Упражнения

9. Написать в комплексной форме уравнение кривой :

.

Решение. 1-й способ. Согласно (2.1) имеем параметрическое уравнение кривой .

2-й способ. Легко видеть, что данная кривая – парабола . Перейдем в этом уравнении к комплексному переменному, воспользовавшись

формулами (2.2), , откуда получаем

.

9. Написать уравнение окружности в комплексной форме.

Решение. 1-й способ. Рассмотрим окружность как множество точек , равноудаленных на расстояниеот центра. Тогда имеем.

2-й способ. Как известно, параметрические уравнения окружности радиуса с центром в точкеимеют вид

где .

Следовательно, . Если воспользоваться показательной формой комплексного числа, то полученное уравнение можно записать в виде.

9. Написать уравнение эллипса с фокусами в точках и, большая ось которого равна.

Рис.2.1

Решение. По определению эллипса . Здесьирасстояния произ-вольной точкиэллипса до фокусовисоответственно (рис.2.1). Следовательно, уравнение эллипса в комплексной форме имеет вид.

Расстояние между фокусами: , а малая полуось по известнымиопределяется из формулы.

9. Выяснить геометрический смысл уравнения .

Рис.2.2

Решение. 1-й способ геометрический. В данном случае множество точек, равноудаленных от точеки. Очевидно, это есть прямая, перпендикулярная отрезкуи проходящая через его середину (рис.2.2).

2-й способ аналитический. Пусть , тогда

.

Поскольку левые части последних соотношений равны, то равны и их правые части, т.е. . После упрощения получаем уравнение прямой линии.

9. Какая кривая определяется уравнением ?

Решение. Из области определения функции исключается точка , пусть. Тогда. Следовательно,. По условиюили, откуда следует, что данное условие определяет окружность,.

9. Определить, какое множество точек удовлетворяет условию .

Рис.2.3

Решение. Так как по определению , то данное неравенство может быть записано в виде. Следовательно, искомое множество точек – полоса между прямымии, включая эти прямые (рис. 2.3).

26. Построить на комплексной плоскости области, заданные условиями:

а) ; б),.

Решение. а) Искомое множество точек удовлетворяет двум неравенствам: и. Первое условие определяет точку эллипса с фокусамии, для которого,,(уравнение эллипса в действительных переменных:). Второе уравнение – внутренность эллипса с фокусами в тех же точках с полуосямии(уравнение эллипса в действительных переменных).

Рис.2.4

Искомое множество точек – часть плоскости, заключенная между двумя эллипсами (рис. 2.4), включая сами эллипсы.

б) Легко видеть, что множество точек, удовлетворяющих условию , есть внутренность кольца, ограниченного окружностямиис центрами в начале координат и радиусами 1 и 2. Система неравенствопределяет множество точек, составляющих угол между лучамии, причем точки первого луча принадлежат области, а второго – нет.

Пересечение указанных множеств определяет искомую область , которая изображена на рис. 2.5.

27. Какое множество точек комплексной плоскости определяется условием ?

Решение. Пусть . Тогдаи. Следовательно,. По условиюили. Полученное неравенство определяет множество точек, изображенных на рис. 2.6.

Рис.2.5

Рис.2.6