- •Глава 1. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Комплексные числа и действия над ними
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •3. Функции комплексного переменного. Предел. Непрерывность функции. Основные элементарные функции
- •1. Дробно - рациональная функция
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •4. Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •5. Интегрирование функции комплексного переменного
- •5.1. Интеграл от функции комплексного переменного
- •5.2. Вычисление интеграла от аналитической функции
- •5.3. Интегральная формула Коши
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •6. Ряды в комплексной области
- •6.1. Ряды с комплексными членами Ряд
- •6.2. Ряды Тейлора и Лорана
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •7. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •7.1. Классификация изолированных особых точек
- •7.2. Ряды и особые точки
- •7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом
- •7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке
- •Точка называется существенно особой для функции, еслине существует.
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
- •8.1. Вычет функции и его вычисление
- •8.2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных интегралов
- •Упражнения
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •8.3. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов
- •Упражнения для самостоятельной работы
- •Упражнения для самостоятельной работы
5.3. Интегральная формула Коши
Если аналитична в области,иконтур, охватывающий точку, то имеют место следующие формулы:
, (5.8)
(5.9)
(контур может быть объединением контуров(см. рис.5.2)).
Формула (5.8) называется интегральной формулой Коши, а интеграл в правой части (5.8) – интегралом Коши. Интегральная формула Коши позволяет находить значение аналитической функции в любой точке, лежащей внутри области , если известны значения этой функции на контуре, ограничивающем. Если точкалежит вне области, то интеграл Коши равен нулю в силу теоремы Коши, так как в этом случае подынтегральная функция является аналитической в области.
Формулы (5.8) и (5.9) могут служить для вычисления интегралов по замкнутым контурам.
Упражнения
70. Вычислить интеграл по линиям, соединяющим точкии
а) по прямой, б) по параболе (рис.5.4).
Рис.5.4
|
Решение. Функция не является аналитической (проверьте!), поэтому вычисление интеграла возможно как по формуле (5.2), так и по формуле (5.3). Найдем действительную и мнимую части подынтегральной функцииПо формуле (5.2) имеем
. |
а) Уравнение отрезка прямой, проходящей через точки и, значит.
Тогда получаем
.
б) 1-й способ. Уравнение дуги параболы: , значит,и
2-й способ. Воспользуемся формулой (5.3). Параметрические уравнения параболы имеют вид , а в комплексной форме -. Находими
.
71. Вычислить интеграл .
Решение. Так как аналитична всюду, то по формуле Ньютона-Лейбница (5.7) имеем
.
72. Вычислить интеграл .
Решение. Функции иявляются аналитическими всюду. Применяя формулу интегрирования по частям, получим
.
73. Вычислить интеграл по контуру.
Решение. Так как аналитична всюду и контур интегрированиязамкнутый, то в силу теоремы Коши (5.4).
74. Вычислить , где:
а) окружность. б)окружность.
Решение. а) Функция аналитична в замкнутом круге, поэтому по теореме Коши.
б) Воспользуемся интегральной формулой Коши (5.8), положив . Функцияаналитична в круге, а точкалежит в этом круге. Поэтому
.
75. Вычислить интеграл .
Решение. Внутри области, ограниченной окружностью находится одна точка, в которой знаменатель дроби обращается в нуль. Для применения формулы (5.8) интеграл перепишем в виде.
Здесь функция является аналитической в круге, а точкавнутренняя точка круга, поэтому имеем
.
76. Вычислить интеграл .
Рис.5.5
|
Решение. В круге функцияаналитическая всюду, кроме точеки. Вырежем из данного круга областии, ограниченными любыми не пересекающими замкнутыми контурамии, причеми(рис. 5.5). Тогда в силу теоремы Коши для многосвязной области (формула (5.5)) имеем |
. В качестве имож-
но взять любые контуры, в частности окружности. Пусть и(рис. 5.5). Каждый из интеграловиможно вычислить по интегральной формуле Коши
;
.
Таким образом,
.
77. Вычислить интеграл , гдепроизвольный замкнутый контур, однократно обходящий точкув положительном направлении.
Решение. Внутри контура подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки. Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (5.9), выделив аналитическую в указанной области функцию, полагая. Так как, то в соответствии с (5.9).