§ 3. Скорость

Как было отмечено выше, при движении частицы ее радиус–вектор в общем случае меняется как по модулю, так и по направлению. Для того чтобы охарактеризовать быстроту изменения положения точки, в кинематике вводят понятие скорости.

Пусть частица движется по какой–либо криволинейной траектории так, что в момент времени ей соответствует радиус–вектор . В течение малого промежутка времени точка пройдет путь и осуществит перемещение .

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса–вектора к промежутку времени :

. (3.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением . При неограниченном уменьшении средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью (или скоростью частицы в момент времени ):

(3.2)

Таким образом, мгновенная скорость есть векторная величина, равная первой производной радиуса–вектора движущейся точки по времени. Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3.1):

Рис. 3.1

По мере уменьшения путь все больше будет приближаться к , поэтому модуль мгновенной скорости

(3.3)

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.

С учетом выражений (2.9) и (3.2)

(3.4)

где – проекции вектора на неподвижные координатные оси (орты являются постоянными векторами). Таким образом, проекция скорости на координатную ось равна первой производной координаты по времени.

Модуль скорости

(3.5)

В соответствии с формулами (2.10) и (3.1) элементарный путь, пройденный частицей за элементарно малый промежуток времени, равен

(3.6)

Для того чтобы определить путь , проходимый частицей за конечный промежуток времени , следует проинтегрировать выражение (3.6) по времени в пределах от до