- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения
Решить уравнение .
Решение. 1-й способ: .
,,.
2-й способ: В результате подстановки в данное уравнение имеем, откуда после преобразований получим систему уравнений. Решая систему, получим,.
Найти и, если.
Решение: , откуда,.
Выяснить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисели.
Решение: .
Следовательно, есть расстояние между точками, и(рис. 1.2).
Рис.1.2 |
Если изобразить комплексное число с помощью вектора, то действительная и мнимая части вектора являются координатами вектора, а так как при вычитании векторов их координаты соответственно вычитаются, то вычитание комплексных чисел |
сводится к вычитанию векторов, изображающих эти числа.
Как видно из рис. 1.2, есть длина вектора, т.е. расстояние между точками, изображающими числаи.
Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа , представить его в тригонометрической и показательной формах.
Решение. По определению модуля . Так как значения аргументаудовлетворяют соотношению, то. Итак,,и согласно (1.6) и (1.12) имеем,.
Для комплексных чисел и, вычислитьи, представив их вначале в тригонометрической форме.
Решение. , . Применяя формулы (1.7) и (1.8), получим
Вычислить .
Решение. Запишем число в тригонометрической форме. По формуле (1.9) имеем
.
Вычислить и изобразить на комплексной плоскости все значения .
Решение. Представим в тригонометрической форме (1.6), для чего найдем модуль и главное значение аргумента,. Имеем.
Применяя формулу (1.10), найдем 3 значения корня, содержащихся в формуле , где. Воспользовавшись показательной и тригонометрической формами числа (1.6), (1.12), получаем
при ,
при ,
при .
Точки ,,образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в начале координат (рис. 1.3).
Решить уравнение .
Решение. Нахождение всех корней уравнения сводится к задаче: найти все значения корня . Для чего запишем числов показательной формеи применим формулу (1.16), где.
При , откуда следует, что,.
При , откуда следует, что,.
При ,,.
При ,,.
Рис.1.3
|
Рис.1.4 |
Как видно из рис. 1.4, точки ,,,комплексной плоскости лежат в вершинах квадрата (на окружности радиусас центром в начале координат).
Упражнения для самостоятельной работы
Выполнить основные четыре действия алгебры над комплексными числами и.
Найти действительные решения уравнения
.
Найти середину отрезка, соединяющего точки и.
Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках ,,. Найти четвертую вершину.
Показать, что ,.
Изобразить на комплексной плоскости числа ,. Найти их модули и аргументы.
Изобразить на комплексной плоскости числа
а) ; б); в);
г) ; д); е)
и вычислить их модули и главные значения аргумента.
Представить в показательной форме числа
; ;;.
Найти модуль и аргумент числа , если.
Вычислить .
Решить уравнение .
2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
Линии и области на комплексной плоскости мы рассматриваем как множество точек, обладающих определенными свойствами и удовлетворяющих определенным уравнениям или системе уравнений, неравенствам или системе неравенств.
Параметрические уравнения кривой в действительных переменных
в комплексной плоскости могут быть заменены одним уравнением
, (2.1)
которое называется параметрическим или уравнением кривой в комплексной форме.
Если кривая задана в неявном виде , то путем подстановки в это уравнение выражений
(2.2)
получим уравнение кривой в комплексной форме .
При решении задач по определению и изображению линии и областей в комплексной плоскости следует помнить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел (см. упражнение 2). Рассматривая как расстояние между двумя точками и плоскости, достаточно легко задавать аналитически линии и области.