![](/user_photo/_userpic.png)
- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения для самостоятельной работы
В задачах 28 – 34 определить и изобразить линии, точки которых удовлетворяют уравнениям.
28.
. 29.
.
30.
, 31.
,
.
.
32.
. 33.
.
34.
.
В задачах 35 – 40 найти множества точек комплексной плоскости, которые определяются неравенствами.
35.
. 36.
.
37.
. 38.
.
39.
. 40.
.
3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
Говорят,
что на множестве
точек плоскости
задана функция
,
если каждой точке
поставлено в соответствие одно
(однозначная функция) или несколько
(многозначная функция) значений
комплексного переменного
.
Мы будем рассматривать только такие
функции, для которых множества
и
являются областями, причем
называетсяобластью
определения, а
областью
значений функции
.
Задание
функции комплексного переменного
равносильно заданию двух функций
действительных переменных
,
:
,
(3.1)
где
,
.
Это позволяет свести изучение функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных.
Геометрически
заданную на D
однозначную
функцию
можно рассматривать как отображение
точек областиD
плоскости
z
в некоторую
область G
плоскости
w.
В этом
отображении и проявляются свойства
функции
(рис. 3.1).
Точки
z,
линии
,
области
называют прообразами точек
,
линий
и областей
соответственно, аw,
,
называют образами при отображении
.
Если
в плоскости z
кривая
задана неявным уравнением
,
то для нахождения уравнения ее образа
в плоскостиw
при отображении, осуществляемом функцией
,
достаточно
исключить
x
и y
из уравнений
Рис.3.1 |
Если
кривая
задана параметрически уравнениями
или
,
,
то можно получить параметрические
уравнения
,
представив действительную и мнимую
части
как функции параметраt:
.
Комплексное
число
называетсяпределом
функции
при
,
если для любого
найдется
такое, что для всех
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Существование
,
где
,
равносильно существованию
и
,
причем
.
Функция
называетсянепрерывной
в точке
,
если она определена в точке
и ее окрестности и
,
где
конечное
комплексное число.
Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в этой области.
Для
того, чтобы функция
была непрерывна в точке
,
необходимо и достаточно, чтобы ее
действительная и мнимая части были
непрерывными функциями в точке
.
Отметим, что понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного. Свойства пределов и непрерывных функции действительного переменного остаются в силе для функций комплексного переменного.
Приведем некоторые элементарные функции комплексного переменного.
1. Дробно - рациональная функция
,
.
(3.2)
в
частности, многочлен
.
2. Показательная функция
,
(3.3)
которая
в отличие от функции действительного
переменного является периодической
функцией с периодом
,
т.е.
.
3. Тригонометрические функции
,
,
(3.4)
,
(3.5)
Для
тригонометрических функций остаются
в силе все формулы тригонометрии. В
отличие от тригонометрических функций
действительного аргумента модули
функции
и
могут быть больше 1.
4. Гиперболические функции
,
,
(3.6)
,
.
(3.7)
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:
.
(3.8)
5. Логарифмическая функция
(3.9)
Из
(3.9) видно, что логарифмическая функция
– функция многозначная, ее значения
для данного значения z
отличаются друг от друга на число
.
Значение логарифма, соответствующее
,
называетсяглавным
и обозначается
(3.10)
Логарифмическая функция комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного.
6. Обобщенные степенная и показательная функции
,
(3.11)
где a – любое комплексное число;
,
(3.12)
где
.
В
силу многозначности логарифма, выражение,
определяемое равенством (3.12), многозначно.
Его главным значением называется то,
которое получается при подстановке в
правую часть (3.12)
вместо Lna.
УПРАЖНЕНИЯ
41.
Выделить действительную и мнимую части
функции
.
Решение.
Пусть
.
Тогда по определению показательной
функции (3.2) имеем
,
откуда
,
.
42.
Найти значение функции
в точке
,
иначе говоря, найти образ точки
при отображении
.
Решение.
Используя формулы привидения и (3.8),
находим
,
.
Этот
пример показывает, что функция
в комплексной области может принимать
значения, больше единицы по модулю.
43.
Найти корни уравнения
и изобразить их на плоскости.
Решение.
По определению
функции
,
из (3.4) имеем
,
откуда
.
Полученное квадратное уравнение
относительно
имеет корни
.
Следовательно, в силу определения
логарифмической функции (3.9) с учетом
(3.10) получаем
,
. Отсюда определяем
:
,
.
Итак, получены две серии корней
,
,
(
).
Учитывая, что
,
вторая серия корней
перепишется в виде
.
|
|
Таким
образом, корнями данного уравнения
являются точки, расположенные на прямых,
параллельных действительной оси
и отстоящих от нее на расстоянии
(рис. 3.2).
При
изображении чисел учтено, что
.
44.
При отображении
найти:
а)
образ прямой линии
;
б)
образы прямоугольной сетки, т.е. прямых,
параллельных осям координат:
,
;
в)
образ линии
,
;
г)
образ области
,
,
;
д)
образ области
внутренность треугольника с вершинами
в точках 0; 1;
.
Решение.
а) Линия
прямая, заданная уравнением в действительных
переменных, от которого можно перейти
к параметрическим уравнениям
,
.
Полагая
,
определим действительную и мнимую части
функции
:
,
.
Для
того, чтобы найти уравнение образа
данной прямой
,
исключим
из уравнений
,
в результате чего получим параметрические
уравнения
:
.
Если из полученных уравнений
исключить параметр
,
то придем к уравнению образа в плоскости
в действительных переменных
и
:
.
