Кільце.

Множина К, на якій визначено дві алгебраїчні операції „+”(додавання) і „”(множення) називається кільцем, якщо виконуються наступні умови (аксіоми кільця):

1. Множина К є комутативною групою відносно операції „+”.

2. Операція „” асоціативна .

3. Операції „+” і „” зв’язані законами дистрибутивності: для будь-яких елементів а, b і с з К виконується рівність і .

Формальний запис аксіом кільця такий:

1. На множині К задано дві алгебраїчні операції „+” і „”.

2. : (a+b)+c=a+(b+c).

3. : a+b=b+а.

4. , : a+0=a.

5. : a+(-а)=0.

6. : (ab)c=a(bc).

7. : (a+b)c=ac+bc.

8. : a(b+c)=ab+ac.

Приклад 1.26. Множина парних цілих чисел є кільцем. Справді, сумою і добутком двох парних цілих чисел є відповідне парне число. Додавання цілих чисел є комутативним, то і для будь-яких парних чисел a і b виконується : a+b=b+а. Число 0 належить до множини парних цілих чисел, тобто виконується четверта умова – існує нейтральний елемент відносно додавання. Для кожного парного цілого числа а існує протилежне йому парне ціле число (-а). Додавання і множення цілих чисел задовольняють умови асоціативності і дистрибутивності, тобто умови 6 – 8.

Якщо операція множення у кільці є комутативною, то кільце називають комутативним.

Звертаємо увагу на те, що в кільці завжди існує нейтральний елемент відносно додавання 0 (нуль), а нейтрального елемента відносно множення може і не бути. Кільце в якому існує нейтральний елемент відносно множення 1 (одиниця) називається кільцем з одиницею.

Оскільки кільце є абелевою групою відносно додавання, то мають місце відомі властивості: єдиність нуля і протилежного елемента, закон скорочення, єдиність розв’язку рівняння рівність .

Прямими наслідками з аксіом кільця є відомі „правила знаків” та правило множення на нуль .

Теорема. Для будь-яких елементів a, b кільця:

а) a0 = 0a = 0;

б) a(-b) = - (ab);

в) (-a)(-b) = ab.

Доведення. а) З рівності a0 =(0+0)a = 0а + 0а і 0а = 0а+ 0 випливає, що 0а + 0а = 0а+ 0. Тепер за законом скорочення 0а = 0. Аналогічно одержимо а0 = 0.

б) Твердження a(-b) = -(ab) випливає з низки рівностей: а(-b) = 0+a(-b) = -(ab)+ab+a(-b) = -(ab)+a(b+(-b)) = -(ab)+0 = -(ab).

Твердження в) пропонуємо довести самостійно.

Тіло. Поле.

Елемент а кільця з одиницею називається оборотним, якщо він має обернений відносно операції „”.

Кільце з одиницею в якому кожний ненульовий елемент оборотній називається тілом. Комутативне тіло називається полем.

Іншими словами, поле Р – це множина, на якій задано дві алгебраїчні операції так, що відносно першої операції Р є абелевою групою, а відносно другої операції абелевою групою є множина Р^* = Р\{0} (це так звана мультиплікативна група поля).

Приклад 1.27. Показати, що множина раціональних чисел є полем.

Покажемо по кроках, що

1) множина раціональних чисел є комутативним кільцем,

2) множина раціональних чисел містить одиницю відносно операції множення,

3) у множині раціональних чисел кожен елемент має обернений відносно множення, тобто множина раціональних чисел є тілом,

4) у множині раціональних чисел множення комутативне.

Виконання цих чотирьох умов і буде свідченням того, що множина раціональних чисел є полем.