§ 5. Угловая скорость и угловое ускорение

Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки, 5) свободное движение. Первые два вида движения являются основными. Остальные виды движения можно свести к одному из основных движений или к их совокупности.

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, с центрами, находящимися на одной прямой, называемой осью вращения. В общем случае ось вращения тела сама может вращаться относительно неподвижной системы координат или изменять свое положение относительно тела. Очевидно, что простейшим вращением является вращение тела вокруг неподвижной оси.

Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси , совершило за время бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором , модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью , причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Найдем элементарное перемещение произвольной точки твердого тела при таком повороте. Положение точки зададим радиусом–вектором , проведенным из некоторой точки на оси вращения. Тогда модуль вектора перемещения связан с углом поворота соотношением

(5.1)

или в векторном виде

(5.2)

Заметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота , так как только бесконечно малые углы можно рассматривать как векторы.

При рассмотрении таких величин, как радиус–вектор , скорость , ускорение не возникает вопрос о выборе их направления: оно вытекает естественным образом из природы самих величин. Такие векторы называются полярными. Векторы, направление которых связано с направлением вращения тела (типа ), называют аксиальными (или псевдовекторами). При изменении направления координатных осей аксиальный вектор изменяет свое направление на противоположное, тогда как полярный вектор остается неизменным.

Вектор угловой скорости определяют как

(5.3)

Ясно, что вектор характеризует быстроту изменения угла поворота со временем; он совпадает по направлению с вектором и представляет собой аксиальный вектор.

Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным. Такое движение можно характеризовать периодом обращения , под которым понимают время, за которое тело совершает полный оборот. Так как промежутку времени соответствует угол поворота , то

(5.4)

Наряду с угловой скоростью вводят еще скалярную величину , называемую частотой вращения, которая показывает, сколько оборотов вокруг оси совершает тело за единицу времени. Ясно, что

, (5.5)

и, следовательно, модуль угловой скорости

. (5.6)

Изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения , который определяют как

(5.7)

Направление вектора совпадает с направлением (приращения вектора ). Ясно, что вектор , как и , является аксиальным.

Запишем (5.3) и (5.4) в проекциях на ось вращения , положительное направление которой свяжем с положительным направлением отсчета координаты (угла поворота) правилом правого винта. Тогда проекции и векторов и , на ось определяются формулами

(5.8)

(5.9)

Знаки величин и характеризуют направление соответствующих векторов. Например, если , то направление вектора совпадает с положительным направлением оси ; если , то направление вектора противоположно. То же самое имеет место и для углового ускорения.

Если тело вращается ускоренно, то проекции и имеют одинаковые знаки (положительны или отрицательны), направления векторов и совпадают. Если тело вращается замедленно, и имеют разные знаки, направления векторов и противоположны (аналогично связи скорости и ускорения при поступательном движении).