когда
),
разлагается в этом кольце в обобщенный
степенной ряд
,
(6.7)
коэффициенты которого определяются по формулам
.
(6.8)
Этот
ряд называется рядом
Лорана
функции
.
В
формуле (6.7)
называетсяглавной
частью ряда Лорана,
а ряд
называетсяправильной
частью ряда Лорана.
Формула
(6.8) малоудобна для вычисления коэффициентов
ряда Лорана, поэтому часто для разложения
функции в ряд Лоран пользуются
искусственными приемами, которые будут
рассмотрены на примерах. Ряды Тейлора
и Лорана функции
определяются единственным образом. Эти
ряды в области сходимости можно почленно
дифференцировать и интегрировать.