- •Методическое пособие по физике для студентов заочного факультета
- •Часть 1.
- •Содержание
- •§ 1. Механическое движение
- •§2. Радиус–вектор. Траектория. Путь. Перемещение
- •§ 3. Скорость
- •§ 4. Ускорение
- •§ 5. Угловая скорость и угловое ускорение
- •§ 6. Связь между линейными и угловыми величинами
- •§ 7. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
§ 6. Связь между линейными и угловыми величинами
Найдем скорость произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Положение точки относительно некоторой точки на оси вращения зададим радиусом–вектором (рис.5.1). Разделим обе части формулы (5.2) на промежуток времени :
(6.1)
или
, (6.2)
т.е. скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус–вектор точки относительно произвольной точки на оси вращения.
Модуль вектора (6.2)
(6.3)
где – радиус окружности, по которой движется точка .
Продифференцировав (6,2) по времени, найдем ускорение точки :
(6.4)
или
(6.5)
В данном случае поскольку (ось вращения неподвижна), вектор направлен вдоль вектора скорости и представляет собой тангенциальное ускорение . Вектор перпендикулярен скорости и поэтому представляет собой нормальное ускорение . Модули этих ускорений соответственно равны:
(6.6)
(6.7)
а модуль полного ускорения
(6.8)
Пример 6.1. Диск радиусом см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением рад/с2. Найти ускорение точки на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.
Решение. Ускорение частицы
(6.9)
где и – ее тангенциальное и нормальное ускорения.
Воспользуемся связью величин линейного и углового ускорения:
(6.10)
и соотношением
(6.11)
По определению
или в проекции на ось вращения
откуда
(6.12)
Проинтегрируем выражение (6.12):
или, учитывая, что в нашем случае и ,
(6.13)
Подставляя выражение (6.13) в соотношение (6.11), получаем
(6.14)
Подставляя и в соотношение (6.9), получаем
Ответ:
Пример 6.2. Вентилятор вращается с частотой об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки оборотов. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?
Решение. Угол поворота твердого тела вокруг оси вращения
(6.15)
где – модуль угловой скорости твердого тела.
Найдем зависимость угловой скорости от времени
По определению угловое ускорение твердого тела
Переходя к модулям векторов, имеем
(в случае замедленного движения ), откуда
(6.16)
Проинтегрируем выражение (6.16)
,
(мы учли, что при равнозамедленном движении ), откуда
(6.17)
Подставляя выражение (6.17) в соотношение (6.15) и интегрируя, получаем
(6.18)
Найдем из условия
(6.19)
Кроме того,
(6.20)
(6.21)
(6.22)
Подставляя формулы (6.20) – (6.22) в выражение (6.18), получаем
откуда
Следовательно,
Ответ:
Вопросы:
1) Какое движение называется вращательным?
2) Дайте определения векторов угловой скорости и углового ускорения. Как найти направления этих векторов?
3) Какие величины называются псевдовекторами?
4) Как связаны линейное и угловое ускорение?
5) Что такое период обращения?
Лекция 4. Динамика материальной точки