![](/user_photo/_userpic.png)
- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения
55.
Показать, что функция
дифференцируема и аналитична во всей
комплексной плоскости. Вычислить ее
производную.
Решение.
Найдем
и
.
По определению имеем
.
Следовательно,
.
,
,
Откуда
,
.
Как
видно, частные производные непрерывны
на всей плоскости, и функции
и
дифференцируемы в каждой точке плоскости.
Условия
выполняются. Следовательно,
дифференцируема в каждой точке плоскости,
а значит, и аналитична на всей плоскости
.
Поэтому производную можно найти по
одной из формул (4.3):
.
Наконец,
производная может быть найдена по
правилам формального дифференцирования:
.
56. Выяснить, является ли аналитической функция:
а)
;
б)
?
Решение.
а) Так как
,
то
,
откуда
.
Как видно, первое условие
(4.2) не выполняется ни при каких
и
.
Следовательно, функция не дифференцируема
ни в одной точке плоскости, а поэтому и
не аналитична.
б)
Имеем
.
Функция
и
дифференцируемы в каждой точке плоскости,
ибо их частные производные
непрерывны во всей плоскости. Но условия
не выполняются ни в какой точке плоскости,
кроме точки
,
где все частные производные равны нулю.
Следовательно, функция
дифференцируема только в одной точке,
но не является аналитической в ней, так
как по определению требуется
дифференцируемость в окрестности данной
точки.
Таким
образом, функция
не является аналитической ни при каком
значении
.
Из приведенного примера ясно, что
аналитичность функции в точке более
сильное требование, чем дифференцируемость
ее в этой точке.
57.
Существует ли аналитическая функция,
для которой
?
Решение.
Проверим, является ли функция
гармонической. С этой целью находим
,
и
.
Из последнего соотношения следует, что
не может быть действительной, а также
и мнимой частью аналитической функции.
58.
Найти, если это возможно, аналитическую
функцию по ее действительной части
.
Решение.
Прежде
проверим, является ли функция
гармонической. Находим
,
,
,
и
.
Гармоническая на всей плоскости функция
сопряжена с
условиями Коши-Римана
,
.
Из этих условий получаем
,
.
Из первого уравнения системы находим
интегрированием по
,
считая
постоянным.
,
где
произвольная функция, подлежащая
определению. Найдем отсюда
и приравняем к выражению
,
ранее найденному:
.
Получим дифференциальное уравнение
для определения функции
,
откуда
.
Итак,
.
Тогда
.
59.
Восстановить аналитическую функцию
по известной ее мнимой части
и при дополнительном условии
.
Решение.
Опуская проверку данной функции на
гармоничность, находим
,
.
Следовательно,
.
Дифференцируя
по
,
получим
.
Но с другой стороны, по второму из условий
(C.
- R.)
.
Сопоставляя последние два равенства,
получим дифференциальное уравнение
относительно функции
,
откуда следует, что
и
.
Итак,
,
следовательно,
или
.
Как видно из приведенных примеров аналитическая функция определяется по своей действительной или мнимой части с точностью до произвольной постоянной. Задание дополнительного условия – значения функции в точке позволяет определить аналитическую функцию единственным образом.
По
условию
,
воспользуемся этим для определения
,
откуда
и
.
60.
Найти коэффициент подобия
и угол поворота
в точке
при отображении
:
а)
,
; б)
,
.
Решение.
а) Найдем
и ее частное значение в точке
.
Значит, коэффициент подобия
,
т.е. отображение производится сжатие в
точке
,
а
,
т.е. в данной точке происходит вращение
на угол
по часовой стрелке.
б)
,
откуда следует, что коэффициент растяжения
,
а угол поворота
.
61.
Каково отображение, осуществляемое
функцией
?
Решение.
.
Функция аналитична во всей плоскости,
но в точке
.
Поэтому отображение, осуществляемое
этой функцией, конформно во всех точках,
за исключением точки
.
Так как
,
то лучи
и
,
выходящие из точки
и образующие между собой угол
,
отображаются соответственно в лучи
и
,
образующие между собой угол
.
Поэтому в точке
конформность отображения нарушается
в силу того, что нарушается свойство
консерватизма углов: углы не сохраняются,
а утраиваются.