Упражнения

1. Решить уравнение .

Решение. 1-й способ: .

,,.

2-й способ: В результате подстановки в данное уравнение имеем, откуда после преобразований получим систему уравнений. Решая систему, получим,.

2. Найти и, если.

Решение: , откуда,.

3. Выяснить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисели.

Решение: .

Следовательно, есть расстояние между точками, и(рис. 1.2).

Рис.1.2

Если изобразить комплексное число с помощью вектора, то действительная и мнимая части вектора являются координатами вектора, а так как при вычитании векторов их координаты соответственно вычитаются, то вычитание комплексных чисел

сводится к вычитанию векторов, изображающих эти числа.

Как видно из рис. 1.2, есть длина вектора, т.е. расстояние между точками, изображающими числаи.

4. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа , представить его в тригонометрической и показательной формах.

Решение. По определению модуля . Так как значения аргументаудовлетворяют соотношению, то. Итак,,и согласно (1.6) и (1.12) имеем,.

5. Для комплексных чисел и, вычислитьи, представив их вначале в тригонометрической форме.

Решение. , . Применяя формулы (1.7) и (1.8), получим

6. Вычислить .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме. По формуле (1.9) имеем

.

7. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости все значения .

Решение. Представим в тригонометрической форме (1.6), для чего найдем модуль и главное значение аргумента,. Имеем.

Применяя формулу (1.10), найдем 3 значения корня, содержащихся в формуле , где. Воспользовавшись показательной и тригонометрической формами числа (1.6), (1.12), получаем

при ,

при ,

при .

Точки ,,образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в начале координат (рис. 1.3).

8. Решить уравнение .

Решение. Нахождение всех корней уравнения сводится к задаче: найти все значения корня . Для чего запишем числов показательной формеи применим формулу (1.16), где.

При , откуда следует, что,.

При , откуда следует, что,.

При ,,.

При ,,.

Рис.1.3

Рис.1.4

Как видно из рис. 1.4, точки ,,,комплексной плоскости лежат в вершинах квадрата (на окружности радиусас центром в начале координат).

Упражнения для самостоятельной работы

9. Выполнить основные четыре действия алгебры над комплексными числами и.

10. Найти действительные решения уравнения

.

9. Найти середину отрезка, соединяющего точки и.

10. Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках ,,. Найти четвертую вершину.

11. Показать, что ,.

12. Изобразить на комплексной плоскости числа ,. Найти их модули и аргументы.

13. Изобразить на комплексной плоскости числа

а) ; б); в);

г) ; д); е)

и вычислить их модули и главные значения аргумента.

9. Представить в показательной форме числа

; ;;.

9. Найти модуль и аргумент числа , если.

10. Вычислить .

11. Решить уравнение .

2. Множества точек, линии, области на комплексной плоскости

Линии и области на комплексной плоскости мы рассматриваем как множество точек, обладающих определенными свойствами и удовлетворяющих определенным уравнениям или системе уравнений, неравенствам или системе неравенств.

Параметрические уравнения кривой в действительных переменных

в комплексной плоскости могут быть заменены одним уравнением

, (2.1)

которое называется параметрическим или уравнением кривой в комплексной форме.

Если кривая задана в неявном виде , то путем подстановки в это уравнение выражений

(2.2)

получим уравнение кривой в комплексной форме .

При решении задач по определению и изображению линии и областей в комплексной плоскости следует помнить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел (см. упражнение 2). Рассматривая как расстояние между двумя точками и плоскости, достаточно легко задавать аналитически линии и области.