Індивідуальне завдання №1 множини та відображення.

Під множиною розуміють клас, сукупність різних предметів. Множини можуть складатись з найрізноманітніших предметів. Цим і пояснюється можливість застосуваня теорії множин в різних областях знань – математиці, механіці, фізиці, хімії, біології, лінгвістиці ... Об’єкти, які входять до множини, називають її елементами. Елементи множини позначають звичайно x, y, z,…( або x₁, x₂, x₃, …), а самі множини позначають А, В, С, ... Вважаємо, що всі елементи множини різні. Множина, що складається із скінченного числа елементів, називається скінченною. Наприклад, множина всіх двоцифрових чисел, множина вершин шестикутника. Кількість елементів скінченої множини А будемо позначати n(A). Множина, яка містить необмежену кількість елементів, називається нескінченною. Наприклад, множина натуральних чисел, множина всіх точок відрізка. Нескінченні множини бувають зчисленні і незчисленні. Нескінченна множина є зчисленною (зліченною), якщо її елементи можна пронумерувати. Наприклад множина натуральних чисел, множина парних чисел.

Знаком  позначають належність елемента до тієї чи іншої множини. Наприклад, вираз означає, що елемент x належить множині А. Якщо х не є елементом множини А, то пишуть .

Множина вважається заданою, якщо ми можемо для будь – якого предмету визначити, належить він цій множині, чи ні. Задати множину можна різними способами. Якщо множина скінченна, можна задати повний список її елементів (у фігурних дужках). Наприклад : {2, 3, 5, 7}. Порядок елементів у записі значення не має. Якщо перелік елементів надто довгий або множина нескінченна, використовують задання множини за допомогою характеристичної властивості: М= {x | P(x)} – множина М складається зі всіх х, які задовольняють властивість Р(х).

Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів.

Множина, яка не містить елементів, називається порожньою і позначається . Наприклад множина дійсних коренів рівняння є порожньою.

Множина, яка складається із всіх можливих елементів називається універсальною множиною і позначається U.

Якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, то множину А називають підмножиною множини В і позначають АВ або ВА. Наприклад {2, 5}{1, 2, 3, 5, 8}. Очевидно, що будь-яка множина є підмножиною універсальної множини. Якщо властивості, якими задана множина і її підмножина співпадають, то ці множини будуть рівні. Тому вважають, що кожна множина є підмножиною самої себе. Якщо властивість, з допомогою якої задається деяка підмножина протирічить властивості, за якою задана множина, то ця підмножина буде порожньою. Тому і порожню множину вважають підмножиною кожної множини. Для будь-якої множини вона сама і порожня множина називаються невласними підмножинами, а всі інші підмножини - власними.

Приклад 1.1. Які підмножини має множина А={a, b, c}. Які з них є власними? Множина А={a, b, c} і порожня множина  є невласними підмножинами цієї множини. Крім цього, множина А має власні підмножини: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}.

Нехай А, В, С, ... – підмножини деякої універсальної множини U. В множині всіх можливих підмножин універсальної множини визначимо чотири дії: об’єднання, переріз, різниця та доповнення. Результат дій над множинами звичайно зображають графічно на діаграмах Ейлера – Венна.

Об’єднанням множин А і В називається множина, що складається з елементів, які належать хоч одній з цих множин (мал.1.1). і позначається АВ, .

Наприклад, {2, 4, 6, 8}{1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 6, 8},

{a, b, c, d}{b, f} = {a, b, c, d, f},

{1, 2, 3, 4.} }{ 2, 4} = {1, 2, 3, 4}.

Об’єднанням довільної множини А з порожньою множиною є сама множина А. Об’єднанням універсальної множини з будь-якою множиною є універсальна множина.

Під об’єднанням кількох (і навіть безлічі) множин розуміють множину всіх тих і тільки тих елементів, які належать принаймні одній з цих множин. Якщо А₁, А₂, ... A_n, ... – нескінченна послідовність множин, то їх об’єднання позначають коротко так: . Схоже просте позначення використовують замість об’єднання множин А₁ А₂ ... A_n.

Перетином (перерізом) множин А і В називається множина, що складається з елементів, які одночасно належать як до множини А, так і до множини В і позначається АВ (мал.1.2). Це означення можна записати наступним чином: .

Наприклад, {2, 4, 6, 8}{1, 2, 3, 4} = {2, 4},

{a, b, c, }{a, c, d, f} = {a, c}.

Цілком аналогічно перетином кількох (і навіть безлічі) множин називається множина всіх їх спільних елементів. Переріз множин А₁ А₂ ... A_n позначають символом . Так само переріз А₁ А₂ ... A_n  ... позначають через .

Перетином довільної множини з порожньою множиною є порожня множина. Перетином універсальної множини з будь-якою множиною А є сама множина А.

Різницею множин А і В називається множина, яка складається з елементів, що належать до А, але не належать до В і позначається А\В (мал.1.3). Пишуть .

Наприклад, {2, 4, 6, 8}\{1, 2, 3, 4} = {6, 8},

{a, b, c, }\{a, c, d, f} = {b},

{1, 2, 3, 4}\{2, 4} = {1, 3}.

Доповненням множини А називається множина, яка складається з тих елементів універсальної множини U, які не належать множині А і позначається (мал.1.4). . Очевидно, що будь-який елемент універсальної множини належить або А, або . Якщо АВ, то В\А називається доповненням множини А до множини В. Очевидно, що доповненням універсальної множини є порожня множина і навпаки.

Приклад 1.1. Нехай А – множина всіх дільників числа 18, В = {x  Z | 0<x ≤ 6}. Знайдіть АВ, АВ, В\А, А\В .

Оскільки А = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то АВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18}, АВ = {1, 2, 3, 6}, В\А = {4, 5}, А\В = { 9, 18}.

Приклад 1.2. Знайти підмножини Х і У множини Е, якщо для будь-якої підмножини А множини Е має місце наступна рівність АХ = АУ.

Якщо рівність АХ = АУ має місце для будь-якої підмножини множини Е, то вона справедлива і при А = Е та при А = . При А = Е з рівності ЕХ = ЕУ отримаємо Х = Е, а, при А = , з рівності Х = У -  = У.