- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения для самостоятельной работы
91. Исследовать на сходимость ряды:
а) ;
б) ;
в) .
92. Найти область сходимости рядов:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
93. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и найти радиус сходимости:
а) ,;
б) ,;
в) ,.
94. Разложить функцию в ряд Лорана в указанной области:
а) ,;
б) ,;
в) ,;
г),.
7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
7.1. Классификация изолированных особых точек
Точки плоскости , в которых однозначная функцияявляется аналитической, называютправильными точками функции, а точки, в которых функция не является аналитической, называют особыми точками (в частности, точки, в которых не определена).
Точка называетсяизолированной особой точкой функции , еслианалитична в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки.
В зависимости от проведения функции в окрестности особой точки различают три типа особенностей.
Изолированная особая точка функцииназывается:
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
, (7.1)
б) полюсом, если
, (7.2)
причем полюсом -го порядка, если
, (7.3)
и простым полюсом при ;
в) существенно особой точкой, если не существует (ни конечный, ни бесконечный).
7.2. Ряды и особые точки
Имеют место следующие утверждения:
1. Для того, чтобы изолированная особая точка функциибыла устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложениев окрестности точкине содержало главной части, т.е. имело вид
. (7.4)
2. Для того, чтобы изолированная особая точка функциибыла полюсом-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала лишь конечное числочленов
, . (7.5)
3. Для того, чтобы изолированная особая точка функциибыла существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала бесконечно много членов.
7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
Точка называетсянулем функции , если. Точканазываетсянулем порядка , если
, а. (7.6)
Ряд Тейлора в окрестности точки нуля порядкафункцииимеем вид
Теорема. Для того, чтобы точка была нулем порядкафункции, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
, (7.7)
где аналитична в точкеи.
Для определения порядка нуля функции полезно помнить, что если нуль порядкадляи нуль порядкадля, тонуль порядкадля произведения, порядка(при) для частного;правильная точка, не являющаяся нулем прии особая точка при.
Теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядкадля функции, необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядкадля функции.
7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
Под точкой понимают абстрактную точку плоскости, окрестностью которой, является множество чисел, удовлетворяющих неравенству, гделюбое действительное положительное число. Ряд Лорана функциив окрестности точкиопределяют с помощью замены переменнойдля функциив окрестности точки. Ряд Лорана в окрестности точкиимеет вид
,
где главная часть,
правильная часть.
Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает возможность классифицировать ее особенности в этой точке.
Точка называетсяустранимой особой точкой функции, если , где.
Ряд Лорана в этом случае не содержит положительных степеней
.
Точка называетсяполюсом функции, если .
Если ряд Лорана в окрестности содержит конечное числоположительных степеней:
,
то точка называется полюсом порядка.