- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения
85. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. К ряду из абсолютных величин членов данного ряда применим признак Даламбера:
.
Следовательно, ряд расходится.
86. Найти радиус и круг сходимости рядов:
а) б).
Решение. а) Применим признак Коши к ряду из абсолютных величин данного ряда
.
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, для всех . Роль круга сходимости выполняется вся плоскость, радиус сходимости.
б) По признаку Даламбера имеем
Отсюда заключаем, что ряд сходится абсолютно в области , т.е. в круге радиусас центром в точке
87. Найти область сходимости ряда .
Решение. Рассмотрим отдельно ряды по положительным и отрицательным степеням . Рядможно рассматривать как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателемТакой ряд сходится при условии, т.е. в кругерадиуса. Для ряда
, где
Применяя признак Даламбера, получаем
, откуда , т.е.
областью сходимости ряда по отрицательным степеням является внешность круга радиусас центром в точке.
Таким образом, данный степенной ряд Лорана сходится в кольце .
88. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точкии указать радиус сходимости:
а) ;
б) ;
в) .
Решение. а) Воспользуемся известным разложением для (формулы (6.6)); с этой целью преобразуем функцию к виду. Заменяя в разложениина, получим следующий ряд Тейлора, для которого радиус сходимости.
б) Выделим в дроби целую часть, а затем знаменатель правильной дроби преобразуем так, чтобы в нем было слагаемое . Используя разложение функции(формулы (6.6) ), получим
.
Радиус сходимости . Так как ближайшая особая точкаудалена от центра круга сходимостина расстоянии, равном 3.
в) Представим данную функцию следующим образом:
.
Тогда
.
89. Разложить в ряд Лорана функцию по степеням(приняв).
Решение. Функция не аналитична в точкахи. Следовательно, можно выделить три кольца с центром в точке, в каждом из которыхявляется аналитической:
а) круг
б) кольцо
в) внешность круга.
Разложим функцию на сумму простейших дробей
.
а) В круге функцияаналитична. Коэффициенты ряда Лорана при степенях с отрицательными показателями равны нулю, ибо они выражаются интегралами от аналитической функции по замкнутому контуру. Ряд Лорана совпадает с рядами Тейлора. Запишем каждую из дробей в виде
; и воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции(формулы (6.6)), в силу чего имеем
, ,
, и
.
Ряд Лорана содержит только правильную часть:
, .
б) В кольце ряддля функциисходится, поэтому по-прежнему, а ряддля функциирасходится, поэтому функциюпреобразуем к виду. Представимв виде суммы геометрической прогрессии со знаменателем.
. Этот ряд сходится для , т.е. при. Тогда.
Таким образом, . Ряд Лорана содержит правильную и главную части:,.
в) В области ряддля функциисходится, а ряддля функциирасходится. Поэтому функциюпредставим в виде.
Тогда имеем .
Ряд Лорана содержит только главную часть: ,. Приведенный пример показывает, что для одной и той же функцииряд Лорана имеет, вообще говоря, разный вид для разных областей.
90. Разложим в ряд Лорана в окрестности точки следующие функции:
а) ,;
б) ,;
в) ,.
Решение. а) Функция аналитична всюду, кроме. Поэтому ее можно разложить в ряд Лорана в кольце:. В силу (6.6) имеем.
Отсюда получим
.
б) Функция аналитична в точке. Поэтому в окрестности точкиее можно разложить в ряд Тейлора, причем ряд будет сходиться в круге с центромрадиуса(расстояние от точкидо ближайшей точки). Разложим функцию на сумму простейших дробей:.
В силу (6.6) имеем
,
.
Ряд для функции найдем почленным дифференцированием ряда функции..
Таким образом, в круге получаем
.
в) Функция аналитична в кольце, поэтому ее ряд Лорана имеет вид
.
Главная часть Лорана в окрестности , а правильная.