- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
Упражнения для самостоятельной работы
104. Найти вычеты функций относительно их особых точек:
а) ; б);
в) ; г).
105. Найти вычеты функций относительно точки :
а) ; б);
в) ; г).
106. Вычислить контурные интегралы:
а) ; б);
в) ; г),
где прямоугольник с вершинами в точках,,,.
8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
При помощи вычетов можно вычислять не только комплексные, но и некоторые вещественные интегралы. Если часть контура расположить на вещественной оси, то интеграл по этой части станет вещественным. Увеличивая размеры контураи его лежащего на осиучастка, в пределе можно получить интеграл по всей вещественной оси. Для некоторых подынтегральных функций интеграл по остальной части контурастремится к нулю. На этих рассуждениях основано доказательство следующих теорем о вычислении вещественных интегралов.
Теорема 3. Пусть , гдемногочлены соответственно степенейи. Еслидля всехито
, (8.11)
где сумма берется по всем полюсам функции , расположенным в верхней полуплоскости.
Теорема 4. Пусть правильная рациональная дробь (т.е. степень числителя меньше степени знаменателя) и знаменательнеравен нулю;любое вещественное число. Тогда
; (8.12)
, (8.13)
где вычеты вычисляются во всех полюсах функции, лежащих в верхней полуплоскости.
Если в интеграле , гдерациональная функция аргументови, ограниченная на промежутке интегрирования, сделать замену,, то получим еще один вид вещественного интеграла, вычисляемого с помощью вычетов:
(8.14)
(мы учли, что ,при нашей замене, ипри,). Последний интеграл равен, умноженному на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции, заключенных внутри окружности.
Упражнения для самостоятельной работы
107. Вычислить .
Решение. У функции полюса 2 порядка в точках. В верхней полуплоскости лежит только точка. Вычетравен
Поэтому по теореме I
108. Вычислить
Решение. Так как подынтегральная функция четная, то . У функциив верхней полуплоскости имеется один полюс 2-го порядка в точке.
Поэтому
Упражнения для самостоятельной работы
109. Вычислить определенные интегралы:
а) б)
в) г)
110. Вычислить несобственные интегралы:
а) ; б);
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
Условие дифференцируемости,можно заменить более удобным для пользования условием непрерывности частных производных этих функций по обеим переменными.