Упражнения

85. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. К ряду из абсолютных величин членов данного ряда применим признак Даламбера:

.

Следовательно, ряд расходится.

86. Найти радиус и круг сходимости рядов:

а) б).

Решение. а) Применим признак Коши к ряду из абсолютных величин данного ряда

.

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, для всех . Роль круга сходимости выполняется вся плоскость, радиус сходимости.

б) По признаку Даламбера имеем

Отсюда заключаем, что ряд сходится абсолютно в области , т.е. в круге радиусас центром в точке

87. Найти область сходимости ряда .

Решение. Рассмотрим отдельно ряды по положительным и отрицательным степеням . Рядможно рассматривать как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателемТакой ряд сходится при условии, т.е. в кругерадиуса. Для ряда

, где

Применяя признак Даламбера, получаем

, откуда , т.е.

областью сходимости ряда по отрицательным степеням является внешность круга радиусас центром в точке.

Таким образом, данный степенной ряд Лорана сходится в кольце .

88. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точкии указать радиус сходимости:

а) ;

б) ;

в) .

Решение. а) Воспользуемся известным разложением для (формулы (6.6)); с этой целью преобразуем функцию к виду. Заменяя в разложениина, получим следующий ряд Тейлора, для которого радиус сходимости.

б) Выделим в дроби целую часть, а затем знаменатель правильной дроби преобразуем так, чтобы в нем было слагаемое . Используя разложение функции(формулы (6.6) ), получим

.

Радиус сходимости . Так как ближайшая особая точкаудалена от центра круга сходимостина расстоянии, равном 3.

в) Представим данную функцию следующим образом:

.

Тогда

.

89. Разложить в ряд Лорана функцию по степеням(приняв).

Решение. Функция не аналитична в точкахи. Следовательно, можно выделить три кольца с центром в точке, в каждом из которыхявляется аналитической:

а) круг

б) кольцо

в) внешность круга.

Разложим функцию на сумму простейших дробей

.

а) В круге функцияаналитична. Коэффициенты ряда Лорана при степенях с отрицательными показателями равны нулю, ибо они выражаются интегралами от аналитической функции по замкнутому контуру. Ряд Лорана совпадает с рядами Тейлора. Запишем каждую из дробей в виде

; и воспользуемся разложением в ряд Тейлора функции(формулы (6.6)), в силу чего имеем

, ,

, и

.

Ряд Лорана содержит только правильную часть:

, .

б) В кольце ряддля функциисходится, поэтому по-прежнему, а ряддля функциирасходится, поэтому функциюпреобразуем к виду. Представимв виде суммы геометрической прогрессии со знаменателем.

. Этот ряд сходится для , т.е. при. Тогда.

Таким образом, . Ряд Лорана содержит правильную и главную части:,.

в) В области ряддля функциисходится, а ряддля функциирасходится. Поэтому функциюпредставим в виде.

Тогда имеем .

Ряд Лорана содержит только главную часть: ,. Приведенный пример показывает, что для одной и той же функцииряд Лорана имеет, вообще говоря, разный вид для разных областей.

90. Разложим в ряд Лорана в окрестности точки следующие функции:

а) ,;

б) ,;

в) ,.

Решение. а) Функция аналитична всюду, кроме. Поэтому ее можно разложить в ряд Лорана в кольце:. В силу (6.6) имеем.

Отсюда получим

.

б) Функция аналитична в точке. Поэтому в окрестности точкиее можно разложить в ряд Тейлора, причем ряд будет сходиться в круге с центромрадиуса(расстояние от точкидо ближайшей точки). Разложим функцию на сумму простейших дробей:.

В силу (6.6) имеем

,

.

Ряд для функции найдем почленным дифференцированием ряда функции..

Таким образом, в круге получаем

.

в) Функция аналитична в кольце, поэтому ее ряд Лорана имеет вид

.

Главная часть Лорана в окрестности , а правильная.