- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения для самостоятельной работы
62. Выяснить, дифференцируемы ли следующие функции. В случае дифференцируемости найти производную:
а) : б)в); г).
63. Выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими хотя бы в одной точке, а какие – нет:
а) : б)в).
64. Показать, что условия Коши-Римана в полярных координатах имеют вид , и проверить выполнение этих условий для функций: а): б). Являются ли эти функции аналитическими и где?
65. Найти аналитическую функцию в области по действительной или мнимой части:
а) ; б); в).
66. Найти коэффициент подобия и угол поворотапри отображении с помощью функциив точках:
а) б).
67. Найти коэффициент подобия и угол поворота при отображении в данной точке
а) б).
68. Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая – сжимается при отображении с помощью функции .
69. Является ли конформным отображение:
а) , б); в).
5. Интегрирование функции комплексного переменного
5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
Пусть в области плоскостизадана однозначная непрерывная функцияи пустькусочно-гладкая направленная кривая, принадлежащаявместе со своими концамии.
По определению полагают
, (5.1)
где произвольная точка элементарной дугипри произвольном разбиении дугиначастей точками.
При данных условиях интеграл от функции вдоль кривой, как предел интегральной суммы (5.1), существует.
Вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных интегралов 2-го рода по формуле
. (5.2)
Из формулы (5.2) следует, что на интегралы от функции комплексного переменного распространяются известные свойства криволинейных интегралов.
Если кривая задана параметрическими уравнениями , что равносильно одному уравнению в комплексной форме, то имеет место удобная для вычисления интеграла формула
(5.3)
5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
Интеграл , вообще говоря, зависит от пути интегрирования. Условием независимости интеграла от пути интегрирования является аналитичность подынтегральной функции.
Важную роль в теории функций комплексного переменного играет интегральная теорема Коши. Приведем две формулировки теоремы для одно- и многосвязной областей.
Пусть кусочно-гладкая замкнутая кривая, будем ее называть замкнутым контуром.
Теорема Коши (для односвязной области). Пусть функция аналитична в односвязной области, тогда для любого замкнутого контура(рис.5.1) имеет место равенство
. (5.4)
Теорема Коши (для многосвязной области). Пусть аналитична в многосвязной области, ограниченной внешним контуроми внутренними контурами. Тогда имеет место равенство
(5.5)
при условии, что интегрирование по всем контурам производится против часовой стрелки (рис.5.2).
Как следствие последней теоремы (для двусвязной области) следует отметить утверждение: если аналитична в областивсюду, кроме, то
, (5.6)
где ипроизвольные контуры в, содержащие особую точку(рис.5.3).
Рис.5.1 |
Рис.5.2 |
Для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница
, (5.7)
где первообразная для, т.е.. Этой формулой можно пользоваться для вычисления интеграла вдоль пути, лежащего в односвязной области, гдеаналитична, если известна первообразная для.
Рис.5.3
|
Техника нахождения неопределенных интегралов в комплексном анализе та же, что и в действительном, таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова.
|