Как видно, искомый образ есть парабола
(рис. 3.3);
|
|
Рис.3.3
б)
Чтобы найти образы семейства прямых
,
подставим вместо
его значение в действительную и мнимую
части функции
:
,
.
Исключив отсюда
,
получим
семейство парабол, симметричных
относительно оси
,
вершины которых находятся на положительной
части этой оси, а ветви направлены в
сторону отрицательной части оси
(рис. 3.4). В частности, при
и
соответственно имеем
и
.
Мнимая
ось
плоскости
отобразится в линию
.
Второе
из равенств указывает, что образ прямой
на оси
,
а из первого равенства следует, что
может принимать лишь отрицательные
значения. Следовательно, мнимая ось
плоскости
отображается на отрицательную часть
действительной оси плоскости
:
.
Семейство
прямых
отображается в семействе кривых
или
.
|
|
Рис.3.4
Получим
семейство парабол симметричных
относительно оси
.
Вершины
находятся на отрицательной части
,
направление ветвей совпадает с
положительным направлением оси
(рис.3.4). В частности, при
имеем
.
При
получаем
.
Это значит, что действительная ось
плоскости
отображается в положительную часть
действительной оси плоскости
:
.
Итак,
сетка прямых
линий, отразится в «сетку» параболических
кривых в плоскости
.
|
|
Рис.3.5
в)
Линия
полуокружность верхней полуплоскости
с центром в начале координат и радиусом
.
Уравнение кривой запишем в
комплексно–параметрической форме
,
где
.
Тогда
,
откуда следует, что
.
Значит, при отображении
точки, лежащие на полуокружности
плоскостиz,
перейдут в
точки, лежащие на окружности
плоскости
(рис.3.5).
г)
Для отыскания образа
области
можно найти образ
ее границы (если область замкнутая или
ограниченная), а затем выяснить
расположение искомой области относительно
ее границы. Ели произвольная точка
переходит в точку
,
лежащую внутри контура
,
то область
есть ограниченная область – множество
точек плоскости
,
лежащих внутри контура. Если точка
переходит в точку
,
лежащую вне контура, то область
есть область неограниченная, расположенная
вне линии
.
По условию область
плоскости
есть четверть круга в первой четверти
координатной плоскости (рис.3.6).
|
|
Рис.3.6
Как
было показано в предыдущих пунктах б)
и в) задачи, мнимая ось
переходит в отрицательную полуось
,
действительная ось
– в положительную полуось
,
а дуга
окружности плоскостиz
переходит в полуокружность
верхней полуплоскости
.
На
основании этого можно заключить, что
образом контура
плоскости
является контур
плоскости
(рис.3.6). Чтобы убедиться в этом, четверть
круга
отображается в верхний полукруг:
,
покажем, что произвольная точка области
переходит в точку полукруга
.
Например, при
,
т.е.
.
д)
область
изображена на рис 3.7,а. Найдем последовательно
образы участков границы области
,
при условии, что
,
.
a)
|
б)
|
Рис.3.7
Отрезок
,
уравнение которого
,
причем
,
имеет
своим
образом линию:
.
Легко установить, что это есть часть
параболы
,
т.к.
(рис.3.7, б).
Отрезок
,
уравнение которого
,
где
,
имеет своим образом линию:
,
откуда имеем
,
причем
,
(рис.3.7, б).
Отрезок
:
,
отображается в отрезок оси
,
так как
и
(рис.3.7, б).
Чтобы
показать, откуда переходит внутренность
треугольника
,
возьмем точку
.
Найдем
соответствующие значения
.
Таким образом, отображением прямолинейного
треугольника плоскости
,
осуществляемого функцией
,
является криволинейный треугольник
плоскости
,
представленный на рис.3.7, б.
45.
Отобразить с помощью функции
декартову координатную сетку.
Решение.
Введем на плоскости
декартовы, а на плоскости
полярные
координаты, т.е. положим
.
По определению показательной функции
имеем
(по
формуле Эйлера)
.
Следовательно,
.
(3.13)
Найдем
образы координатных линий
.
Из равенства (3.13) имеем
.
(3.14)
Когда
точка
пробегает прямую
,
ее образ, как следует из системы (3.14),
пробегает окружность, причем бесконечно
много раз. В силу периодичности
показательной функции
рассмотрим изменение ее аргумента в
промежутке
,
что соответствует изменению
в том же интервале. Тогда образами
отрезков
,
являются окружности радиуса
с центром в начале координат, пробегаемые
один раз (рис.3.8).
|
|
Рис.3.8
Найдем
теперь образы координатных прямых
,
и пусть
.
В силу равенства (3.13) имеем
.
(3.15)
Из
системы (3.15) следует: когда точка
пробегает прямую
,
точка
пробегает луч
,
исходящий из начала координат
(рис.3.8).
Итак,
функция
отображает прямые, параллельные мнимой
оси
,
в окружности с центром в начале координат,
а прямые, параллельные действительной
оси
,
в лучи, выходящие из начала координат,
иначе говоря, декартова прямоугольная
сетка отображается в полярную координатную
сетку. При этом заштрихованный
прямоугольник
,
(
)
плоскости
отображается в заштрихованную часть
кольца плоскости
(рис. 3.8).
46.
Показать, что
не существует.
Решение.
Пусть точка
стремится к нулевой точке по оси
.
Тогда
и
.
Пусть теперь
по оси
.
Тогда
,
и
.
Таким образом, пределы по двум направлениям
различны, и, следовательно,
не существует.
47.
Вычислить
.
Решение.
.
.